العمليات الأساسية على الأعداد الطبيعية وعلاقات الترتيب

الجمع

العمليات على الأعداد الطبيعية معروفة منذ المدرسة؛ والمقصود هنا تأسيسها بدقة رياضية. ففي الدرس الخاص بـمسلّمات بيانو عُرّفت الأعداد الطبيعية انطلاقًا من $1$ ومن عملية التالي، التي تُلحق بكل عدد طبيعي $n$ العدد الذي يليه، $S(n)$. ويُعرَّف الجمع انطلاقًا من التالي بقاعدتين: جمع $1$ هو أخذ التالي، وجمع تالي $m$ هو أخذ تالي المجموع مع $m$.

يسمى تعريف من هذا النوع تراجعيًا: القاعدة الأولى تثبّت القيمة من أجل $1$، والثانية تردّ كل حالة إلى الحالة السابقة. غير أن كون قاعدتين كهاتين تعرّفان فعلًا عملية ينطوي على تأكيدين مختلفين: أنه توجد دالة تحققهما من أجل كل الأعداد الطبيعية (الوجود)، وأنه لا توجد دالتان مختلفتان تحققانهما (الوحدانية). ويشكّل التأكيدان معًا مبرهنة التراجع، التي تعود إلى ديدكايند: تقبل هذه الدورة جزء الوجود، كما يُشرح بعد الإطار، وتبرهن جزء الوحدانية. وتُصاغ المبرهنة في شكل عام لتصلح أيضًا للضرب وللرفع إلى قوة وللتعاريف التراجعية في الدروس اللاحقة.

حقيقة مقبولة دون برهان (مبرهنة التراجع). لتكن $X$ مجموعة و$c$ عنصرًا من $X$، ولنفترض أنه أُعطيت، من أجل كل عدد طبيعي $n$، قاعدة $g_n$ تُلحق بكل عنصر من $X$ عنصرًا آخر من $X$. عندئذ توجد دالة $f$ من $\mathbb{N}$ إلى $X$ بحيث $f(1) = c$ و$f(S(n)) = g_n(f(n))$ من أجل كل عدد طبيعي $n$، وهذه الدالة وحيدة.

يُقبل الوجود في هذه الدورة دون برهان. فبرهانه يتطلب إنشاء الدالة $f$ بوصفها مجموعة من الأزواج: أصغر مجموعة أزواج تحوي $(1, c)$ وتحوي، مع كل زوج $(n, x)$، الزوج $(S(n), g_n(x))$؛ ثم التحقق بالاستقراء من أن كل عدد طبيعي يقابله فيها عنصر ثانٍ وحيد. وهذا الإنشاء ينتمي إلى نظرية المجموعات ولا يضيف شيئًا إلى الحساب الذي يلي. أما الوحدانية فهي نتيجة مباشرة للمسلّمة الخامسة لبيانو.

يُحصل على الجمع من المبرهنة بتثبيت الحد الأول $n$ وأخذ $X = \mathbb{N}$ و$c = S(n)$، ومن أجل كل $m$، القاعدة $g_m$ التي تُلحق بكل عدد طبيعي تاليه: فالدالة $f$ التي تقدّمها المبرهنة هي التي تُلحق بكل $m$ العدد $n + m$، وقاعدتا الجمع هما شرطا المبرهنة. وبالطريقة نفسها، مع $c = n$ والقاعدة التي تجمع $n$، يُحصل على الضرب، ومع $c = b$ والقاعدة التي تضرب في $b$، على الرفع إلى قوة. فجمع $m$ يعادل، في المحصلة، تطبيق التالي $m$ مرة.

من قواعد الجمع تُستنتج خواصه بالاستقراء. من أجل كل الأعداد الطبيعية $a$ و$b$ و$c$:

1. خاصية التبديل: $a + b = b + a$.
2. خاصية التجميع: $(a + b) + c = a + (b + c)$. ولذلك يمكن كتابة $a + b + c$ دون أقواس.
3. قانون الاختزال: إذا كان $a + c = b + c$ فإن $a = b$.

بُرهنت خاصية التبديل في المسألة المحلولة 5 من الدرس الخاص بمسلّمات بيانو، وخاصية التجميع هناك إحدى المسائل المقترحة. ويُبرهن قانون الاختزال في المسألة المحلولة 1 من هذا الدرس.