El Modelo Binomial de un Período y la Condición de No-Arbitraje

Resumen:
Imagina un casino en el que puedes apostar en un juego donde, sin importar el resultado, siempre ganas dinero. Suena demasiado bueno para ser verdad, ¿cierto? En los mercados financieros, estas oportunidades surgen gracias a la posibilidad de realizar arbitraje; sin embargo, son rápidamente eliminadas por la acción de los propios actores del mercado. En esta clase, exploramos el modelo binomial de un período y la condición de no-arbitraje, analizando cómo los precios de los activos, las tasas de interés y las estrategias de inversión eliminan la posibilidad de obtener ganancias libres de riesgo. A través de ejemplos detallados y una demostración matemática rigurosa, revelaremos los principios fundamentales que sustentan la estabilidad financiera y por qué detectar una oportunidad de arbitraje es solo el comienzo de una historia mucho más compleja.

Objetivos de Aprendizaje
Al Finalizar esta clase el estudiante será capaz de:

1. Comprender el modelo binomial de un período y su aplicación en la valoración de activos financieros.
2. Identificar los elementos fundamentales del modelo binomial de un período: activo subyacente, factores de crecimiento y decrecimiento, y activo libre de riesgo.
3. Comprender la construcción y función de una cartera autofinanciada en el modelo binomial.
4. Comprender la condición de no-arbitraje en mercados financieros y el cómo esta evita la posibilidad de obtener ganancias libre de riesgo mediante portafolios autofinanciados.
5. Evaluar la existencia de oportunidades de arbitraje en un mercado analizando la condición de no-arbitraje.
6. Analizar cómo el arbitraje afecta los precios de los activos y provoca ajustes en el mercado.
7. Describir el efecto de la tasa de préstamo de acciones en la estrategia de arbitraje y la condición de no-arbitraje.
8. Explicar mediante modelos matemáticos el cómo se produce el reajuste del mercado tras la aparición de oportunidades de arbitraje.
9. Comprender la prueba formal del teorema de la condición de no-arbitraje.

ÍNDICE DE CONTENIDOS
¿Qué es el modelo binomial de un período?
Cómo reconocer un mercado con oportunidades de arbitraje y su rápida desintegración
Demostración del Teorema de Condición de No-Arbitraje
Conclusión

¿Qué es el modelo binomial de un período?

El modelo binomial de un período es un modelo matemático utilizado en finanzas para describir la evolución del precio de un activo en un marco de tiempo discreto. Se denomina «binomial» porque en cada período de tiempo, el precio del activo solo puede moverse en dos direcciones posibles: subir o bajar. Este modelo es ampliamente usado en la valoración de derivados financieros, especialmente opciones, y es la base del modelo binomial de múltiples períodos.

Elementos del modelo

El modelo binomial de un período se basa en los siguientes elementos fundamentales:

• Un activo subyacente: Representado por su precio S(t) en el tiempo t. En el momento inicial t=0, el precio del activo es S(0). En el tiempo t=1, su precio puede moverse a uno de dos valores posibles, denotados como S(1,\text{sube}) (precio si sube) o S(1,\text{baja}) (precio si baja):

  S(1) = \begin{cases} S(1,\text{sube}) = S(0) u, & \text{con probabilidad } p, \\ S(1,\text{baja}) = S(0) d, & \text{con probabilidad } 1 - p. \end{cases}

  Donde los coeficientes u y d representan los factores de incremento y decremento del precio que satisfacen la relación:

  0\lt d \lt 1 \lt u.

  Esta relación también asegura que los precios futuros sean estrictamente positivos, tal y como establecen las suposiciones elementales del modelo simple del mercado.

• Probabilidades: Se asume que la probabilidad de que el activo suba es p y la probabilidad de que baje es 1 - p, con 0 \lt p \lt 1. Esta restricción garantiza que ambos movimientos del activo sean posibles y evita situaciones deterministas donde el precio siempre sube o siempre baja, lo que invalidaría el modelo binomial y generaría oportunidades de arbitraje.
• Un activo libre de riesgo: Se introduce un bono o instrumento financiero cuyo valor crece de manera predecible con una tasa de interés libre de riesgo r. Su precio en el periodo siguiente es A(1) = A(0)(1+r).

Teorema: Condición de No-Arbitraje en un Modelo Binomial de un Período

Sea un activo cuyo precio inicial es S(0) \gt 0 y cuyo valor en el tiempo t=1 sigue la estructura binomial descrita anteriormente. Supongamos que existe un activo libre de riesgo (bono) con precio A(1) = A(0)(1+r), donde r es la tasa libre de riesgo. Entonces, el mercado es libre de arbitraje si y sólo si los factores de crecimiento y decrecimiento cumplen la siguiente condición:

0 \lt d \lt 1 + r \lt u

En un mercado libre de arbitraje no es posible construir una cartera autofinanciada que genere ganancias libre de riesgo.

¿Qué es una cartera autofinanciada?

Una cartera autofinanciada es una estrategia de inversión en la que no se requiere capital adicional, ya que cualquier compra de activos es financiada con la venta de otros dentro de la misma cartera. En otras palabras, no se inyectan fondos externos para implementarla.

Si en un mercado se puede construir una cartera autofinanciada que garantice una ganancia en todos los escenarios posibles, entonces existe una oportunidad de arbitraje. La condición de no-arbitraje implica que no es posible construir este tipo de carteras.

Matemáticamente, una cartera autofinanciada se construye de la siguiente manera:

• Posición en el activo riesgoso: Se compran o venden en corto x unidades del activo cuyo precio inicial es S(0).
• Posición en el activo libre de riesgo: Se invierte o se toma prestado un monto y en un bono con precio A(0) y tasa libre de riesgo r.
• Condición de autofinanciamiento: Se debe cumplir la ecuación:

V(0) = x S(0) + y A(0) = 0.

