Das Ein-Perioden-Binomialmodell und die No-Arbitrage-Bedingung

Zusammenfassung:
Stellen Sie sich ein Casino vor, in dem Sie auf ein Spiel wetten können und unabhängig vom Ergebnis immer Geld verdienen. Klingt zu schön, um wahr zu sein, oder? An den Finanzmärkten entstehen solche Gelegenheiten durch die Möglichkeit des Arbitragehandels; sie werden jedoch schnell durch das Handeln der Marktteilnehmer beseitigt. In dieser Unterrichtseinheit untersuchen wir das Ein-Perioden-Binomialmodell und die No-Arbitrage-Bedingung und analysieren, wie Vermögenspreise, Zinssätze und Anlagestrategien die Möglichkeit risikofreier Gewinne ausschließen. Durch detaillierte Beispiele und einen rigorosen mathematischen Beweis werden wir die grundlegenden Prinzipien aufdecken, die der finanziellen Stabilität zugrunde liegen, und erklären, warum die Entdeckung einer Arbitragemöglichkeit nur der Anfang einer viel komplexeren Geschichte ist.

Lernziele
Am Ende dieser Unterrichtseinheit wird der Studierende in der Lage sein:

1. Das Ein-Perioden-Binomialmodell und seine Anwendung bei der Bewertung finanzieller Vermögenswerte zu verstehen.
2. Die grundlegenden Elemente des Ein-Perioden-Binomialmodells zu identifizieren: Basiswert, Aufwärts- und Abwärtsfaktor sowie risikofreier Vermögenswert.
3. Die Konstruktion und Funktion eines selbstfinanzierenden Portfolios im Binomialmodell zu verstehen.
4. Die No-Arbitrage-Bedingung an Finanzmärkten und wie sie risikofreie Gewinne durch selbstfinanzierende Portfolios verhindert, zu verstehen.
5. Die Existenz von Arbitragemöglichkeiten durch Analyse der No-Arbitrage-Bedingung zu bewerten.
6. Zu analysieren, wie Arbitrage die Vermögenspreise beeinflusst und Marktanpassungen verursacht.
7. Die Wirkung von Aktienleihezinsen auf Arbitragestrategien und die No-Arbitrage-Bedingung zu beschreiben.
8. Zu erklären, wie durch mathematische Modelle Marktanpassungen nach dem Auftreten von Arbitragemöglichkeiten erfolgen.
9. Den formalen Beweis des Theorems der No-Arbitrage-Bedingung zu verstehen.

INHALTSVERZEICHNIS
Was ist das Ein-Perioden-Binomialmodell?
Wie erkennt man einen Markt mit Arbitragemöglichkeiten und deren rasche Auflösung
Beweis des No-Arbitrage-Bedingungssatzes
Fazit

Was ist das Ein-Perioden-Binomialmodell?

Das Ein-Perioden-Binomialmodell ist ein mathematisches Modell, das in der Finanzwelt verwendet wird, um die Entwicklung des Preises eines Vermögenswerts in einem diskreten Zeitrahmen zu beschreiben. Es wird „binomial“ genannt, weil sich der Preis des Vermögenswerts in jeder Periode nur in zwei Richtungen bewegen kann: nach oben oder nach unten. Dieses Modell wird häufig zur Bewertung von Finanzderivaten, insbesondere Optionen, eingesetzt und bildet die Grundlage für das Mehrperioden-Binomialmodell.

Elemente des Modells

Das Ein-Perioden-Binomialmodell basiert auf den folgenden grundlegenden Elementen:

• Ein Basiswert: Dargestellt durch seinen Preis S(t) zum Zeitpunkt t. Zum Anfangszeitpunkt t=0 beträgt der Preis des Vermögenswerts S(0). Zum Zeitpunkt t=1 kann sich sein Preis auf einen von zwei möglichen Werten bewegen, bezeichnet als S(1,\text{up}) (Preis bei Anstieg) oder S(1,\text{down}) (Preis bei Rückgang):

  S(1) = \begin{cases} S(1,\text{up}) = S(0) u, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } p, \\ S(1,\text{down}) = S(0) d, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } 1 - p. \end{cases}

  Dabei stehen die Koeffizienten u und d für die Aufwärts- bzw. Abwärtsfaktoren des Preises und erfüllen die Beziehung:

  0\lt d \lt 1 \lt u.

