साधारण अवकल समीकरण (EDO) क्या है?

सारांश:
इस कक्षा में, क्रम k के साधारण अवकल समीकरणों (EDO) का अन्वेषण किया गया है, इसकी परिभाषा और सामान्य एवं मानक रूप में उसकी अभिव्यक्ति से शुरुआत करते हुए। जैकोबियन मैट्रिक्स और अंतर्निहित फलन प्रमेय जैसे अवधारणाओं के माध्यम से, इन समीकरणों के हल और संबद्ध गुणों को समझने की नींव रखी जाती है, जैसे परिभाषा का डोमेन और स्पष्ट व अप्रत्यक्ष हल।

अध्ययन के उद्देश्य

इस कक्षा के अंत में छात्र सक्षम होगा:

स्मरण करना एक साधारण अवकल समीकरण (EDO) की परिभाषा और इसकी मूलभूत विशेषताओं को।
व्याख्या करना एक EDO और उसके संभावित हलों के बीच के संबंध को।

अनुक्रमणिका
क्रम k का साधारण अवकल समीकरण (EDO)
अंतर्निहित फलन का प्रमेय
साधारण अवकल समीकरण का हल
हल के परिभाषा क्षेत्र के प्रति सावधानी
विस्तारित हल और अधिकतम हल
स्पष्ट हल और अप्रत्यक्ष हल

अब तक जो देखा गया है, उससे हमें यह काफी स्पष्ट हो गया है कि एक अवकल समीकरण क्या होता है और इसके अनेक उपयोग क्या हो सकते हैं। अब हम कुछ परिभाषाओं और गुणों का अध्ययन करेंगे ताकि इस अध्ययन को आगे ले जाने के लिए एक मजबूत सामान्य आधार स्थापित किया जा सके।

क्रम k का EDO

एक साधारण अवकल समीकरण (EDO) एक ऐसा समीकरण है जिसमें एक स्वतंत्र चर $x$ , एक फलन $y(x)$ , और इसके कुछ साधारण अवकलज शामिल होते हैं। $y(x)$ के पहले क्रम के साधारण अवकलज को $\frac{dy(x)}{dx}$ या $y'(x)$ के रूप में दर्शाया जाता है, दूसरे क्रम के को $\frac{d^2y(x)}{dx^2}$ या $y''(x)$ के रूप में, और सामान्यतः, क्रम $n$ के को $\frac{d^ny(x)}{dx^n}$ या $y^{(n)}(x)$ के रूप में दर्शाया जाता है। उन मानों का अधिकतम $k$ , जिनके लिए $y^{(k)}(x)$ समीकरण में आता है, को हम समीकरण का क्रम कहते हैं। इस प्रकार, क्रम $k$ के EDO का सामान्य रूप इस प्रकार है:

$F\left(x,y(x),y'(x), \cdots, y^{(k)}(x)\right)=0.$

कहा जाता है कि यदि किसी क्रम $k$ की EDO को इस प्रकार व्यक्त किया जाए कि $y^{(k)}(x)$ अलग कर लिया जाए, तो वह सामान्य रूप में है, अर्थात्:

$y^{(k)}(x) = f\left(x,y(x),y'(x), \cdots, y^{(k-1)}(x)\right).$

सामान्यतः, फलन $y$ एक फलन होता है $\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^n,$ इस प्रकार कि यह और इसके सभी अवकलज किसी बिंदु $x\in\mathbb{R}$ पर मूल्यांकन किए जाने पर $\mathbb{R}^n$ के सदिश होते हैं। इसे ध्यान में रखते हुए, यह स्पष्ट होता है कि, चूंकि $F$ जो EDO को परिभाषित करता है उसमें $1+(k+1)$ चरों होते हैं, इसलिए $\text{Dom}(F)\subset \mathbb{R}^{1+n(k+1)}$ और $\text{Rec}(F)\subset \mathbb{R}$ ; और इसी प्रकार, $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}^{1+nk}$ और $\text{Rec}(f)\subset \mathbb{R}^n$ होता है।

क्रम $k$ के EDO के सामान्य रूप से उसके सामान्य रूप में परिवर्तन अंतर्निहित फलन के प्रमेय के कारण संभव होता है।

