Characterizatio Parabolarum et Earum Graphica Repraesentatio
Summarium:
In hac lectione tractabitur characterizatio parabolarum ex aequatione generali et forma canonica, explanantes quomodo elementa clavis recognoscantur, ut verticem, focum, directricem, axem symmetriae, et sectiones cum axe X.
Propositi Discendi:
Expleta hac lectione discipulus poterit:
- Computare situm verticis, foci et directricis parabolae ex forma generali et canonica.
- Transformare aequationem canonicam in formam generalem ad informationem geometricam extrahendam.
- Designare schematice graphice parabolam ex informatione obtenta.
INDEX RERUM
Forma generalis et canonica parabolarum
Characterizatio Parabolarum ex Aequatione Generali
Characterizatio Parabolarum ex Aequatione Canonica
Characterizatio automatica per Excel
Forma generalis et canonica parabolarum
In praeterita lectione vidimus parabolas algebrice exprimi posse per aequationem generalem parabolarum ut sequitur.
(x - x_0)^2 = 4f(y - y_0)
Ubi par (x_0,y_0) est positio verticis et f est distantia focalis. Si f \gt 0, tunc focus est ad distantiam f supra verticem; si vero f \lt 0, tunc focus est ad distantiam f infra verticem.
Vidimus etiam aequationem parabolarum ad formam canonicam redactam esse aequivalentem polynomio secundi gradus.
y(x) = ax^2 + bx + c, cum a \neq 0
Characterizare parabolam significat sequentia data detegere.
- Coordinatae verticis
- Coordinatae foci
- Aequatio directricis
- Aequatio axis symmetriae
- Intersectiones cum axe x (si existant)
- Denique, delineatio schematica graphica ex collecta informatione.
Characterizatio Parabolarum ex Aequatione Generali
Si parabola describitur per aequationem generalem, iam fere omnem informationem necessariam ad characterisationem conficiendam habes; solum intersectiones cum axe x ampliorem analysin exigent.
(x - x_0)^2 = 4f(y - y_0)
Ex hac forma iam habes:
- Vertex: Punctum cum coordinatis (x_0, y_0)
- Positio focalis: ad f unitates supra verticem
- Focus: punctum cum coordinatis (x_0, y_0 + f)
- Directrix: recta aequationis y = y_0 - f
- Axis symmetriae: recta aequationis x = x_0
Ut sectiones cum axe x invenias, aequationem generalem in formam canonicam convertere debes, deinde aequare polynomium secundi gradus ad zero. Si solutiones exsistunt, illae sunt sectiones cum axe x.
Characterizatio Parabolarum ex Aequatione Canonica
Cum aequatio parabolarum exhibetur in forma canonica, duae optiones habentur: 1) Characterisatio per conversionem ad aequationem generalem aut 2) Usus symmetriae et intersectionum cum axe x. Utraque methodus suas utilitates habet. Secunda plerumque celerior est, sed parabolae non semper axem x secant; prima longior est sed, ut videbimus postea, facile automatizari potest. Utrasque vias examinabimus ut eligere possis secundum tuae necessitates et praelationes.
Conversio ad aequationem generalem
Conversio ad formam generalem fit secundum hanc rationem, ubi a,b,c \in \mathbb{R} et a \neq 0.
| (1) | y = ax^2 + bx + c | ; Aequatio canonica parabolarum |
| y = a\left[x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}\right] | ; Per extractionem factoris a | |
| y = a\left[ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a} \right] | ; Quia \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4a^2} | |
| y = a\left[ \left(x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 + \dfrac{4ac - b^2}{4a^2} \right] | ||
| y = a \left(x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 + \dfrac{4ac - b^2}{4a} | ||
| y = a \left(x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 + \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right) | ||
| \left[x - \left(- \dfrac{b}{2a}\right)\right]^2 = \dfrac{1}{a} \left[y - \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right)\right] | ||
| \left[x - \left( -\dfrac{b}{2a}\right)\right]^2 = 4\left(\dfrac{1}{4a}\right) \left[y - \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right)\right] | ; Aequatio parabolarum in forma generali |
Ex hoc, possumus totam informationem ex aequatione generali derivatam extrahere, connectendo eius parametros cum illis aequationis canonicae. Ita habemus:
- Vertex: Punctum cum coordinatis (x_0, y_0) = \left(-\dfrac{b}{2a}, c -\dfrac{b^2}{4a} \right)
- Positio focalis: ad f = \dfrac{1}{4a} unitates supra verticem
- Focus: Punctum cum coordinatis (x_0, y_0 + f) = \left(-\dfrac{b}{2a}, c -\dfrac{b^2}{4a} + \dfrac{1}{4a}\right) = \left(-\dfrac{b}{2a}, c +\dfrac{1 - b^2}{4a}\right)
- Directrix: Recta aequationis y = y_0 - f = c -\dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{1}{4a} = c -\dfrac{1 + b^2}{4a}
- Axis symmetriae: Recta aequationis x = x_0 = -\dfrac{b}{2a}
Et hinc characterizatio parabolarum fit sicut iam antea vidimus per aequationem generalem.
Utendo symmetria et intersectionibus cum axe x
Cum habemus aequationem parabolarum in forma canonica scriptam y = ax^2 + bx + c, videmus esse relative facile calculare eius intersectiones cum axe x; sufficit solvere aequationem
ax^2 + bx + c = 0
Cum hoc fieri potest, obtinemus intersectiones x_1 et x_2 datas per
x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Cum parabolae sint symmetricae, axis symmetriae habebit aequationem:
x = x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = -\dfrac{b}{2a}
Axis symmetriae necessario transit per verticem parabolae, cuius coordinatae erunt
(x_0, y_0) = (x_0, y(x_0)) = \left( -\dfrac{b}{2a}, y\left(-\dfrac{b}{2a} \right) \right)
Ubi
y_0 = y\left(-\dfrac{b}{2a} \right) = a\left(-\dfrac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\dfrac{b}{2a} \right) + c = \dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{b^2}{2a} + c = c - \dfrac{b^2}{4a}
Ita attingimus coordinatas verticis quas iam aliter cognovimus
(x_0, y_0) = \left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} \right)
Positio focalis est, ut iam vidimus, f = \dfrac{1}{4a}, atque ex hoc iam possumus calculare positionem directricis, foci, et omnem informationem quam ex aequatione generali habebamus.
Characterizatio automatica per Excel
His rationibus completis nunc valde facile est automatizare characterisationem cuiuslibet parabolae per Excel. Exemplum invenire potes hic.