  Diese Beziehung stellt außerdem sicher, dass zukünftige Preise streng positiv bleiben, wie es die grundlegenden Annahmen des einfachen Marktmodells verlangen.

• Wahrscheinlichkeiten: Es wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Preis des Vermögenswerts steigt, p beträgt, und die Wahrscheinlichkeit, dass er fällt, 1 - p, wobei 0 \lt p \lt 1 gilt. Diese Einschränkung garantiert, dass beide Bewegungen des Vermögenswerts möglich sind, und verhindert deterministische Situationen, in denen der Preis immer steigt oder fällt, was das Binomialmodell ungültig machen und Arbitragemöglichkeiten schaffen würde.
• Ein risikofreier Vermögenswert: Es wird ein Anleihepapier oder ein Finanzinstrument eingeführt, dessen Wert sich mit einem risikofreien Zinssatz r vorhersehbar entwickelt. Sein Preis in der nächsten Periode ist gegeben durch A(1) = A(0)(1+r).

Satz: No-Arbitrage-Bedingung im Ein-Perioden-Binomialmodell

Angenommen, ein Vermögenswert hat einen Anfangspreis von S(0) \gt 0, und sein Wert zum Zeitpunkt t=1 folgt der zuvor beschriebenen binomialen Struktur. Weiterhin existiert ein risikofreier Vermögenswert (Anleihe) mit einem Preis A(1) = A(0)(1+r), wobei r der risikofreie Zinssatz ist. Dann ist der Markt genau dann arbitragefrei, wenn die Aufwärts- und Abwärtsfaktoren folgende Bedingung erfüllen:

0 \lt d \lt 1 + r \lt u

In einem arbitragefreien Markt ist es nicht möglich, ein selbstfinanzierendes Portfolio zu konstruieren, das risikofreie Gewinne generiert.

Was ist ein selbstfinanzierendes Portfolio?

Ein selbstfinanzierendes Portfolio ist eine Anlagestrategie, bei der kein zusätzliches Kapital erforderlich ist, da jeder Kauf von Vermögenswerten durch den Verkauf anderer innerhalb desselben Portfolios finanziert wird. Mit anderen Worten: Es werden keine externen Mittel eingebracht, um es umzusetzen.

Wenn in einem Markt ein selbstfinanzierendes Portfolio konstruiert werden kann, das in allen möglichen Szenarien einen Gewinn garantiert, dann existiert eine Arbitragemöglichkeit. Die No-Arbitrage-Bedingung impliziert, dass es nicht möglich ist, solche Portfolios zu konstruieren.

Mathematisch wird ein selbstfinanzierendes Portfolio wie folgt konstruiert:

• Position im riskanten Vermögenswert: Kauf oder Leerverkauf von x Einheiten des Vermögenswerts mit dem Anfangspreis S(0).
• Position im risikofreien Vermögenswert: Investieren oder Leihen eines Betrags y in eine Anleihe mit dem Preis A(0) und risikofreiem Zinssatz r.
• Selbstfinanzierungsbedingung: Folgende Gleichung muss erfüllt sein:

V(0) = x S(0) + y A(0) = 0.

• Bewertung in der nächsten Periode: Zum Zeitpunkt t = 1 ist der Portfoliowert:

V(1) = \begin{cases} x S(1,\text{up}) + y A(1), & \text{wenn der Preis steigt}, \\ x S(1,\text{down}) + y A(1), & \text{wenn der Preis fällt}. \end{cases}

Wenn es eine Kombination von x und y gibt, so dass V(1) \geq 0 in beiden Szenarien und V(1) \gt 0 in mindestens einem, dann wurde eine Arbitragemöglichkeit gefunden.

Wie erkennt man einen Markt ohne Arbitragemöglichkeiten mithilfe des Satzes?

Angenommen, ein Vermögenswert hat einen Anfangspreis von S(0) = 100 Dollar, und in der nächsten Periode kann sein Preis folgendermaßen verlaufen:

S(1) = \begin{cases} S(1,\text{up}) = S(0) u = 120, & \text{wenn der Preis steigt}, \\ S(1,\text{down}) = S(0) d = 90, & \text{wenn der Preis fällt}. \end{cases}

Gleichzeitig wächst eine Anleihe von A(0) = 100 auf A(1) = 105, mit r = 5\%. Auf dieser Grundlage überprüfen wir das Vorhandensein von Arbitrage, indem wir einfach die No-Arbitrage-Bedingung prüfen:

0 \lt d \lt 1+r\lt u.

