Allgemeine und kanonische Form von Parabeln

In der vorherigen Unterrichtseinheit haben wir gesehen, dass Parabeln algebraisch durch die allgemeine Gleichung der Parabeln dargestellt werden können:

(x-x_0)^2 =4f(y-y_0)

Dabei ist das Paar (x_0,y_0) die Position des Scheitelpunkts und f die Brennweite. Ist f \gt 0, so befindet sich der Brennpunkt in einem Abstand f oberhalb des Scheitelpunkts, und wenn f\lt 0, dann befindet sich der Brennpunkt in einem Abstand f unterhalb des Scheitelpunkts.

Wir haben auch gesehen, dass die Gleichung der Parabeln in kanonischer Form einem Polynom zweiten Grades entspricht:

y(x) = ax^2 + bx + c, mit a\neq 0

Die Charakterisierung einer Parabel besteht darin, folgende Informationen offenzulegen:

• Die Koordinaten des Scheitelpunkts
• Die Koordinaten des Brennpunkts
• Die Gleichung der Leitlinie
• Die Gleichung der Symmetrieachse
• Die Schnittpunkte mit der x-Achse (falls vorhanden)
• Abschließend: Eine Skizze des Graphen auf Basis der gesammelten Informationen erstellen.

Charakterisierung von Parabeln aus der allgemeinen Gleichung

Wenn du die Parabel durch die allgemeine Gleichung beschrieben hast, dann besitzt du bereits fast alle Informationen, die für die Charakterisierung notwendig sind – nur die Schnittpunkte mit der x-Achse erfordern eine zusätzliche Analyse.

(x-x_0)^2 =4f(y-y_0)

Daraus erhältst du bereits:

• Scheitelpunkt: Der Punkt mit den Koordinaten (x_0,y_0)
• Brennweite: f Einheiten oberhalb des Scheitelpunkts
• Brennpunkt: Der Punkt mit den Koordinaten (x_0,y_0 + f)
• Leitlinie: Die Gerade mit der Gleichung y= y_0 - f
• Symmetrieachse: Die Gerade mit der Gleichung x= x_0

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse zu finden, musst du die allgemeine Gleichung in die kanonische Form umwandeln und das resultierende Polynom zweiten Grades gleich null setzen. Falls Lösungen existieren, entsprechen diese den Schnittpunkten mit der x-Achse.

Charakterisierung von Parabeln aus der kanonischen Gleichung

Wenn die Gleichung der Parabel in kanonischer Form vorliegt, hast du zwei Möglichkeiten: 1) Eine Charakterisierung durch Umwandlung in die allgemeine Gleichung oder 2) Nutzung der Symmetrie und der Schnittpunkte mit der x-Achse. Beide Methoden haben ihre Vorzüge. Die zweite ist in der Regel schneller, doch nicht alle Parabeln schneiden die x-Achse. Die erste Methode ist zwar etwas aufwändiger, aber – wie wir später sehen werden – leicht zu automatisieren. Wir werden beide Wege untersuchen, damit du je nach Vorlieben und Anforderungen entscheiden kannst, welchen du wählst.

Umwandlung in die allgemeine Gleichung

Die Umwandlung in die allgemeine Form erfolgt durch folgendes Vorgehen, wobei a,b,c\in\mathbb{R} und a\neq 0 gilt:

Ausgehend davon können wir alle Informationen, die wir aus der allgemeinen Gleichung gewonnen haben, extrahieren, indem wir ihre Parameter mit denen der kanonischen Gleichung in Beziehung setzen. Auf diese Weise erhalten wir:

• Scheitelpunkt: Der Punkt mit den Koordinaten (x_0,y_0) = \left(-\dfrac{b}{2a}, c -\dfrac{b^2}{4a} \right)
• Brennweite: f = \dfrac{1}{4a} Einheiten oberhalb des Scheitelpunkts
• Brennpunkt: Der Punkt mit den Koordinaten (x_0,y_0 + f) = \left(-\dfrac{b}{2a}, c -\dfrac{b^2}{4a} + \dfrac{1}{4a}\right) =\left(-\dfrac{b}{2a}, c +\dfrac{1-b^2}{4a}\right)
• Leitlinie: Die Gerade mit der Gleichung y=y_0 - f= c -\dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{1}{4a} = c -\dfrac{1 + b^2}{4a}
• Symmetrieachse: Die Gerade mit der Gleichung x= x_0 = -\dfrac{b}{2a}

Und ab diesem Punkt erfolgt die Charakterisierung der Parabeln wie bereits gezeigt anhand der allgemeinen Gleichung.

Verwendung der Symmetrie und der Schnittpunkte mit der x-Achse

Wenn die Gleichung der Parabeln in kanonischer Form y=ax^2 + bx+c vorliegt, ist es relativ einfach, die Schnittpunkte mit der x-Achse zu berechnen – man muss lediglich die Gleichung lösen:

ax^2 + bx + c = 0

Wenn dies möglich ist, erhält man die Schnittpunkte x_1 und x_2 gegeben durch:

x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Da Parabeln symmetrisch sind, ergibt sich die Gleichung der Symmetrieachse zu:

x = x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2}= -\dfrac{b}{2a}

Die Symmetrieachse verläuft notwendigerweise durch den Scheitelpunkt der Parabel, dessen Koordinaten lauten:

(x_0, y_0) = (x_0, y(x_0)) = \left( -\dfrac{b}{2a}, y\left(-\dfrac{b}{2a}\right) \right)

Dabei gilt:

y_0 = y\left(-\dfrac{b}{2a} \right) = a\left(-\dfrac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\dfrac{b}{2a}\right) + c = \dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{b^2}{2a} + c = c - \dfrac{b^2}{4a}

So gelangen wir zu den Koordinaten des Scheitelpunkts, die wir bereits auf andere Weise erhalten haben:

(x_0, y_0) = \left( -\dfrac{b}{2a},c - \dfrac{b^2}{4a} \right)

Die Brennweite ist, wie wir gesehen haben, f=\dfrac{1}{4a}, und daraus lassen sich bereits die Gleichungen der Leitlinie, des Brennpunkts und alle weiteren Informationen, die wir aus der allgemeinen Gleichung erhalten haben, berechnen.

Automatisierte Charakterisierung mit Excel

Nachdem wir all diese Überlegungen angestellt haben, ist es nun sehr einfach, die Charakterisierung jeder beliebigen Parabel mit Excel zu automatisieren. Ein Beispiel findest du hier.