अंतर्निहित फलन का प्रमेय

मान लीजिए $F$ एक $\mathcal{C}^1$ वर्ग का फलन है एक खुले समुच्चय $U \subset \mathbb{R}^n$ पर जिसका मूल्य वास्तविक संख्याओं में है। और मान लें $(a_1,\cdots, a_n) \in U$ ऐसा है कि $F(a_1,\cdots, a_n) = 0$ और

$\displaystyle \frac{\partial F(a_1,\cdots, a_n)}{\partial x_n} \neq 0$

तब एक पड़ोस $V$ मौजूद है $(a_1, \cdots, a_{n-1}) \in \mathbb{R}^{n-1}$ का और एक फलन $\varphi:V \longrightarrow \mathbb{R}$ ऐसा कि:

$V \times \varphi(V) \subset U$
$F(x_1,\cdots,x_{n-1},x_n) = 0 \leftrightarrow x_n = \varphi(x_1,\cdots, x_{n-1})$
$\varphi$ अवकलनीय है और
$\displaystyle\dfrac{\partial \varphi (a_1,\cdots, a_{n-1})}{\partial x_i} = - \dfrac{ \dfrac{\partial F (a_1,\cdots, a_n)}{\partial x_i} }{ \dfrac{\partial F (a_1,\cdots, a_n)}{\partial x_n} }$

अंतर्निहित फलन प्रमेय का प्रमाण

जैकोबियन मैट्रिक्स से व्युत्पन्न

मान लीजिए $\psi(x_1,\cdots,x_{n-1}, x_n) = (x_1,\cdots,x_{n-1}, F(x_1,\cdots, x_n)).$ यदि हम इसकी जैकोबियन मैट्रिक्स की गणना करें, जो नीचे दिखाई गई है:

$\displaystyle \left( \dfrac{\partial \psi(x_1,\cdots, x_n)}{\partial(x_1,\cdots, x_n)} \right) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & \vdots \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ \displaystyle \dfrac{\partial F(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_1} & \dfrac{\partial F(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial F(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_n} \end{array}\right),$

तो हम देखेंगे कि इसका डिटर्मिनेंट $(a_1,\cdots, a_n)$ पर शून्य नहीं है, विशेष रूप से क्योंकि, जैसा कि प्रारंभ में कहा गया था, $\partial F(a_1,\cdots, a_n)/\partial x_n \neq 0.$ इससे हम कह सकते हैं कि $\psi$ का एक व्युत्क्रम अस्तित्व में है एक खुले समुच्चय $W$ पर जो $(a_1,\cdots, a_n)$ को सम्मिलित करता है।

हल का विकास

अब, एक समुच्चय पर विचार करें

$\tilde{V}=\psi(W)\ni \psi(a_1,\cdots,a_{n}) = (a_1,\cdots,a_{n-1},F(a_1,\cdots,a_{n}))=(a_1,\cdots,a_{n-1},0).$

इससे, हम एक अन्य समुच्चय को परिभाषित कर सकते हैं

$V=\{(x_1,\cdots,x_{n-1}) \;|\; (x_1,\cdots,x_{n-1},0)\in \tilde{V}\}\ni (a_1,\cdots,a_{n-1})$

समुच्चय $V$ इस प्रकार, एक खुला समुच्चय है जो $(a_1,\cdots,a_{n-1})\in\mathbb{R}^{n-1}$ को सम्मिलित करता है।

इसके अलावा, चूंकि $\psi$ का व्युत्क्रम अस्तित्व में है ( $W$ में), तो एक अद्वितीय $(y_1,\cdots,y_n)\in W$ मौजूद है ऐसा कि $\psi(y_1,\cdots,y_n) = (x_1,\cdots,x_{n-1},0).$ इसका अर्थ है कि:

$\begin{array}{rl} y_1 &= x_1 \\ \\ \vdots & \vdots \\ \\ y_{n-1} &= x_{n-1} \\ \\ F(x_1,\cdots,x_{n-1},y_n) &= 0 \end{array}$

इस प्रकार, हम परिभाषित कर सकते हैं $\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1}) = y_n$ , जिससे कि:

$\psi^{-1}(x_1,\cdots,x_{n-1},0) = (x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1}))$