Aus den gegebenen Daten ergibt sich:

0 \lt 0{,}9 \lt 1{,}05 \lt 1{,}2

Da die Ungleichung erfüllt ist, ist es nicht möglich, ein selbstfinanzierendes Portfolio mit risikofreien Gewinnen zu konstruieren, was die Konsistenz des Binomialmodells gewährleistet.

Wie erkennt man einen Markt mit Arbitragemöglichkeiten und deren rasche Auflösung?

Betrachten wir einen Vermögenswert mit einem Anfangspreis von S(0) = 100 Dollar. In der nächsten Periode kann sich sein Preis wie folgt entwickeln:

S(1) = \begin{cases} S(1,\text{up}) = S(0) u = 105{,}2, & \text{wenn der Preis steigt}, \\ S(1,\text{down}) = S(0) d = 82, & \text{wenn der Preis fällt}. \end{cases}

Der Preis des risikofreien Vermögenswerts beträgt A(0) = 100, und in der nächsten Periode steigt er auf A(1) = 107, mit einem risikofreien Zinssatz von r = 7\%.

Wir überprüfen die No-Arbitrage-Bedingung:

0 \lt 0{,}82 \lt 1{,}07 \not\lt 1{,}052

Da die Ungleichung 1+r \lt u nicht erfüllt ist, ist Arbitrage auf diesem Markt möglich. Um dies zu zeigen, werden wir ein selbstfinanzierendes Portfolio mit folgendem Verfahren konstruieren:

• Leerverkauf einer Aktie: Der riskante Vermögenswert wird zum Preis von S(0) = 100 leerverkauft, was bedeutet, dass der Investor eine Aktie leihen muss, um sie am Markt zu verkaufen.
• Investition in den risikofreien Vermögenswert: Die durch den Leerverkauf erhaltenen 100 Dollar werden in Anleihen investiert.
• Rückkauf der Aktie in der nächsten Periode:
  • Fällt der Preis auf 82, ergibt sich ein Nettogewinn von 107 - 82 = 25.
  • Steigt der Preis auf 105{,}2, ergibt sich ein Nettogewinn von 107 - 105{,}2 = 1{,}8.

In beiden Fällen erzielt der Investor risikofreie Gewinne, was die Existenz von Arbitrage bestätigt.

📌 Marktanpassungen an eine Arbitragestrategie

In einem effizienten Markt bleiben solche Gelegenheiten jedoch nicht bestehen. Sobald mehr Investoren diese Ineffizienz erkennen, beginnen sie, Arbitragestrategien durch Leerverkäufe umzusetzen, was mehrere wichtige Effekte zur Folge hat:

• Zunahme des Angebots des riskanten Vermögenswerts: Leerverkäufe bedeuten, dass viele Investoren Aktien leihen und am Markt verkaufen, wodurch das Angebot verfügbarer Aktien steigt. Dieses erhöhte Angebot erzeugt Abwärtsdruck auf den Anfangspreis S(0).
• Anpassung der zukünftigen Preise des Vermögenswerts: Da S(1, \text{up}) = S(0) u und S(1, \text{down}) = S(0) d gilt, führt der Rückgang von S(0) zu einer Neuanpassung der Werte von u und d, was ihre Beziehung zum risikofreien Zinssatz 1 + r beeinflusst. Dies tendiert dazu, die No-Arbitrage-Bedingung wiederherzustellen.
• Auswirkung auf den Anleihepreis: Da Investoren die durch Leerverkäufe erhaltenen Mittel in Anleihen investieren, steigt die Nachfrage nach Anleihen. Dies führt zu einem Anstieg des aktuellen Preises der Anleihe A(0). Da der zukünftige Wert der Anleihe A(1) = 107 unverändert bleibt, verringert sich dadurch die effektive Rendite der Investition in Anleihen, wodurch sich die Verzinsung des risikofreien Vermögenswerts anpasst.
• Kosten des Leerverkaufs: Investoren, die Aktien leihen, um sie leerzuverkaufen, müssen einen Aktienleihezins r_s zahlen. Dieser Zinssatz stellt eine zusätzliche Kostenbelastung dar, die die Nettoarbitragegewinne reduzieren kann.

📌 Wie beeinflusst der Aktienleihezins Arbitrage?

