انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

المجاميع والمتواليات والاستقراء

ملخص

يقدّم هذا الدرس رمز المجموع وخاصياته (الخطية، والتفكيك، وإزاحة الدليل، وعكس الترتيب)، ويطبّقه على حساب المجاميع التلسكوبية ومجاميع المتتاليات الحسابية والهندسية. ثم يدرس الاستقراء القوي ومبدأ الترتيب الحسن، ويبرهن أن الاستقراء يستلزم كليهما، ويحدّد بأي معنى يكافئانه، ويستعملهما لإثبات أن كل عدد طبيعي أكبر من 11 هو جداء أعداد أولية.

أهداف التعلم

  1. كتابة المجاميع وتحويلها برمز المجموع، بتطبيق خاصياته: الخطية، والتفكيك، وإزاحة الدليل، وعكس الترتيب.
  2. حساب المجاميع التلسكوبية واستعمالها لاستنتاج صيغ المجاميع، لا للتحقق منها فحسب.
  3. تعيين الحد العام ومجموع الحدود الأولى لمتتالية حسابية أو هندسية، وتطبيقهما في حل المسائل.
  4. البرهان بالاستقراء القوي وبمبدأ الترتيب الحسن، واستنتاج كليهما من مبدأ الاستقراء، وبيان الحقائق الإضافية التي يسمح بها الترتيب الحسن باسترجاع الاستقراء.

رمز المجموع

في الدرس الخاص بـمسلّمات بيانو ظهرت مجاميع لحدود كثيرة تتبع قاعدة ما، مثل 1+2+⋯+n1 + 2 + \cdots + n. فالنقاط المتتابعة تترك للقارئ مهمة تخمين تلك القاعدة؛ أما رمز المجموع فيصرّح بها. إذا كانت am,am+1,…,ana_m, a_{m + 1}, \ldots, a_n أعدادًا، مع m≤nm \leq n، نكتب

∑k=mnak=am+am+1+⋯+an\sum_{k=m}^{n} a_k = a_m + a_{m + 1} + \cdots + a_n

ويُقرأ «مجموع aka_k من أجل kk من mm إلى nn». الحرف kk هو دليل المجموع؛ وmm وnn هما حدّاه السفلي والعلوي، وaka_k هو الحد العام. وعدد حدود المجموع n−m+1n - m + 1. والدليل متغير صامت: لا تتوقف قيمة المجموع على الحرف الذي يُسمّى به، فيكون ∑k=1nk2\sum_{k=1}^{n} k^2 و∑j=1nj2\sum_{j=1}^{n} j^2 العدد نفسه. يجري الدليل على الأعداد الطبيعية؛ أما الحدود فيمكن أن تكون أعدادًا من نوع آخر. ففي هذا الدرس تظهر، إلى جانب الأعداد الطبيعية، الأعداد الصحيحة بسالبها، والكسور، التي تبنيها الوحدة اللاحقة: وهي تُستعمل هنا قبل أوانها، ولا يُستعمل منها إلا قواعد الحساب والترتيب الأولية (خاصية التبديل، وخاصية التجميع، وخاصية التوزيع، وقواعد الإشارات، والطرح، والقسمة على عدد غير منعدم). وخاصيات المجموع الآتية تُبرهن بهذه القواعد، فهي صحيحة إذن لحدود من أي نوع من هذه الأنواع.

كما في الجمع والضرب والرفع إلى قوة في الدرس الخاص بـالعمليات على الأعداد الطبيعية، يقبل المجموع تعريفًا تراجعيًا يستغني عن النقاط المتتابعة: مجموع حد واحد هو ذلك الحد، ولإضافة حد يُجمع إلى النتيجة السابقة.

∑k=mmak=am,∑k=mn+1ak=∑k=mnak+an+1\sum_{k=m}^{m} a_k = a_m, \qquad \sum_{k=m}^{n + 1} a_k = \sum_{k=m}^{n} a_k + a_{n + 1}

يبدأ هذا التعريف من mm، بينما تعرّف مبرهنة التراجع، كما صيغت، دوالَّ ابتداءً من 11. غير أنه يكفي نقل الدليل: فبدلًا من المجموع حتى nn يُعرَّف مجموع أول qq حدًا ابتداءً من ama_m. بالقيمة الابتدائية ama_m والقاعدة gq(x)=x+am+qg_q(x) = x + a_{m + q}، تعطي مبرهنة التراجع دالة وحيدة FF من N\mathbb{N} إلى الأعداد بحيث F(1)=amF(1) = a_m وF(q+1)=F(q)+am+qF(q + 1) = F(q) + a_{m + q} من أجل كل عدد طبيعي qq. ومن أجل n≥mn \geq m يُعرَّف عندئذ المجموع حتى nn بأنه قيمة FF عند عدد حدوده، n−m+1n - m + 1، وهو عدد طبيعي لأن m<n+1m < n + 1:

