Das inertiale Bezugssystem

Bei der Durchführung von Physik ist es stets möglich, das Bezugssystem zu wählen, aus dem die Ereignisse gemessen werden, und diese Systeme können sich sowohl in ihrer Orientierung als auch in ihrer relativen Bewegung unterscheiden. Unter all den möglichen Bezugssystemen gibt es eine besondere Klasse, die uns erlaubt, die Physik so zu betreiben, wie wir sie kennen: dies sind die inertialen Bezugssysteme. Ein Bezugssystem wird als inertial bezeichnet, wenn in ihm das erste Newtonsche Gesetz erfüllt ist, das besagt, dass in Abwesenheit äußerer Einflüsse die Teilchen ihren Bewegungszustand beibehalten und daher:

\displaystyle \frac{dx^2}{dt^2} = \frac{dy^2}{dt^2} = \frac{dz^2}{dt^2} = 0.

Daraus folgt, dass in Abwesenheit der Gravitation, wenn zwei Rahmen S und S^\prime inertial sind, S^\prime nur von S abweichen kann in:

• eine Translation,
• eine Rotation,
• eine relative Bewegung zwischen beiden Systemen mit konstanter Geschwindigkeit.

Der Begriff des Inertialsystems ist grundlegend für das Relativitätsprinzip, das besagt, dass die Gesetze der Physik in allen Inertialsystemen die gleiche Form haben. Dieses Prinzip gilt gleichermaßen sowohl in der newtonschen Physik als auch in der speziellen Relativität.

Das Relativitätsprinzip in der newtonschen Physik und in der speziellen Relativität

Die newtonschen Beschreibungen und die der speziellen Relativität unterscheiden sich darin, wie die Koordinaten eines Ereignisses, relativ zu einem Inertialsystem, sich zu denen eines anderen Inertialsystems verhalten.

Betrachten wir zwei kartesische Inertialsysteme S und S^\prime in der „Standardkonfiguration“, d. h. S^\prime bewegt sich entlang der Achse \hat{x} von S mit einer konstanten Geschwindigkeit \vec{v}_{ss^\prime} = v_{ss^\prime_x} \hat{x}, und die jeweiligen Achsen von S und S^\prime sind ausgerichtet und fallen bei t=t^\prime = 0 zusammen.

Dann gilt, dass, wenn eine lineare Transformation existiert, die die Koordinaten eines Ereignisses, gesehen von S und S^\prime, miteinander verknüpft, diese durch das folgende System linearer Gleichungen miteinander verbunden sind

\begin{array}{rl} t^\prime &= At + Bx,\\ x^\prime &= Dt + Ex,\\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &=z, \end{array}\;\;\;[\triangle]

wobei A, B, D und E zu bestimmende Konstanten sind.

Die Transformationen zwischen inertialen Bezugssystemen vereinfachen

Diese Transformationen können vereinfacht werden, wenn wir die folgenden Beobachtungen machen:

• Da die Transformationen für jedes x^\prime gelten müssen, ergibt sich, dass, wenn wir das Ereignis in den Ursprung von S^\prime setzen, x^\prime =0 ist. Dies impliziert, dass sich das Ereignis zusammen mit S^\prime bewegt und seine Position relativ zu S x=v_{{ss^\prime}_x}t ist.

  Setzt man x=v_{{ss^\prime}_x}t in die zweite Gleichung von [\triangle] ein, erhält man D=-Ev_{{ss^\prime}_x}.

  Analogen gelten die Transformationen auch für jedes x; setzt man das Ereignis in den Ursprung von S, so hat es aus Sicht von S^\prime die Position x^\prime = -v_{{ss^\prime}_x}t^\prime.

  Setzt man dies in die erste und zweite Gleichung von [\triangle] ein, erhält man t^\prime=At und -v_{{ss^\prime}_x}t^\prime =Dt. Durch Division dieser beiden Gleichungen folgt D=-v_{{ss^\prime}_x}A.

• Damit ist die einzige Möglichkeit, die obigen Punkte in Einklang zu bringen, die Forderung A=E,, und damit reduzieren sich die Transformationen auf:

  \begin{array}{rl} t^\prime &= At + Bx,\\ x^\prime &= A(x - v_{ss^\prime_x} t), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}\;\;\;[2]

Lorentz- und Galilei-Transformationen

Im Fall der newtonschen Physik haben wir die Galileische Relativität, in der die Zeit in allen Inertialsystemen gleich vergeht und daher t=t^\prime. Als Konsequenz davon ergibt sich A=1 und B=0. Dies führt zu den bekannten Galilei-Transformationen, die es ermöglichen, die Beobachtungen zwischen zwei inertialen Bezugssystemen zu transformieren

\begin{array}{rl} t^\prime &= t\\ x^\prime &= x - v_{ss^\prime_x} t, \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}\;\;\;[3]

Andererseits haben wir im Fall der relativistischen Physik das Einstein’sche Relativitätsprinzip, das statt dessen die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum als in allen Inertialsystemen gleich betrachtet. Dies führt zu den bekannten Lorentz-Transformationen der speziellen Relativität und, wie wir in späteren Beiträgen sehen werden, nehmen sie folgende Form an:

\begin{array}{rl} ct^\prime &=\gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \\ x^\prime &= \gamma_x(x - \beta_x ct) \\ y^\prime &= y \\ z^\prime &= z \end{array}

wobei \beta_x=v_{ss^\prime_x}/c und \gamma= 1/\sqrt{1-\beta_x^2}.

Schlussfolgerungen

Das Relativitätsprinzip revolutioniert nicht nur unser Verständnis des Universums, sondern stellt auch unsere grundlegendsten Wahrnehmungen von Zeit und Raum infrage. Durch die Analyse inertialer Bezugssysteme haben wir gesehen, wie die Gesetze der Physik ihre Form unabhängig vom Beobachter sowohl in der newtonschen Physik als auch in der speziellen Relativität beibehalten. Die Lorentz- und Galilei-Transformationen veranschaulichen auf einzigartige Weise die feinen und tiefgreifenden Unterschiede zwischen diesen beiden Ansätzen. Dieses Prinzip, das im Herzen der modernen Physik steht, ist nicht nur für das theoretische Verständnis physikalischer Phänomene wesentlich, sondern auch für praktische Anwendungen, die von der GPS-Technologie bis zur Raumfahrt reichen. Durch das Entschlüsseln der Komplexität des Relativitätsprinzips kommen wir einen Schritt näher daran, das komplexe Gefüge des Kosmos und unseren Platz darin zu verstehen.