Wenn der Aktienleihezins r_s hoch ist, kann er den Nettogewinn aus der Arbitrage reduzieren oder sogar eliminieren. Die korrigierte Gleichung für den Endwert der Arbitragestrategie lautet:

V(1) = A(0)(1 + r - r_s) - S(1)

Wobei gilt:

• r_s ist der Aktienleihezins.
• A(0)(1+r) stellt die Investition in die Anleihe dar.
• S(1) ist der Preis für den Rückkauf der Aktie am Ende der Periode.

Unter Berücksichtigung des Aktienleihezinses r_s passt sich die No-Arbitrage-Bedingung wie folgt an:

0 \lt d \lt 1 + r - r_s \lt u

Für diesen speziellen Fall lauten die Werte von r_s, die die Beziehung erfüllen:

0 \lt 0{,}82 \lt 1{,}07 - r_s \lt 1{,}052

Das bedeutet:

• Wenn 0 \leq r_s \lt 0{,}018: Die Arbitragemöglichkeit bleibt bestehen, da der Gewinn in beiden Szenarien positiv bleibt.
• Wenn 0{,}018 \leq r_s \leq 0{,}25: Die Arbitrage verschwindet, da die Leihkosten die Gleichung ausgleichen und risikofreie Gewinne eliminieren.
• Wenn r_s \gt 0{,}25: In diesem Fall würde kein rationaler Investor die Operation durchführen, da die Leihkosten jeden möglichen Vorteil übersteigen. Da der zukünftige Portfoliowert in allen Szenarien negativ wäre, ist ein selbstfinanzierendes Portfolio in diesem Kontext mathematisch unmöglich.

📌 Was passiert, wenn Verluste das Portfolio aufzehren? Zwangsliquidation und Margin Call

Wenn der Aktienleihezins r_s so hoch ist, dass er gesicherte Verluste garantiert (r_s \gt 0{,}25), greift der Broker automatisch ein, um zu verhindern, dass das Konto des Investors ins Minus rutscht. Das führt zu einer Zwangsliquidation, auch bekannt als Margin Call.

🔹 Ablauf einer Zwangsliquidation:

1. Die Anleihe wird automatisch verkauft:

   Der Broker liquidiert die Anleiheinvestition A(0)(1 + r), um Bargeld zu beschaffen.

2. Rückkauf der Aktie zur Schließung der Short-Position:

   Mit dem verfügbaren Bargeld kauft der Broker die Aktie zurück zum Marktpreis S(1), um sie dem Verleiher zurückzugeben.

3. Schuldenausgleich und Positionsschließung:

   Wenn das verfügbare Guthaben nach dem Verkauf der Anleihe nicht ausreicht, um den Rückkauf der Aktie zu decken, bleibt dem Investor ein negativer Kontostand, was rechtliche Konsequenzen haben oder zusätzliche Einzahlungen erforderlich machen kann.

4. Konsolidierter Verlust:

   Die Operation, die von Anfang an verlustreich war, wird mit einem Gesamtverlust abgeschlossen, der bestimmt ist durch:

   \text{Finaler Verlust} = S(1) - A(0)(1 + r - r_s)

   Wenn der finale Verlust das verfügbare Guthaben im Konto des Investors übersteigt, verliert er sein gesamtes Kapital und könnte dem Broker gegenüber verschuldet sein.

📌 Wie wird die No-Arbitrage-Bedingung wiederhergestellt?

Wenn der Aktienleihezins r_s ausreichend niedrig ist, bleibt die Arbitragemöglichkeit bestehen und ermutigt Investoren dazu, in großem Umfang Leerverkäufe durchzuführen, um einen risikofreien Gewinn zu erzielen.

Für diese Analyse nehmen wir an, dass der Aktienleihezins r_s = 0{,}015 beträgt.