∑k=mnak=F(n−m+1)\sum_{k=m}^{n} a_k = F(n - m + 1)

من أجل n=mn = m نحصل على F(1)=amF(1) = a_m، ومن أجل q=n−m+1q = n - m + 1، بما أن m+q=n+1m + q = n + 1، تكون المساواة F(q+1)=F(q)+am+qF(q + 1) = F(q) + a_{m + q} هي بالضبط القاعدة الثانية من التعريف. ومن ثم فإن التعريف التراجعي ابتداءً من mm يعيّن مجموعًا وحيدًا لكل n≥mn \geq m، وإذا كان m=1m = 1 فإنه يطابق ما تعطيه مبرهنة التراجع مباشرة، لأنه عندئذ F(n)=∑k=1nakF(n) = \sum_{k=1}^{n} a_k.

بهذا الرمز، تُكتب الصيغة التي بُرهنت بالاستقراء في الدرس الخاص بمسلّمات بيانو، أي صيغة مجموع أول nn عددًا طبيعيًا، هكذا:

∑k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}

مجموع المربعات، ∑k=1nk2\sum_{k=1}^{n} k^2، هو الخطوة التالية، ولن يكتفي هذا الدرس بالتحقق منه: فالفقرة الخاصة بالمجاميع التلسكوبية تستنتجه دون أن تعرفه مسبقًا.

الاستقراءات على الحد العلوي لمجموع تبدأ من الحد السفلي mm، الذي لا يلزم أن يساوي 11. غير أن مبدأ الاستقراء في مسلّمات بيانو يبدأ من 11؛ وللبدء من عدد طبيعي آخر نحتاج إلى التوطئة الآتية.

توطئةالاستقراء ابتداءً من عدد طبيعي ما

ليكن n0n_0 عددًا طبيعيًا. إذا تحققت خاصية من أجل n0n_0، وإذا كانت، متى سُلّم بتحققها من أجل عدد طبيعي ما k≥n0k \geq n_0، تتحقق أيضًا من أجل k+1k + 1، فإن هذه الخاصية تتحقق من أجل كل الأعداد الطبيعية n≥n0n \geq n_0. والفكرة هي إعادة ترقيم الأعداد الطبيعية ابتداءً من n0n_0 للرجوع إلى مبدأ الاستقراء العادي. وتُستعمل توطئة الدرس الخاص بالعمليات على الأعداد الطبيعية التي تنص على أن كل عدد طبيعي مختلف عن 11 هو تالٍ لعدد ما، ورتابة الجمع. في الرسم، n0=4n_0 = 4 وp=3p = 3: تحت كل عدد طبيعي ابتداءً من n0n_0 يظهر رقمه الجديد qq.

البرهان

  1. n0=p+1,Q(q)↔P(p+q)n_0 = p + 1, \quad Q(q) \leftrightarrow P(p + q)

    إذا كان n0=1n_0 = 1، فهذا هو مبدأ الاستقراء. وإلا فإن n0=p+1n_0 = p + 1 لعدد طبيعي ما pp، ونعتبر الخاصية QQ التي تؤكد PP من أجل p+qp + q.

  2. Q(1)↔P(p+1)↔P(n0)Q(1) \leftrightarrow P(\resaltar{p + 1}) \leftrightarrow P(\resaltar{n_0})

    الخاصية QQ تتحقق من أجل 11، لأن Q(1)Q(1) هي P(n0)P(n_0).

  3. P(p+q)→P((p+q)+1)=P(p+(q+1))P(p + q) \rightarrow P(\resaltar{(p + q) + 1}) = P(\resaltar{p + (q + 1)})

    إذا تحققت Q(q)Q(q)، فبما أن 1≤q1 \leq q، يكون بحسب رتابة الجمع p+q≥p+1=n0p + q \geq p + 1 = n_0، فتنطبق الخطوة المعطاة على k=p+qk = p + q: فتتحقق Q(q+1)Q(q + 1).

  4. n≥n0→(∃q∈N)(n=p+q)n \geq n_0 \rightarrow (\exists q \in \mathbb{N})(n = p + q)

    بحسب مبدأ الاستقراء، تصح Q(q)Q(q) من أجل كل qq. وكل n≥n0n \geq n_0 هو على الشكل p+qp + q: إذا كان n=n0n = n_0 فمع q=1q = 1، وإذا كان n=n0+ln = n_0 + l فمع q=1+lq = 1 + l.

