Was ist eine gewöhnliche Differentialgleichung (EDO)?

Zusammenfassung:
In dieser Vorlesung werden gewöhnliche Differentialgleichungen (EDO) k-ter Ordnung untersucht, beginnend mit ihrer Definition und ihrer Darstellung in normaler und allgemeiner Form. Mithilfe von Konzepten wie der Jakobischen Matrix und dem Satz von der impliziten Funktion werden die Grundlagen gelegt, um die Lösungen dieser Gleichungen und die damit verbundenen Eigenschaften, wie den Definitionsbereich und explizite sowie implizite Lösungen, zu verstehen.

LERNZIELE

Am Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein:

1. Sich zu erinnern an die Definition und die grundlegenden Eigenschaften einer gewöhnlichen Differentialgleichung (EDO).
2. Zu erklären die Beziehung zwischen einer EDO und ihren möglichen Lösungen.

INHALTSVERZEICHNIS
Die gewöhnliche Differentialgleichung (EDO) k-ter Ordnung
Satz von der impliziten Funktion
Die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung
Achtung auf den Definitionsbereich der Lösungen
Erweiterte Lösung und maximale Lösung
Explizite und implizite Lösung

Mit dem bisher Gesehenen haben wir eine ziemlich klare Vorstellung davon, was eine Differentialgleichung ist und welche vielfältigen Anwendungen sie haben kann. Wir halten nun inne, um einige Definitionen und Eigenschaften zu studieren, mit dem Ziel, eine solide gemeinsame Grundlage für die Fortsetzung dieses Studiums zu schaffen.

Die EDO k-ter Ordnung

Eine gewöhnliche Differentialgleichung (EDO) ist eine Gleichung, in der eine unabhängige Variable x, eine Funktion y(x) und einige ihrer gewöhnlichen Ableitungen vorkommen. Die gewöhnlichen Ableitungen erster Ordnung von y(x) werden mit Symbolen wie \frac{dy(x)}{dx} oder y'(x) bezeichnet, die der zweiten Ordnung als \frac{d^2y(x)}{dx^2} oder y''(x), und im Allgemeinen die der Ordnung n als \frac{d^ny(x)}{dx^n} oder y^{(n)}(x). Das Supremum der Werte k, für die y^{(k)}(x) in der Gleichung erscheint, nennen wir Ordnung der Gleichung. Auf diese Weise ist die allgemeine Form einer EDO der Ordnung k:

F\left(x,y(x),y'(x), \cdots, y^{(k)}(x)\right)=0.

Eine EDO der Ordnung k befindet sich in Normalform, wenn sie so ausgedrückt wird, dass y^{(k)}(x) aus der obigen Gleichung isoliert ist, das heißt:

y^{(k)}(x) = f\left(x,y(x),y'(x), \cdots, y^{(k-1)}(x)\right).

Im Allgemeinen ist die Funktion y eine Funktion \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^n, sodass diese und alle ihre Ableitungen, die an einem Punkt x\in\mathbb{R} ausgewertet werden, Vektoren in \mathbb{R}^n sind. Unter dieser Annahme ergibt sich, dass die Funktion F, die die EDO der Ordnung k beschreibt, 1+(k+1) Variablen hat, sodass \text{Dom}(F)\subset \mathbb{R}^{1+n(k+1)} und \text{Rec}(F)\subset \mathbb{R}; und analog gilt \text{Dom}(f) = \mathbb{R}^{1+nk} und \text{Rec}(f)\subset \mathbb{R}^n.

Der Übergang von der allgemeinen Darstellung einer EDO der Ordnung k zu ihrer Normalform ist dank des Satzes von der impliziten Funktion möglich.

Satz von der impliziten Funktion

Sei F eine Funktion der Klasse \mathcal{C}^1 auf einer offenen Menge U \subset \mathbb{R}^n mit reellen Werten. Sei (a_1,\cdots, a_n) \in U so, dass F(a_1,\cdots, a_n) = 0 und

\displaystyle \frac{\partial F(a_1,\cdots, a_n)}{\partial x_n} \neq 0

Dann existiert eine Umgebung V von (a_1, \cdots, a_{n-1}) \in \mathbb{R}^{n-1} und eine Funktion \varphi:V \longrightarrow \mathbb{R}, so dass gilt:

1. V \times \varphi(V) \subset U
2. F(x_1,\cdots,x_{n-1},x_n) = 0 \leftrightarrow x_n = \varphi(x_1,\cdots, x_{n-1})
3. \varphi ist differenzierbar und

   \displaystyle\dfrac{\partial \varphi (a_1,\cdots, a_{n-1})}{\partial x_i} = - \dfrac{ \dfrac{\partial F (a_1,\cdots, a_n)}{\partial x_i} }{ \dfrac{\partial F (a_1,\cdots, a_n)}{\partial x_n} }

