पॉइसन कोफिशिएंट्स और वितरण

अब हम एक अनुमान पर विचार करें द्विपद वितरण के लिए, जिसमें बहुत बड़े संख्या के प्रयास n होते हैं और सभी की व्यक्तिगत संभावना p बहुत छोटी होती है। जब हम ऐसा करते हैं, तो हम सामान्य द्विपद प्रक्रिया से पॉइसन प्रक्रिया की ओर बढ़ते हैं। इसे दृष्टिगत करने के लिए, हम \{Bi(n;k;p_n)\}_n, की एक श्रृंखला की कल्पना करें, जहाँ n\to\infty और p_n np_n=\lambda \gt 0 संबंध को संतुष्ट करता है। इसके आधार पर, हम देखेंगे कि

\displaystyle\lim_{n\to\infty}P\left(Bi(n;k;P_n) \right) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

यह वास्तव में दिखाना मुश्किल नहीं है, यदि हम बर्नौली घटना की संभावना Bi(n;k;p_n) लेते हैं और इसे n^k से गुणा और विभाजित करते हैं, तो हमें निम्नलिखित तर्क मिलता है:

इस प्रकार यदि हम सीमा की गणना करते हैं जब n\to\infty, तो हमें मिलेगा:

\begin{array} \displaystyle \lim_{n\to\infty} {{n}\choose{k}}p_n^k(1-p_n)^{n-k} &= \lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac{n(n-1)\cdots[n-(k-1)]}{n^k}}_{\to 1} \cdot \frac{\overbrace{(np_n)^k}^{\to\lambda^k}}{k!} \overbrace{(1-p_n)^{-k}}^{\to 1} {(1-p_n)^n} \\ \\ &\displaystyle = \frac{\lambda^k}{k!} \lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{\lambda}{n} \right)^n \\ \\ & \displaystyle = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{array}

इसके आधार पर, पॉइसन कोफिशिएंट्स, Po(k;\lambda), को निम्नलिखित के माध्यम से परिभाषित किया जाता है

\displaystyle Po(k;\lambda) := \lim_{n\to\infty} {{n}\choose{k}}p^k(1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

और कहा जाता है कि एक यादृच्छिक चर X की पॉइसन वितरण है, X\sim Po(k,\lambda), यदि:

P(X=k) = Po(k;\lambda)

पॉइसन की अनुमानित प्रक्रियाएँ

स्थानिक पॉइसन प्रक्रिया

मान लीजिए कि हमारे पास एक वॉल्यूम कंटेनर है V जिसमें एक तरल पदार्थ है जिसमें n छोटे कण समान रूप से मिश्रित होते हैं। यहाँ हम मानते हैं कि तरल अच्छी तरह से हिला हुआ है और कण एक-दूसरे के साथ बातचीत नहीं करते हैं, न तो आकर्षित होते हैं और न ही प्रतिकर्षित होते हैं। इन मान्यताओं को निम्नलिखित वक्तव्यों के माध्यम से औपचारिक बनाया जा सकता है:

• स्थानिक समरूपता परिकल्पना: किसी तरल पदार्थ की एक क्षेत्र D में एक कण को खोजने की संभावना केवल उस क्षेत्र के वॉल्यूम पर निर्भर करती है।
• बिना-परस्पर क्रिया: “j-वें कण क्षेत्र में है” घटनाएँ, j=1,2,…,n, सभी n-स्वतंत्र हैं।
• बिना-सुपरपोजिशन: दो कण एक ही स्थान पर नहीं हो सकते।

यदि हम एक क्षेत्र D को एक वॉल्यूम v के साथ दें, तो घटना “इस क्षेत्र D में k कण हैं” की संभावना केवल v पर निर्भर करती है; हम इसे g_k(v) कहते हैं। किसी क्षेत्र v. में एक कण के होने की संभावना h(v) हो। यदि D_1 और D_2 दो अलग-अलग क्षेत्र हैं जिनका वॉल्यूम v_1 और v_2 है, क्रमशः, तो यदि D=D_1\cup D_2, का वॉल्यूम v, है तो v=v_1+v_2. और क्योंकि D_1 और D_2 अलग-अलग हैं (D_1\cap D_2 = \emptyset ), तो

h(v) = h(v_1) + h(v_2)

यदि V पूरे तरल पदार्थ का वॉल्यूम है, तो

h(V) = 1

और परिणामस्वरूप:

h(v) =\displaystyle \frac{v}{V}

यहाँ से हमारे पास घटना g_k(v) वास्तव में एक बर्नौली घटना है जिसमें p=v/V और यह निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

g_k(v) =B(n;k;p=v/V)

हालांकि, इस प्रकार की अधिकांश व्यावहारिक स्थितियों में बड़े संख्या में कण n होते हैं और विचार किए गए क्षेत्र प्रणाली के आकार की तुलना में छोटे होते हैं, जिससे पॉइसन अनुमान लागू करने की स्थितियाँ पूरी होती हैं और हमें मिलता है:

\displaystyle P(g_k(v)) = \lim_{\begin{matrix}n\to\infty\\ v/V=c \end{matrix}}P(B(n;k;p=v/V)) =\displaystyle \frac{(cv)^k}{k!}e^{-cv}