Die durch diesen niedrigen Zinssatz ausgelöste hohe Aktivität verursacht eine Marktneuanpassung, die mit der Zeit zur Wiederherstellung der No-Arbitrage-Bedingung führt. Dabei lassen sich insbesondere folgende Effekte beobachten:

• Rückgang des Anfangspreises der Aktie S(0): Die hohe Nachfrage nach Leerverkäufen erhöht das Angebot an Aktien auf dem Markt, was einen Abwärtsdruck auf den Anfangspreis ausübt. Mit dem Rückgang von S(0) passen sich die Wachstums- und Rückgangsfaktoren u und d proportional an, wodurch sich die zukünftigen Preise des Vermögenswerts und seine Beziehung zum risikofreien Zinssatz verändern.
• Anstieg des Barwerts der Anleihe A(0): Investoren verwenden die durch Leerverkäufe erhaltenen Mittel, um Anleihen zu kaufen, was deren Nachfrage erhöht. Dies führt zu einem Anstieg ihres aktuellen Preises A(0), wodurch die effektive Rendite von Anleiheinvestitionen sinkt und die Wahrnehmung des risikofreien Zinssatzes beeinflusst wird.

Diese kombinierten Effekte führen zu einer schrittweisen Neuanpassung der Marktparameter. Der Rückgang von S(0) und der Anstieg von A(0) verändern die Struktur der Koeffizienten u und d sowie das Verhältnis zwischen dem risikofreien Zinssatz r und dem Aktienleihezins r_s, bis die No-Arbitrage-Bedingung wiederhergestellt ist:

0 \lt d \lt 1 + r - r_s \lt u

🔹 Modellierung der Preisanpassung

Der Anpassungsprozess kann unter Verwendung der Anpassungskoeffizienten \alpha und \beta modelliert werden, welche die Korrekturfaktoren darstellen, die auf den Barwert von Anleihen bzw. Aktien angewendet werden.

Diese Koeffizienten verändern die aktuellen Werte der Vermögenswerte, indem sie die Faktoren u, d und r anpassen, bis die No-Arbitrage-Bedingung wiederhergestellt ist. Das heißt, der Anfangspreis der Aktie wird von S(0) auf \beta S(0) angepasst, während sich der Barwert der Anleihe von A(0) auf \alpha A(0) ändert.

Infolgedessen werden die neuen Werte von u und d unter Verwendung dieser Anpassungskoeffizienten wie folgt definiert:

u' = \dfrac{S(1,\text{up})}{\beta S(0)}, \quad d' = \dfrac{S(1,\text{down})}{\beta S(0)}

Ebenso wird der neue risikofreie Zinssatz r' entsprechend dem neuen Barwert der Anleihe angepasst:

r' + 1 = \dfrac{A(1)}{\alpha A(0)}

Daraus ergibt sich eine umformulierte No-Arbitrage-Bedingung:

0 \lt \dfrac{S(1,\text{down})}{\beta S(0)} \lt \dfrac{A(1)}{\alpha A(0)} - r_s \lt \dfrac{S(1,\text{up})}{\beta S(0)}

Durch Lösen nach den Anpassungskoeffizienten erhalten wir:

\beta \gt \dfrac{A(0)S(1,\text{down})\alpha}{S(0)(A(1) - r_s A(0)\alpha)}

\beta \lt \dfrac{A(0)S(1,\text{up})\alpha}{S(0)(A(1) - r_s A(0)\alpha)}

Wenden wir die konkreten Werte des Problems an und berücksichtigen, dass die Aktienpreise sinken, während die Anleihewerte steigen, so ergibt sich:

\begin{array}{rl} \beta &\gt \dfrac{ 82 \alpha}{107 - 1.5\alpha} \\ \\ \beta &\lt \dfrac{105.2 \alpha}{107 - 1.5\alpha } \\ \\ \beta &\lt 1 \\ \\ \alpha &\gt 1 \end{array}

Die Lösung dieses Systems ist im dunkelsten Bereich der folgenden Grafik dargestellt:

Eine mögliche Kombination von Werten, auf die sich der Markt zubewegen könnte, um die Arbitragemöglichkeit zu eliminieren, ist daher zum Beispiel \alpha=1{,}05 und \beta=0{,}95.

Damit lauten die korrigierten Koeffizienten:

\begin{array}{rl} u^\prime &= \dfrac{S(1,\text{up})}{\beta S(0)} = \dfrac{105.2}{0.95\cdot 100} \approx 1.107 \\ \\ d^\prime &= \dfrac{S(1,\text{down})}{\beta S(0)} = \dfrac{82}{0.95\cdot 100} \approx 0.863 \\ \\ r^\prime + 1 &= \dfrac{A(1)}{\alpha A(0)} = \dfrac{107}{1.05 \cdot 100} \approx 1.019 \end{array}

Damit ist die No-Arbitrage-Bedingung erfüllt:

0 \lt d^\prime \lt 1+r^\prime - r_s \lt u^\prime

Einsetzen der ermittelten Werte:

0 \lt 0{,}863 \lt 1{,}019 - 0{,}015 = 1{,}004 \lt 1{,}107

Zusätzlich können die korrigierten Werte der Vermögenswerte im aktuellen Moment aufgrund des Drucks berechnet werden, der durch Investoren ausgeübt wird, die versuchen, die Arbitragemöglichkeit auszunutzen:

\begin{array}{rl} A^\prime(0) &= \alpha A(0) = 1{,}05\cdot 100 = 105 \\ \\ S^\prime(0) &= \beta S(0) = 0{,}95\cdot 100 = 95 \end{array}

Beweis des No-Arbitrage-Bedingungssatzes

Bis zu diesem Punkt haben wir die Funktionsweise des Satzes über die No-Arbitrage-Bedingung untersucht. Nun werden wir seinen Beweis schrittweise entwickeln. Dazu ist es hilfreich, die Signale zu identifizieren, die auf das Vorhandensein einer Arbitragemöglichkeit hinweisen:

• Beziehung zwischen den Renditen riskanter Vermögenswerte und risikofreier Anleihen:

  Wenn die Rendite des riskanten Vermögenswerts im schlechtesten Fall den risikofreien Zinssatz übersteigt, kann sein Kauf durch Kreditaufnahme zu diesem Zinssatz finanziert werden, was selbst im schlechtesten Fall einen risikofreien Gewinn garantiert.

  Ebenso kann, wenn der risikofreie Zinssatz die Rendite des riskanten Vermögenswerts im besten Fall übersteigt, Arbitrage durch Leerverkauf des Vermögenswerts und Investition in Anleihen konstruiert werden, wodurch ein risikofreier Gewinn erzielt wird.

• Beziehung zwischen risikofreiem Zinssatz und Leihzins:

  Ergänzend zum vorherigen Punkt ist es wichtig, zwischen dem Leihzins r_s und dem risikofreien Zinssatz r zu unterscheiden, insbesondere bei der Analyse von Arbitragestrategien oder Leerverkäufen. Im Allgemeinen gilt folgende Beziehung:

  -1\leq r \leq r_s

  Wenn diese Beziehung nicht erfüllt ist, kann Arbitrage erzielt werden, indem man zu dem niedrigeren Zinssatz r_s leiht und in Anleihen mit dem höheren Zinssatz r investiert, wodurch ein risikofreier Gewinn gesichert wird. Wenn diese Möglichkeit bestünde, würden Investoren sie ausnutzen, bis der Markt die Zinssätze angepasst und Arbitrage beseitigt hätte. Darüber hinaus verlangen Kreditgeber in der Regel einen höheren Zinssatz als Ausgleich für das Ausfallrisiko.

  In vereinfachten Finanzmodellen wird oft angenommen, dass r_s = r gilt, und in den meisten Fällen wird auch r \geq 0 vorausgesetzt, um negative Zinssätze zu vermeiden – obwohl dies nicht zwingend erforderlich ist.

• Bedingungen für das Vorhandensein von Arbitrage in einem Portfolio:

  Der Wert eines Portfolios zum aktuellen Zeitpunkt t=0 wird gegeben durch:

  V(0) = xS(0) + y A(0)

  wobei S(0) den aktuellen Wert der Aktien und A(0) den aktuellen Wert der Anleihen darstellt. Zum zukünftigen Zeitpunkt t=1 hängt der Portfoliowert von der Entwicklung des riskanten Vermögenswerts ab:

  V(1) = \begin{cases} x S(0) u + y A(0) (1 + r), &\text{wenn der Preis steigt},\\ x S(0) d + y A(0) (1 + r), &\text{wenn der Preis fällt}. \end{cases}

  Eine Arbitragemöglichkeit existiert genau dann, wenn es möglich ist, ein Portfolio (x,y) zu konstruieren, das die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

  1. V(0)=0, das bedeutet, das Portfolio ist selbstfinanzierend und erfordert keine Anfangsinvestition.
  2. V(1)\geq 0 in allen möglichen Marktzuständen, was Verluste ausschließt.
  3. V(1) \gt 0 in mindestens einem der möglichen Zustände, was einen strikt positiven Gewinn sichert.