और

$F(x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1})) = 0$

इससे हमारे पास है कि $\varphi(V)\ni a_n,$ और परिणामस्वरूप $V\times\varphi(V) \subset U,$ और साथ ही:

$F(x_1,\cdots,x_{n-1},x_n) = 0 \leftrightarrow x_n = \varphi(x_1,\cdots,x_{n-1})$

अवकलनीयता

और अंत में, $\psi$ की अवकलनीयता $\psi^{-1}$ की अवकलनीयता की ओर ले जाती है, जो बदले में $\varphi$ की अवकलनीयता की ओर ले जाती है $V$ पर। इसे ध्यान में रखते हुए, हम एक फलन $g$ को निम्नलिखित संबंध के माध्यम से परिभाषित कर सकते हैं:

$g(x_1, \cdots,x_{n-1}) = F(x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1})) = 0$

और फिर, श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

$\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x_i} = \frac{\partial F}{\partial x_i} + \frac{\partial F}{\partial x_n}\frac{\partial \varphi }{\partial x_i} = 0,$

जहाँ $i=1,\cdots, n-1.$ इस अंतिम समीकरण से हमें प्राप्त होता है:

$\displaystyle \dfrac{\partial \varphi(a_1,\cdots,a_{n-1})}{\partial x_i} = - \dfrac{\dfrac{\partial F(a_1,\cdots,a_{n})}{\partial x_i}}{\dfrac{\partial F(a_1,\cdots,a_{n})}{\partial x_n}}$

और इसके साथ ही हम वह सब सिद्ध कर लेते हैं जो सिद्ध करना था ■

एक साधारण अवकल समीकरण का हल

आइए एक सामान्य रूप में व्यक्त EDO पर विचार करें

$y^{(n)} = f(x,y(x),y^\prime(x),\cdots,y^{(n-1)(x)})$

तब, एक फलन $\varphi : I_\phi \longmapsto \mathbb{R}^n,$ जहाँ $I_\phi$ $\mathbb{R}$ का एक अंतराल है, को EDO का एक हल कहा जाता है यदि:

$\left(\forall x \in I_\phi \right) \left(\varphi^{(n)}(x) = f(x,\varphi(x),\varphi^\prime(x),\cdots,\varphi^{(n-1)(x)}\right)$

हल के परिभाषा क्षेत्र के प्रति सावधानी

इस बिंदु पर यह आवश्यक है कि अवकल समीकरण के हल के परिभाषा क्षेत्र को स्पष्ट रूप से घोषित करने के महत्व पर बल दिया जाए। उदाहरण के लिए, उस फलन $\phi$ का परिभाषा क्षेत्र, जिसका उल्लेख पिछले अनुच्छेद में किया गया था, $I_\phi$ अंतराल है। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि अवकल समीकरणों पर कार्य करते समय एक सामान्य त्रुटि यह मान लेना होता है कि दो हल $\phi_1$ और $\phi_2$ समान हैं केवल इसलिए कि $\left(\forall x \in I_{\phi_1}\cap I_{\phi_2}\right)\left(\phi_1(x) = \phi_2(x)\right),$ जबकि वास्तव में $I_{\phi_1}\neq I_{\phi_2}.$ इस बिंदु को स्पष्ट करने के लिए, आइए निम्नलिखित अवकल समीकरण का अध्ययन करें:

$y^\prime = -y^2.$

इस EDO का एक संभावित हल फलन $\psi_1 : ]0,+\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}^+\setminus\{0\}$ है, जिसे $\psi_1(x)=1/x$ के रूप में परिभाषित किया गया है, क्योंकि $\psi_1^{\prime} = -1/x^2 = -\psi_1^2$ किसी भी $x\in]0,+\infty[$ के लिए होता है। लेकिन कुछ बीजगणितीय चालों के माध्यम से, यदि हम विवरणों पर ध्यान न दें तो हम इससे एक पूरी तरह भिन्न हल पर पहुँच सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट है कि:

$\displaystyle \frac{1}{x} = \frac{1}{1 - (1-x)},$

और इस समता का दायाँ पक्ष निम्नलिखित ज्यामितीय श्रेणी का परिणाम है:

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (1-x)^n = \frac{1}{1 - (1-x)}$

