Конические сечения: Характеристика и графики парабол, эллипсов и гипербол
Резюме:
На этом занятии мы рассмотрим конические сечения (параболы, эллипсы и гиперболы), начиная с их канонических и общих уравнений. Мы объясним, как определить и охарактеризовать каждую кривую, сосредоточив внимание на ключевых элементах, таких как вершина, фокус и ось симметрии парабол, а также на различиях между эллипсами и гиперболами в зависимости от знаков их коэффициентов.
Цели обучения:
К концу этого занятия студент будет способен:
- Распознавать канонические уравнения конических сечений (параболы, эллипсы, гиперболы)
- Вычислять каждую характеристику конических сечений: длину полуосей, фокусное расстояние, директрису и т.д.
СОДЕРЖАНИЕ
Конические сечения
Обзор парабол
Обзор эллипсов и гипербол
Характеристика эллипса
Характеристика гиперболы
Решенные задачи
Конические сечения
Конические сечения называются кривыми, которые возникают в результате пересечения поверхности конуса с плоскостью. К семейству конических сечений относятся окружности, эллипсы и гиперболы, все эти кривые мы уже изучали.
Теперь мы рассмотрим техники распознавания и характеристики каждой из этих кривых. Мы сосредоточимся в первую очередь на канонических формах, поскольку они встречаются чаще всего и предоставляют меньше явной информации. Общие уравнения, напротив, раскрывают почти всю геометрическую характеристику.
Обзор парабол
Каждая парабола представляется уравнением вида:
y=ax^2 + bx + c, где a\neq 0
Из этого мы получили:
- Координаты вершины: \displaystyle (x_0, y_0)=\left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} \right)
- Фокусное расстояние: \displaystyle f=\dfrac{1}{4a}
- Координаты фокуса: \displaystyle foco=\left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} + f \right) =\left( -\dfrac{b}{2a}, c + \dfrac{1- b^2}{4a} \right)
- Уравнение директрисы: \displaystyle y= c - \dfrac{b^2}{4a} - f = c - \dfrac{1+b^2}{4a}
- Уравнение оси симметрии: \displaystyle x= -\dfrac{b}{2a}
- Точки пересечения с осью x (если существуют): \displaystyle x_{1,2}= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
Теперь у нас есть вся необходимая информация для построения графика любой параболы.
Обзор эллипсов и гипербол
Эллипсы и гиперболы, как мы уже видели, имеют каноническое выражение вида:
Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0
Где A и C — это ненулевые константы, и исходя из того, что мы изучили, можно сделать следующие выводы:
- Если A и C имеют одинаковый знак, это эллипс.
- Если A и C имеют противоположные знаки, это гипербола.
Чтобы четко разделить оба случая, мы запишем:
- \alpha x^2+ \beta x + \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 — это эллипс.
- \alpha x^2+ \beta x - \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 — это гипербола.
Где \alpha, \beta, \gamma, \delta и \epsilon — любые вещественные числа, а \alpha и \gamma всегда положительны. Такую запись позволяет четко разделить оба случая. Исходя из этого, можно сделать следующие выводы:
Характеристика эллипса
Начиная с канонического уравнения, мы делаем следующие выводы:
| (1) | \alpha x^2+ \beta x + \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 | ; каноническое уравнение эллипсов. |
| (2) | \displaystyle \alpha \left( x^2+ \dfrac{\beta}{\alpha }x\right) + \gamma \left(y^2 + \dfrac{\delta}{\gamma }y\right) =- \epsilon | ; факторизация и перегруппировка терминов |
| (3) | \displaystyle \alpha \left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2 + \gamma \left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2 =\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon | ; завершение квадратов и перегруппировка терминов |
| (4) | \displaystyle \alpha \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} + \gamma \dfrac{\left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; деление всех членов на \displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon |
| (5) | \displaystyle \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\dfrac{1}{\alpha }\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} + \dfrac{\left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\dfrac{1}{ \gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; реорганизация \alpha и \gamma |
| (6) | \displaystyle \left( \dfrac{ x - \left(-\dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 + \left( \dfrac{y - \left(-\dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 = 1 | ; реорганизация с квадратными корнями |
В третьем шаге этой дедукции особенно важно отметить, что если коэффициент \displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon отрицателен, то эллипс не может существовать.
Напомним, что общее уравнение эллипсов имеет вид:
\displaystyle \left( \dfrac{x-h}{a} \right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b} \right)^2 = 1
Используя этот результат, мы теперь имеем прямую связь между параметрами общей формулы, что позволяет нам раскрыть всю скрытую информацию в каноническом выражении:
- Координаты центра: \displaystyle (h,k) = \left( -\dfrac{\beta}{2\alpha}, -\dfrac{\delta}{2\gamma}\right)
- Длина горизонтальной полуоси: \displaystyle a = \sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
- Длина вертикальной полуоси: \displaystyle b = \sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
Теперь мы можем распознать и построить график эллипса напрямую из его канонической формы. Его график будет выглядеть следующим образом:
Характеристика гиперболы
Рассуждая аналогичным образом, вы можете полностью охарактеризовать гиперболу, начиная с канонического уравнения. На самом деле анализ настолько похож, что я просто скопирую и вставлю анализ эллипсов, изменив лишь несколько частей.
| (1) | \alpha x^2+ \beta x - \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 | ; каноническое уравнение гипербол. |
| (2) | \displaystyle \alpha \left( x^2+ \dfrac{\beta}{\alpha }x\right) - \gamma \left(y^2 - \dfrac{\delta}{\gamma }y\right) =- \epsilon | ; факторизация и перегруппировка терминов |
| (3) | \displaystyle \alpha \left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2 - \gamma \left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2 =\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon | ; завершение квадратов и перегруппировка терминов |
| (4) | \displaystyle \alpha \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} - \gamma \dfrac{\left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; деление всех членов на \displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon |
| (5) | \displaystyle \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} - \dfrac{\left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; реорганизация терминов \alpha и \gamma |
| (6) | \displaystyle \left( \dfrac{ x - \left(-\dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 - \left( \dfrac{y - \left(\dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 = 1 | ; реорганизация с квадратными корнями |
Теперь у нас есть прямая связь между каноническим уравнением и уравнением гиперболы, что позволяет нам легко построить её график.
\displaystyle \left(\dfrac{x-h}{a} \right)^2 - \left(\dfrac{y-k}{b} \right)^2 =1
В отличие от эллипсов, здесь правильнее говорить о «генерирующей коробке», как будет показано на следующем рисунке:
- Координаты центра: \displaystyle (h,k) = \left( -\dfrac{\beta}{2\alpha}, \dfrac{\delta}{2\gamma}\right)
- Длина горизонтальной полуоси: \displaystyle a = \sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
- Длина вертикальной полуоси: \displaystyle b = \sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
С результатами этих анализов мы можем теперь построить график любого члена семейства конических сечений без особых трудностей.