خاصيات المجموع

من التعريف التراجعي تُستنتج، بالاستقراء على الحد العلوي، الخاصيات الآتية، الصحيحة لأي حدود aka_k وbkb_k ولأي عدد cc:

  1. الخطية: ∑k=mn(ak+bk)=∑k=mnak+∑k=mnbk\sum_{k=m}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=m}^{n} a_k + \sum_{k=m}^{n} b_k و∑k=mnc ak=c∑k=mnak\sum_{k=m}^{n} c\,a_k = c \sum_{k=m}^{n} a_k. وبوجه خاص، جمع ثابت nn مرة هو ضربه في nn: ∑k=1nc=nc\sum_{k=1}^{n} c = nc.
  2. التفكيك: إذا كان m≤p<nm \leq p < n، فإن ∑k=mnak=∑k=mpak+∑k=p+1nak\sum_{k=m}^{n} a_k = \sum_{k=m}^{p} a_k + \sum_{k=p+1}^{n} a_k.
  3. إزاحة الدليل: من أجل كل عدد طبيعي pp، ∑k=mnak=∑j=m+pn+paj−p\sum_{k=m}^{n} a_k = \sum_{j=m+p}^{n+p} a_{j - p}.
  4. عكس الترتيب: ∑k=1nak=∑j=1nan+1−j\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{j=1}^{n} a_{n + 1 - j}.
مبرهنةخاصيات المجموع

لأي حدود aka_k وbkb_k ولأي عدد cc، يكون المجموع خطيًا، ويتفكك إلى مجموعين متتاليين، ويقبل إزاحة الدليل وعكس الترتيب، على النحو الوارد في القائمة السابقة. وتُبرهن كل خاصية بالاستقراء على الحد العلوي، الذي يبدأ من الحد السفلي بفضل التوطئة السابقة. ولا يُستعمل إلا التعريف التراجعي وخاصيات الجمع والضرب؛ ويستند عكس الترتيب فوق ذلك إلى التفكيك وإلى الإزاحة.

البرهان

  1. ∑k=mn+1(ak+bk)=∑k=mnak+∑k=mnbk+(an+1+bn+1)=∑k=mn+1ak+∑k=mn+1bk\sum_{k=m}^{n + 1} (a_k + b_k) = \resaltar{\sum_{k=m}^{n} a_k + \sum_{k=m}^{n} b_k} + (a_{n + 1} + b_{n + 1}) = \sum_{k=m}^{n + 1} a_k + \sum_{k=m}^{n + 1} b_k

    الخطية. من أجل n=mn = m، يساوي كلا الطرفين am+bma_m + b_m. وإذا صحت من أجل nn، يُطبَّق التعريف التراجعي وفرضية الاستقراء وخاصيتا التجميع والتبديل للجمع. وبالطريقة نفسها، مع خاصية التوزيع، يُبرهن أن ∑k=mnc ak=c∑k=mnak\sum_{k=m}^{n} c\,a_k = c \sum_{k=m}^{n} a_k، وأن ∑k=1nc=nc\sum_{k=1}^{n} c = nc، لأن nc+c=(n+1)cnc + c = (n + 1)c.

  2. ∑k=mp+1ak=∑k=mpak+ap+1=∑k=mpak+∑k=p+1p+1ak\sum_{k=m}^{p + 1} a_k = \sum_{k=m}^{p} a_k + \resaltar{a_{p + 1}} = \sum_{k=m}^{p} a_k + \resaltar{\sum_{k=p+1}^{p + 1} a_k}

    التفكيك، مع تثبيت pp، بالاستقراء على nn ابتداءً من p+1p + 1. من أجل n=p+1n = p + 1 هو التعريف التراجعي، لأن مجموع حد واحد هو ذلك الحد.

  3. ∑k=mn+1ak=∑k=mpak+∑k=p+1nak+an+1=∑k=mpak+∑k=p+1n+1ak\sum_{k=m}^{n + 1} a_k = \resaltar{\sum_{k=m}^{p} a_k + \sum_{k=p+1}^{n} a_k} + a_{n + 1} = \dato{d}{\sum_{k=m}^{p} a_k + \sum_{k=p+1}^{n + 1} a_k}

    إذا صح التفكيك من أجل nn، يُضاف الحد an+1a_{n + 1} إلى كلا الطرفين ويُطبَّق التعريف التراجعي على كل مجموع.

