الأعداد الصحيحة وتمثيلها

أنظمة العدّ الموضعية

قدّم درس المتغيرات والذاكرة المتغيرَ بوصفه خانة لها اسم ونوع وقيمة. غير أنّ الذاكرة لا تحفظ أرقامًا عشرية: إنها تحفظ بتات، كلٌّ منها قيمته 0 أو 1، مجمَّعة في بايتات من ثمانية بتات (يشترط المعيار ثمانية على الأقل؛ وكل الأنظمة الحالية تستعمل ثمانية بالضبط). فلمعرفة القيم التي يمكن أن يأخذها متغير صحيح لا بدّ إذن من معرفة كيف يُكتب عدد برقمين فقط، وهذا ما يفعله نظام العدّ الموضعي ذو الأساس 2.

في نظام العدّ الموضعي ذي الأساس $b$، يساوي كل رقم بحسب الموضع الذي يشغله: الأخير يُضرب في $b^0 = 1$، والذي قبله في $b^1$، والذي قبل ذاك في $b^2$، وهكذا. في الأساس 10، يعني $2026$ العددَ $2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0$. وفي الأساس 2 الأرقام هي 0 و1، والأوزان هي قوى العدد 2: $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, \ldots$ ومن ذلك تلزم قاعدة الانتقال من الثنائي إلى العشري: تُجمع أوزان المواضع التي فيها 1.

أما الطريق العكسي، من العشري إلى الثنائي، فيُقطع بـالقسمة المتتالية: يُقسم العدد على 2، ويُسجَّل الباقي (0 أو 1)، ويُكرَّر ذلك مع خارج القسمة حتى الوصول إلى 0؛ والبواقي، مقروءةً من الأخير إلى الأول، هي الأرقام الثنائية. للعدد 45: $45 = 2 \cdot 22 + 1$، $22 = 2 \cdot 11 + 0$، $11 = 2 \cdot 5 + 1$، $5 = 2 \cdot 2 + 1$، $2 = 2 \cdot 1 + 0$، $1 = 2 \cdot 0 + 1$؛ والبواقي، مقروءةً بالعكس، تعطي 101101، وهو مع صفرين على اليسار نمط الشكل. والسبب أنّ كل باقٍ هو رقم آحاد العدد الذي يُقسم، وكل خارج قسمة هو ذلك العدد مزاحًا موضعًا واحدًا إلى اليمين. والطريقة نفسها تصلح لأي أساس: للأساس 16 يُقسم على 16، والبواقي من 10 إلى 15 تُكتب بالحروف من a إلى f.

الأساس 16، أو النظام الست عشري، موجود للراحة: بما أنّ $16 = 2^4$، فكل رقم ست عشري يقابل أربعة بتات بالضبط، ويُكتب البايت برقمين. والعدد ذو 32 بتًا يشغل اثنين وثلاثين رقمًا في الثنائي، تُقرأ بصعوبة، وثمانية فقط في الست عشري، تُحوَّل إلى الثنائي دون حساب، رقمًا رقمًا. لذلك يقرأ المبرمجون الذاكرة بالست عشري. والأساس الرياضي لأنظمة العدّ الموضعية يُدرس في دورة الجبر والهندسة 1، في درس «أنظمة العدّ الموضعية».

تقبل C++ أعدادًا صحيحة مكتوبة مباشرة بهذه الأسس: القيمة الحرفية التي تبدأ بـ 0b تكون بالثنائي، والتي تبدأ بـ 0x بالست عشري. وداخل أي قيمة حرفية يمكن وضع فاصلة عليا فاصلًا للأرقام، يتجاهلها المترجم ويقدّرها القارئ: 0b0010'1101، 1'000'000. وفي المخرجات، تكتب مواصفة التنسيق {:b} العدد الصحيح بالثنائي، و{:x} بالست عشري بحروف صغيرة، و{:X} بحروف كبيرة؛ والعلامة # تضيف البادئة في أوله، والعرض المسبوق بصفر يملأ اليسار بأصفار.

#include <print>​int main(){    const int decimal{45};    const int binary{0b0010'1101};    const int hexadecimal{0x2d};    std::println("{} {} {}", decimal, binary, hexadecimal);    std::println("ثنائيًا: {:b}", decimal);    std::println("ثمانية بتات: {:08b}", decimal);    std::println("ست عشريًا: {:x} {:X} {:#x}", decimal, decimal, decimal);}

45 45 45ثنائيًا: 101101ثمانية بتات: 00101101ست عشريًا: 2d 2D 0x2d