Beweis des Satzes von der impliziten Funktion

Entwicklung aus der Jakobischen Matrix

Sei \psi(x_1,\cdots,x_{n-1}, x_n) = (x_1,\cdots,x_{n-1}, F(x_1,\cdots, x_n)). Wenn wir ihre Jakobische Matrix berechnen, die im Folgenden gezeigt wird:

\displaystyle \left( \dfrac{\partial \psi(x_1,\cdots, x_n)}{\partial(x_1,\cdots, x_n)} \right) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & \vdots \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ \displaystyle \dfrac{\partial F(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_1} & \dfrac{\partial F(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial F(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_n} \end{array}\right),

sehen wir, dass ihre Determinante an (a_1,\cdots, a_n) ungleich null ist, gerade weil, wie zu Beginn festgestellt, \partial F(a_1,\cdots, a_n)/\partial x_n \neq 0. Daraus können wir schließen, dass \psi eine Inverse auf einer offenen Menge W besitzt, die (a_1,\cdots, a_n) enthält.

Entwicklung der Lösung

Betrachten wir nun eine Menge

\tilde{V}=\psi(W)\ni \psi(a_1,\cdots,a_{n}) = (a_1,\cdots,a_{n-1},F(a_1,\cdots,a_{n}))=(a_1,\cdots,a_{n-1},0).

Ausgehend davon können wir eine weitere Menge definieren

V=\{(x_1,\cdots,x_{n-1}) \;|\; (x_1,\cdots,x_{n-1},0)\in \tilde{V}\}\ni (a_1,\cdots,a_{n-1})

Die Menge V ist folglich eine offene Menge, die (a_1,\cdots,a_{n-1})\in\mathbb{R}^{n-1} enthält.

Außerdem existiert, da \psi eine Inverse besitzt (in W), ein eindeutiges (y_1,\cdots,y_n)\in W mit \psi(y_1,\cdots,y_n) = (x_1,\cdots,x_{n-1},0). Das bedeutet:

\begin{array}{rl} y_1 &= x_1 \\ \\ \vdots & \vdots \\ \\ y_{n-1} &= x_{n-1} \\ \\ F(x_1,\cdots,x_{n-1},y_n) &= 0 \end{array}

So können wir \varphi(x_1,\cdots,x_{n-1}) = y_n definieren, sodass gilt:

\psi^{-1}(x_1,\cdots,x_{n-1},0) = (x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1}))

und

F(x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1})) = 0

Daraus folgt, dass \varphi(V)\ni a_n, und folglich V\times\varphi(V) \subset U, und außerdem:

F(x_1,\cdots,x_{n-1},x_n) = 0 \leftrightarrow x_n = \varphi(x_1,\cdots,x_{n-1})

Differenzierbarkeit

Schließlich führt die Differenzierbarkeit von \psi zur Differenzierbarkeit von \psi^{-1}, was wiederum zur Differenzierbarkeit von \varphi auf V führt. Unter dieser Voraussetzung können wir eine Funktion g durch die Beziehung definieren:

g(x_1, \cdots,x_{n-1}) = F(x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1})) = 0

Und dann gilt unter Verwendung der Kettenregel:

\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x_i} = \frac{\partial F}{\partial x_i} + \frac{\partial F}{\partial x_n}\frac{\partial \varphi }{\partial x_i} = 0,

wobei i=1,\cdots, n-1. Aus dieser letzten Gleichung ergibt sich:

\displaystyle \dfrac{\partial \varphi(a_1,\cdots,a_{n-1})}{\partial x_i} = - \dfrac{\dfrac{\partial F(a_1,\cdots,a_{n})}{\partial x_i}}{\dfrac{\partial F(a_1,\cdots,a_{n})}{\partial x_n}}

Und damit ist alles bewiesen, was gezeigt werden sollte ■

Die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung

Betrachten wir eine EDO in Normalform

y^{(n)} = f(x,y(x),y^\prime(x),\cdots,y^{(n-1)(x)})

Dann heißt eine Funktion \varphi : I_\phi \longmapsto \mathbb{R}^n, wobei I_\phi ein Intervall von \mathbb{R} ist, eine Lösung der EDO, wenn gilt:

\left(\forall x \in I_\phi \right) \left(\varphi^{(n)}(x) = f(x,\varphi(x),\varphi^\prime(x),\cdots,\varphi^{(n-1)(x)}\right)

Achtung auf den Definitionsbereich der Lösungen

An dieser Stelle ist es notwendig, die Bedeutung der expliziten Angabe des Definitionsbereichs der Lösung der Differentialgleichung zu betonen. Zum Beispiel ist der Definitionsbereich der Funktion \phi, von der wir im vorherigen Absatz gesprochen haben, das Intervall I_\phi. Dies ist wichtig, weil ein häufiger Fehler bei der Arbeit mit Differentialgleichungen darin besteht, zwei Lösungen \phi_1 und \phi_2 als gleich zu betrachten, nur weil \left(\forall x \in I_{\phi_1}\cap I_{\phi_2}\right)\left(\phi_1(x) = \phi_2(x)\right), obwohl I_{\phi_1}\neq I_{\phi_2}. Um diesen Punkt zu verdeutlichen, untersuchen wir die Differentialgleichung:

y^\prime = -y^2.