इस प्रकार, इन गूढ़ कलाओं में कम अनुभवी कोई व्यक्ति यह मान सकता है कि फलन $\psi_1$ और $\psi_2 = \sum_{n=0}^{+\infty} (1-x)^n$ हमें वही हल प्रदान करते हैं जो ऊपर दी गई अवकल समीकरण के लिए उपयुक्त है, क्योंकि वास्तव में उनके परिणाम मेल खाते हैं; हालाँकि, यह ध्यान नहीं दिया जाएगा कि यह ज्यामितीय श्रेणी केवल तब मान्य है जब $|1-x| \lt 1$ , अर्थात $x\in]0,2[$ के लिए। लेकिन और भी है: चूंकि $]0,2[\subset]0,+\infty[$ , इसलिए यह भी सत्य है कि $\psi_1$ $\psi_2$ का विस्तार करता है, क्योंकि जहाँ $\psi_2$ परिभाषित है, वहाँ $\psi_1$ भी परिभाषित है — और उससे भी आगे।

विस्तारित हल और अधिकतम हल

आइए दो फलनों $\phi_1$ और $\phi_2$ पर विचार करें, जो क्रमशः $I_{\phi_1}$ और $I_{\phi_2}$ अंतरालों पर परिभाषित हैं, और जो किसी अवकल समीकरण के हल हैं। यदि $I_{\phi_1}\subset I_{\phi_2},$ तो कहा जाता है कि हल $\phi_2$ हल $\phi_1$ का विस्तार करता है, या कि $\phi_2$ हल $\phi_1$ की तुलना में अधिक सामान्य है। एक हल $\phi$ को “अधिकतम” कहा जाता है यदि ऐसा कोई अन्य हल न हो जो उसे गैर-तुच्छ रूप में विस्तार करे।

स्पष्ट हल और अप्रत्यक्ष हल

एक फलन $\phi$ को क्रम $n$ की EDO (सामान्य रूप में लिखी गई) का हल माना जाता है:

$y^{(n)}(x)=f(x,y(x),y^\prime(x),\cdots,y^{(n-1)}(x)),$

किसी अंतराल $I$ में यदि

$(\forall x\in I)\left(\phi^{n}(x) = f(x,\phi(x),\phi^\prime(x),\cdots,\phi^{(n-1)}(x))\right)$

जो हमने पहले कई अनुच्छेदों में देखा, वही है जिसे अंतराल $I$ में अवकल समीकरण का स्पष्ट हल कहा जाता है। जैसा कि नाम से स्पष्ट है, हलों को परिभाषित करने का एक अप्रत्यक्ष रूप भी होता है। कहा जाता है कि कोई संबंध $\Phi(x,y)=0$ अंतराल $I$ में अवकल समीकरण का अप्रत्यक्ष हल है यदि यह $I$ में दो या अधिक अप्रत्यक्ष हलों को परिभाषित करता है।

निष्कर्ष

इस कक्षा में हमने साधारण अवकल समीकरण की संकल्पना को एक कठोर लेकिन सुलभ दृष्टिकोण से विभाजित किया है, और उन औपचारिक नींवों की स्थापना की है जो हमें न केवल एक EDO को पहचानने की अनुमति देती हैं, बल्कि उनके हलों के पीछे की तर्कशक्ति को भी समझने में सक्षम बनाती हैं। अंतर्निहित फलन के प्रमेय की बदौलत, हम सामान्य रूप और सामान्यीकृत रूप के बीच परिवर्तन को स्पष्ट रूप से उचित ठहरा पाए, जो व्यावहारिक समस्याओं से निपटने के लिए एक महत्वपूर्ण तकनीकी क्षमता है।

इसके अलावा, हमने सटीक रूप से उन विभिन्न तरीकों को भी पहचाना जिनमें किसी हल को समझा जा सकता है: स्पष्ट या अप्रत्यक्ष, विस्तारित या अधिकतम; और हमने इस बात पर बल दिया — जिसे अक्सर कम आंका जाता है — कि उनके परिभाषा क्षेत्र को उचित रूप से घोषित करना कितना महत्वपूर्ण है। ये भेद केवल औपचारिक नहीं हैं: ये क्रियात्मक हैं। जैसा कि हमने देखा, इनकी उपेक्षा करने से प्राप्त परिणामों की व्याख्या में गंभीर वैचारिक त्रुटियाँ हो सकती हैं।