  4. ∑j=m+pn+1+paj−p=∑j=m+pn+paj−p+an+1=∑k=mnak+an+1=∑k=mn+1ak\sum_{j=m+p}^{n+1+p} a_{j - p} = \resaltar{\sum_{j=m+p}^{n+p} a_{j - p}} + a_{n + 1} = \resaltar{\sum_{k=m}^{n} a_k} + a_{n + 1} = \dato{s}{\sum_{k=m}^{n + 1} a_k}

    الإزاحة. من أجل n=mn = m، يساوي كلا الطرفين ama_m. وإذا صحت من أجل nn، فبما أن الحد العلوي (n+p)+1(n + p) + 1 هو (n+1)+p(n + 1) + p، يُطبَّق التعريف التراجعي وفرضية الاستقراء.

  5. ∑j=1n+1an+2−j=an+1+∑j=2n+1an+2−j=an+1+∑i=1nan+1−i\sum_{j=1}^{n + 1} a_{n + 2 - j} = a_{n + 1} + \resaltar{\sum_{j=2}^{n + 1} a_{n + 2 - j}} = a_{n + 1} + \resaltar{\sum_{i=1}^{n} a_{n + 1 - i}}

    عكس الترتيب، بالاستقراء على nn. من أجل n=1n = 1، يساوي كلا الطرفين a1a_1. وإذا صح من أجل nn، يُفصل بالتفكيك الحد الأول من المجموع المعكوس ذي الحدود التي عددها n+1n + 1، ويُزاح الدليل بوحدة واحدة، مع j=i+1j = i + 1.

  6. an+1+∑i=1nan+1−i=an+1+∑k=1nak=∑k=1n+1aka_{n + 1} + \resaltar{\sum_{i=1}^{n} a_{n + 1 - i}} = a_{n + 1} + \resaltar{\sum_{k=1}^{n} a_k} = \sum_{k=1}^{n + 1} a_k

    بحسب فرضية الاستقراء، يساوي المجموع الأخير ∑k=1nak\sum_{k=1}^{n} a_k؛ وبحسب خاصية التبديل والتعريف التراجعي، نحصل على عكس الترتيب من أجل n+1n + 1.

تسمح الخطية بردّ مجموع معقد إلى مجاميع معروفة. والخاصيتان الأخيرتان تغييران للمتغير: فالإزاحة تضع k=j−pk = j - p وتمر على الحدود نفسها بترقيم آخر، وعكس الترتيب يضع k=n+1−jk = n + 1 - j ويمر عليها من الأخير إلى الأول. غير أن المجموع لا يسلك السلوك نفسه مع الجداء: فمجموع الجداءات ليس جداء المجاميع. ويكفي مثال بحدين وak=bk=ka_k = b_k = k:

∑k=12k⋅k=1+4=5≠9=(1+2)(1+2)\sum_{k=1}^{2} k \cdot k = 1 + 4 = 5 \neq 9 = (1 + 2)(1 + 2)
قضيةمجموع الأعداد الفردية الأولى

برهن أن مجموع أول nn عددًا فرديًا هو n2n^2. تردّ الخطية هذا المجموع إلى مجموعين معروفين، دون حاجة إلى استقراء جديد.

البرهان

  1. 1+3+5+⋯+(2n−1)=∑k=1n(2k−1)1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = \dato{s}{\sum_{k=1}^{n} (2k - 1)}

    العدد الفردي الذي يحتل الموضع kk هو 2k−12k - 1: الأول هو 11، والثاني 33، والذي في الموضع nn هو 2n−12n - 1. ويُكتب المجموع المطلوب هكذا.

  2. ∑k=1n(2k−1)=2∑k=1nk−∑k=1n1\sum_{k=1}^{n} \resaltar{(2k - 1)} = \resaltar{2 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1}

    بحسب الخطية، ينفصل المجموع إلى مجموعين: ضعف مجموع الأعداد kk، ناقص مجموع آحاد عددها nn.

  3. 2∑k=1nk−∑k=1n1=n(n+1)−n2 \resaltar{\sum_{k=1}^{n} k} - \resaltar{\sum_{k=1}^{n} 1} = \resaltar{n(n + 1)} - \resaltar{n}

    المجموع الأول هو مجموع أول nn عددًا طبيعيًا، n(n+1)2\frac{n(n + 1)}{2}، والعامل 22 يختزل مقامه؛ والثاني يجمع، مرات عددها nn، العدد 11.

  4. n(n+1)−n=n2+n−n=n2\resaltar{n(n + 1)} - n = \resaltar{n^2 + n} - n = n^2

    ننشر الجداء؛ فيتلاشى الحدان nn و−n-n.

  5. k2−(k−1)2=2k−1k^2 - (k - 1)^2 = 2k - 1

    يبيّن الرسم السبب: كل عدد فردي هو الفرق بين مربعين متتاليين، أي الزاوية التي تحوّل المربع الذي طول ضلعه k−1k - 1 إلى المربع الذي طول ضلعه kk.