Eine mögliche Lösung für diese EDO ist die Funktion \psi_1 : ]0,+\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}^+\setminus\{0\}, definiert durch \psi_1(x)=1/x, weil \psi_1^{\prime} = -1/x^2 = -\psi_1^2 für jedes x\in]0,+\infty[. Aber mit ein wenig algebraischem Spiel kann man von dieser zu einer völlig anderen Lösung übergehen, wenn man nicht auf die Details achtet. Zum Beispiel ist klar, dass:

\displaystyle \frac{1}{x} = \frac{1}{1 - (1-x)},

und die rechte Seite dieser Gleichung ist das Ergebnis der geometrischen Reihe:

\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (1-x)^n = \frac{1}{1 - (1-x)}

So könnte ein ungeübtes Auge in diesen arkanen Künsten versucht sein zu denken, dass die Funktionen \psi_1
und \psi_2 = \sum_{n=0}^{+\infty} (1-x)^n uns dieselbe Lösung für die Differentialgleichung vom Anfang liefern, da sie tatsächlich in ihren Ergebnissen übereinstimmen; jedoch wird dabei übersehen, dass diese geometrische Reihe nur gültig ist, wenn |1-x| \lt 1, das heißt, wenn x\in]0,2[). Aber es gibt noch mehr: Da ]0,2[\subset]0,+\infty[, gilt auch, dass \psi_1 eine Erweiterung von \psi_2 darstellt, weil dort, wo \psi_2 gültig ist, auch \psi_1 gültig ist – und darüber hinaus.

Erweiterte Lösung und maximale Lösung

Betrachten wir zwei Funktionen \phi_1 und \phi_2, die auf den Intervallen I_{\phi_1} bzw. I_{\phi_2} definiert sind und Lösungen einer Differentialgleichung darstellen. Wenn I_{\phi_1}\subset I_{\phi_2}, dann sagt man, dass die Lösung \phi_2 die Lösung \phi_1 erweitert oder dass die Lösung \phi_2 allgemeiner ist als die Lösung \phi_1. Eine Lösung \phi wird als „maximal“ bezeichnet, wenn es keine andere Lösung gibt, die sie in nichttrivialer Weise erweitert.

Explizite Lösung und implizite Lösung

Eine Funktion \phi wird als Lösung der EDO der Ordnung n (in Normalform geschrieben) betrachtet

y^{(n)}(x)=f(x,y(x),y^\prime(x),\cdots,y^{(n-1)}(x)),

innerhalb eines Intervalls I, wenn

(\forall x\in I)\left(\phi^{n}(x) = f(x,\phi(x),\phi^\prime(x),\cdots,\phi^{(n-1)}(x))\right)

Das, was wir bereits einige Absätze zuvor überprüft haben, ist das, was als explizite Lösung der Differentialgleichung im Intervall I bekannt ist. Wie der Name schon andeutet, gibt es auch eine implizite Form, die Lösungen zu definieren. Es wird gesagt, dass eine Beziehung \Phi(x,y)=0 eine implizite Lösung der Differentialgleichung in I ist, wenn sie zwei oder mehr implizite Lösungen in I definiert.

Schlussfolgerung

In dieser Vorlesung haben wir den Begriff der gewöhnlichen Differentialgleichung in einer strengen, aber zugänglichen Weise zerlegt und die formalen Grundlagen geschaffen, die es uns ermöglichen, nicht nur eine EDO zu erkennen, sondern auch die Logik hinter ihren Lösungen zu verstehen. Dank des Satzes von der impliziten Funktion war es möglich, den Übergang zwischen ihrer allgemeinen Form und ihrer Normalform klar zu begründen, was eine entscheidende technische Fähigkeit darstellt, um konkrete Probleme anzugehen.

Darüber hinaus haben wir die verschiedenen Möglichkeiten, wie eine Lösung verstanden werden kann, präzise unterschieden: als explizite oder implizite Lösung, als erweiterte oder maximale Lösung, und wir haben die — oft unterschätzte — Bedeutung hervorgehoben, ihren Definitionsbereich angemessen anzugeben. Diese Unterscheidungen sind nicht nur formaler Natur: sie sind operativ. Ihre Missachtung kann, wie wir gesehen haben, zu schwerwiegenden konzeptionellen Fehlern bei der Interpretation der erhaltenen Ergebnisse führen.