Um diesen Beweis zu entwickeln, führen wir die folgende Notationskonvention ein:

\begin{array}{rcl} V(1,\omega) &=& xS(1,\omega) + yA(1). \end{array}

Wobei \omega entweder \text{up} oder \text{down} sein kann. Zusätzlich ist es notwendig, die Bedingung, unter der ein Portfolio (x,y) eine Arbitragemöglichkeit ausnutzt, mathematisch zu formulieren. Diese lautet wie folgt:

\begin{array}{l} V(0) = 0, \\ \forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0, \\ \exists \omega \quad V(1,\omega) > 0. \end{array}

Mit diesen klaren Konzepten können wir nun den Ausdruck, der eine Arbitragemöglichkeit charakterisiert, mathematisch und präzise definieren:

\begin{array}{rl} \text{Arbitrage}:= & V(0) = 0 \wedge (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0) \wedge \cdots \\ & \cdots \wedge (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega \quad V(1,\omega) \gt 0) \\ \\ \text{No-Arbitrage}:= & \neg \text{Arbitrage}\\ = & V(0) \neq 0 \vee \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0) \vee \cdots \\ & \cdots \vee \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega \quad V(1,\omega) \gt 0) \end{array}

Schließlich wird die Menge der Prämissen \mathcal{H}, auf denen der Beweis basiert, wie folgt formuliert:

\begin{array}{rcl} \mathcal{H} &=& \left\{ \right. V(0)=xS(0) + yA(0) = 0, \\ \\ & &V(t,\omega) = xS(t,\omega) + yA(t), A(0), S(0) \gt 0, \\ \\ & & S(1) = \begin{cases} S(1, \text{up}) = S(0)u & \text{mit Wahrscheinlichkeit } p \\ S(1,\text{down}) = S(0)d & \text{mit Wahrscheinlichkeit } 1-p \end{cases}, \\ \\ & & 0 \lt d \lt u , \left. A(1) = A(0)(1+r), r\geq -1 \right\} \end{array}

Diese Menge enthält nicht nur die Prämissen des Satzes, sondern auch die zugrunde liegenden Bedingungen des Ein-Perioden-Binomialmodells.

Mit diesen festgelegten Prinzipien schreiten wir fort, um die Beziehung, die in einem arbitragefreien Markt gelten muss, mathematisch zu beweisen.

Formaler Beweis des Satzes:

\begin{array}{rll} (1) & \mathcal{H} \models V(0) =xS(0) + yA(0) = 0 & \text{; Voraussetzung} \\ (2) & \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) + yA(1) & \text{; Voraussetzung} \\ (3) & \mathcal{H} \models A(0) \gt 0 & \text{; Voraussetzung} \\ (4) & \mathcal{H} \models S(0) \gt 0 & \text{; Voraussetzung} \\ (5) & \mathcal{H} \models r \gt -1 & \text{; Voraussetzung} \\ (6) & \mathcal{H} \models A(1) = (1+r) A(0) & \text{; Voraussetzung} \\ (7) &\color{red}\mathcal{H} \models 0 \lt d \lt u \color{black}& \text{; Voraussetzung} \\ \\ (8) & \mathcal{H} \models S(1) = \begin{cases}S(1,\text{up})=S(0)u & \text{, mit Wahrscheinlichkeit } p \\ S(1,\text{down}) = S(0)d & \text{, mit Wahrscheinlichkeit } 1-p\end{cases} & \text{; Voraussetzung} \\ \\ (9) & \mathcal{H} \models y = \dfrac{-xS(0)}{A(0)} \wedge x\in\mathbb{R} & \text{; Aus (1)} \\ (10)& \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) - \dfrac{xS(0)}{A(0)} A(1) & \text{; Aus (2,9)} \\ (11)& \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) - x(1+r)S(0) & \text{; Aus (6,10)} \\ &\text{Dies ist der zukünftige Wert eines Portfolios, das durch ein Darlehen} &\\ &\text{zum Zinssatz $r$ zur Finanzierung eines Aktienkaufs finanziert wurde.} &\\ (12)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models 0 \leq (1+r)S(0) \leq \underbrace{S(0) d}_{S(1,\text{down})} \lt \underbrace{S(0) u}_{S(1,\text{up})} & \text{; Aus (4,5,7,8)}\\ (13)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models x(1+r)S(0) \leq xS(1,\omega) \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; Aus (12)}\\ (14)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad V(1,\omega) \geq 0) &\text{; Aus (2,9,13)}\\ (15)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models V(1,\omega) \gt 0 \leftrightarrow y \gt \dfrac{-xS(1,\omega)}{A(1)} = \dfrac{-xS(1,\omega)}{(1+r)A(0)} & \text{; Aus (2,3,6,7.8)}\\ (16)&\mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega\quad V(1,\omega)\gt 0) &\text{; Aus (14,15)}\\ (17)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models \text{Arbitrage} &\text{; Aus (1,14,16)}\\ (18)& \color{red}\mathcal{H}\cup\{\text{No-Arbitrage}\} \models d \lt 1+r\color{black}& \text{; Widerspruchsbeweis (17)}\\ \\ (19)& \mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models 0 \lt \underbrace{S(0)d}_{S(1,\text{down})} \lt \underbrace{S(0)u}_{S(1,\text{up})} \leq (1+r)S(0) & \text{; Aus (4,5,7,8)}\\ (20)& \mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models xS(1,\omega) \leq x(1+r)S(0) \leftrightarrow x\gt 0 &\text{; Aus (19)} \\ (21)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \tilde{V}(0) = - V(0) = 0 & \text{; Aus (1)}\\ (22)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models\tilde{V}(1,\omega)=-V(1,\omega) & \\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models\tilde{V}(1,\omega)}=-xS(1,\omega)+x(1+r)S(0) & \text{;Aus (11)}\\ &\text{Dies ist der zukünftige Wert eines Portfolios, das durch Leerverkauf einer Aktie} &\\ &\text{finanziert wurde, um eine Anleihe mit Zinssatz $r$ zu kaufen.} & \\ (23)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad \tilde{V}(1,\omega) \geq 0) & \text{; Aus (2,9,20,22)}\\ (24)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \tilde{V}(1,\omega)\gt 0 \leftrightarrow y \lt \dfrac{-xS(1,\omega)}{A(1)} = \dfrac{-xS(1,\omega)}{(1+r)A(0)} &\text{; Aus (2,3,4,6,22)}\\ (25)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega\quad \tilde{V}(1,\omega)\gt 0) &\text{; Aus (23,24)}\\ (26)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \text{Arbitrage} &\text{; Aus (21,23,25)}\\ (27)&\color{red}\mathcal{H}\cup\{\text{No-Arbitrage}\} \models 1+r \lt u\color{black}& \text{; Widerspruchsbeweis (26)}\\ (28) &\mathcal{H}\cup\{\text{No-Arbitrage}\} \models 0\lt d\lt1+r\lt u &\text{;\color{red}Konjunktion (7,18,27)}\color{black} \\ (29)& \boxed{\mathcal{H} \models\text{No-Arbitrage}\rightarrow 0\lt d\lt1+r\lt u} & \text{; Aus (28)}\\ \\ (37)& \color{blue}\mathcal{H} \models 0\lt d\lt 1+r \lt u \leftrightarrow \text{No-Arbitrage}\color{black}\quad\blacksquare & \text{; Aus (29)} \end{array}

Fazit

Das Ein-Perioden-Binomialmodell und die No-Arbitrage-Bedingung sind grundlegende Pfeiler der Finanztheorie. Sie bieten einen strukturierten Rahmen für die Bewertung von Vermögenswerten und die Stabilität der Märkte. In diesem Beitrag haben wir analysiert, wie Arbitragemöglichkeiten – so theoretisch attraktiv sie auch sein mögen – durch die Marktkräfte schnell beseitigt werden, und zwar durch Anpassungen der Vermögenspreise und Zinssätze. Wir haben mathematisch gezeigt, dass die Beziehung zwischen den Aufwärts- und Abwärtsfaktoren eines Vermögenswerts und dem risikofreien Zinssatz entscheidend dafür ist, einen effizienten Markt frei von risikofreien Gewinnmöglichkeiten zu gewährleisten. Darüber hinaus haben wir festgestellt, dass selbst wenn Arbitragemöglichkeiten entstehen, Mechanismen wie Preisdruck, Leihkosten und die Neukonfiguration von Marktparametern zwangsläufig zur Wiederherstellung des Gleichgewichts führen. Aus diesem Verständnis heraus wird klar, dass Arbitrage nicht bloß eine vorübergehende Anomalie ist, sondern ein grundlegendes Element in der Dynamik der Finanzmärkte, das deren Effizienz und mathematische Konsistenz antreibt.