अस्थायी पॉइसन प्रक्रिया

मान लीजिए कि हम कणों की संख्या रिकॉर्ड कर रहे हैं जो एक रेडियोधर्मी पदार्थ से t=0 समय से उत्सर्जित होते हैं और, इसके आधार पर, हम [0,t[ समय अंतराल में ठीक k कणों के उत्सर्जित होने की संभावना की गणना करेंगे निम्नलिखित मान्यताओं के तहत:

• अपरिवर्तनीयता: प्रयोग की शर्तें समय में नहीं बदलती हैं।
• स्मृतिहीनता: [0,t[ में क्या हुआ, इसका प्रभाव [t,t'[ में नहीं होता।
• अलग-अलग घटनाएँ: कण एक बार में एक उत्सर्जित होते हैं।

यदि हम अस्थायी प्रक्रिया की मान्यताओं की तुलना स्थानिक प्रक्रिया से करें, तो हम देखेंगे कि वे औपचारिक रूप से समतुल्य हैं। जिस प्रकार किसी क्षेत्र में एक कण की संभावना क्षेत्र के स्थान पर नहीं बल्कि उसके आकार पर निर्भर करती है, उसी प्रकार एक कण के उत्सर्जन का अवलोकन करने की संभावना मापने के समय पर नहीं बल्कि अवलोकन अंतराल पर निर्भर करती है। स्मृतिहीनता स्थानिक प्रक्रियाओं की बिना-परस्पर क्रिया के समान है: क्या हुआ था किसी और समय में, इसका प्रभाव नहीं होता। अंत में, अलग-अलग घटनाएँ मतलब है कि एक समय में केवल एक कण उत्सर्जित हो सकता है, उसी प्रकार जैसे एक स्थान पर एक बार में केवल एक वस्तु हो सकती है।

इस प्रकार, यदि हम “एक समय अंतराल t में k कण उत्सर्जित होते हैं” घटना को परिभाषित करते हैं, तो इसका होने की संभावना एक घटना g_k(t) के रूप में होगी, अर्थात:

P(g_k(t)) =\displaystyle \frac{(ct)^k}{k!} e^{-ct}

अस्थायी और स्थानिक

दोनों प्रक्रियाएँ, स्थानिक और अस्थायी, औपचारिक रूप से समतुल्य हैं। वे केवल व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए व्याख्या करने के तरीके में भिन्न होती हैं। इस भिन्नता को स्पष्ट करने का एक त्वरित तरीका “c” स्थिरांक की भूमिका का अवलोकन करना है जो दोनों मामलों में प्रकट होती है। ताकि घातीय फ़ंक्शन अच्छी तरह से परिभाषित हो, आवश्यक है कि इसका तर्क विमारहित हो; हालांकि, इसमें समय या स्थान की इकाइयाँ होती हैं, इसके आधार पर कि हम अस्थायी या स्थानिक प्रक्रियाओं के साथ काम कर रहे हैं। इस समस्या को c स्थिरांक हल करती है। हमें मिलता है:

Po(k;\lambda)=\displaystyle \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\left\{\begin{matrix} {टॉमंडो\,\lambda = \rho v } & \longmapsto &\displaystyle \frac{(\rho v)^k}{k!}e^{-\rho v} & {स्थानिक प्रक्रिया} \\ {टॉमंडो\,\lambda = \nu t } & \longmapsto &\displaystyle \frac{(\nu t)^k}{k!}e^{-\nu t} & {अस्थायी प्रक्रिया} \end{matrix} \right.

• यदि c=\rho, तो यह एक स्थानिक घनत्व (प्रति स्थान इकाई में चीजों की संख्या) है, इसलिए यह एक स्थानिक पॉइसन प्रक्रिया को परिभाषित करती है।
• यदि c=\nu, तो यह एक अस्थायी घनत्व (या आवृत्ति, प्रति समय इकाई में घटनाओं की संख्या) है, इसलिए यह एक अस्थायी पॉइसन प्रक्रिया को परिभाषित करती है।

पॉइसन वितरण के व्यावहारिक उदाहरण

1. एक सुपरमार्केट की कैशियर हर 9 मिनट में औसतन 2 ग्राहकों को सेवा देती है। एक तालिका बनाएं जहां 5 मिनट के समय अंतराल में 1, 2, 3, और इसी प्रकार, 5 लोगों तक सेवा देने की संभावनाओं को दिखाया गया है।
2. एक पशु चिकित्सा क्लिनिक की अधिकतम 12 ग्राहकों को प्रतिदिन सेवा देने की क्षमता है। यदि औसतन 9 ग्राहक प्रतिदिन प्राप्त होते हैं, तो एक दिन में क्लिनिक की सेवा क्षमता को पार करने की संभावना क्या है?
3. एक स्थान में प्रति 1000 वर्ग मीटर में 10 लोगों की जनसंख्या घनत्व है। 60 वर्ग मीटर की जगह में 15 से कम लोगों को खोजने की संभावना क्या है?
4. एक मुर्गी सड़क पार करना चाहती है। सीधे चलते हुए, उसे 58 सेकंड लगते हैं। यदि सड़क पर 1 मिनट में 3 वाहनों का यातायात है, और यदि एक वाहन मुर्गी को पार करते समय गुजरे, तो निश्चित रूप से मुर्गी के लिए यह घातक परिणाम होगा। मुर्गी के जीवित होकर दूसरी ओर पहुंचने की संभावना क्या है?