• Evaluación en el período siguiente: En t = 1, el valor de la cartera es:

V(1) = \begin{cases} x S(1,\text{sube}) + y A(1), & \text{si el precio sube}, \\ x S(1,\text{baja}) + y A(1), & \text{si el precio baja}. \end{cases}

Si existe una combinación de x e y tal que V(1) \geq 0 en ambos escenarios y V(1) \gt 0 en al menos uno, se ha encontrado una oportunidad de arbitraje.

¿Cómo reconocer un mercado sin oportunidades de arbitraje usando el teorema?

Supongamos que un activo tiene un precio inicial de S(0) = 100 dólares y en el siguiente período su precio puede ser:

S(1) = \begin{cases} S(1,\text{sube}) = S(0) u = 120, & \text{si el precio sube}, \\ S(1,\text{baja}) = S(0) d = 90, & \text{si el precio baja}. \end{cases}

Mientras que un bono crece de A(0) = 100 a A(1) = 105, con r = 5\%. En función de esto revisaremos si es posible un arbitraje simplemente revisando la condición de no-arbitraje:

0 \lt d \lt 1+r\lt u.

A partir de los datos se tiene que:

0 \lt 0.9 \lt 1.05 \lt 1.2

Dado que la desigualdad se cumple, no es posible construir una cartera autofinanciada con ganancias seguras, garantizando la coherencia del modelo binomial.

Cómo reconocer un mercado con oportunidades de arbitraje y su rápida desintegración

Consideremos un activo cuyo precio inicial es S(0) = 100 dólares. En el siguiente período, su precio puede evolucionar de la siguiente manera:

S(1) = \begin{cases} S(1,\text{sube}) = S(0) u = 105.2, & \text{si el precio sube}, \\ S(1,\text{baja}) = S(0) d = 82, & \text{si el precio baja}. \end{cases}

El precio del activo libre de riesgo es A(0) = 100, y en el siguiente período crece a A(1) = 107, con una tasa libre de riesgo de r = 7\%.

Verificamos la condición de no-arbitraje:

0 \lt 0.82 \lt 1.07 \not\lt 1.052

Como la desigualdad 1+r \lt u no se cumple, entonces es posible realizar arbitraje en este mercado. Para ver esto, construiremos una cartera autofinanciada a partir del siguiente proceso:

• Se realiza una venta en corto de una acción: Se vende en corto el activo riesgoso a S(0) = 100, lo que significa que el inversionista debe pedir prestada una acción para venderla en el mercado.
• Inversión en el activo libre de riesgo: Se invierten los 100 dólares obtenidos en bonos.
• Recompra de la acción en el siguiente período:
  • Si el precio baja a 82, la ganancia neta es 107 - 82 = 25.
  • Si el precio sube a 105.2, la ganancia neta es 107 - 105.2 = 1.8.

En ambos casos, el inversionista obtiene ganancias seguras, confirmando la existencia de arbitraje.

📌 Ajustes del Mercado ante una Estrategia de Arbitraje

Sin embargo, en un mercado eficiente, estas oportunidades no persisten. A medida que más inversionistas detectan esta ineficiencia, comienzan a ejecutar estrategias de arbitraje mediante ventas en corto, lo que provoca varios efectos importantes:

• Aumento en la oferta del activo riesgoso: La venta en corto implica que muchos inversionistas piden prestadas y venden acciones en el mercado, incrementando la oferta de acciones disponibles. Este aumento de oferta genera presión bajista sobre el precio inicial S(0).
• Ajuste en los precios futuros del activo: Dado que S(1, \text{sube}) = S(0) u y S(1, \text{baja}) = S(0) d, la caída de S(0) provoca un reajuste de los valores de u y d, afectando la relación con la tasa libre de riesgo 1 + r. Esto tiende a restaurar la condición de no-arbitraje.
• Impacto en el precio del bono: A medida que los inversionistas usan los fondos obtenidos de la venta en corto para invertir en bonos, la demanda de estos aumenta. Esto genera un incremento en el precio presente del bono A(0). Como el valor futuro del bono sigue siendo A(1) = 107, esto reduce la rentabilidad efectiva de la inversión en bonos, ajustando el rendimiento del activo libre de riesgo.
• Costo de la venta en corto: Los inversionistas que piden prestadas acciones para vender en corto deben pagar una tasa de préstamo de acciones r_s. Esta tasa representa un costo adicional, lo que puede reducir las ganancias netas del arbitraje.

📌 ¿Cómo afecta la tasa de préstamo de acciones al arbitraje?

Si la tasa de préstamo de acciones r_s es alta, puede reducir o incluso eliminar la ganancia neta del arbitraje. La ecuación corregida para el valor final de la estrategia de arbitraje es:

V(1) = A(0)(1 + r - r_s) - S(1)

Donde:

• r_s es la tasa de préstamo de acciones.
• A(0)(1+r) representa la inversión en el bono.
• S(1) es el costo de recomprar la acción al final del período.

Incorporando la tasa r_s del préstamo de acciones, la condición de No-Arbitraje se ajusta de la siguiente manera:

0 \lt d \lt 1 + r - r_s \lt u

Para este caso en particular, los valores de r_s que satisfacen la relación son:

0 \lt 0.82 \lt 1.07 - r_s \lt 1.052

Esto implica que:

• Si 0 \leq r_s \lt 0.018: La oportunidad de arbitraje persiste, ya que la ganancia sigue siendo positiva en ambos escenarios.
• Si 0.018 \leq r_s \leq 0.25: El arbitraje desaparece, ya que el costo de préstamo de acciones equilibra la ecuación, eliminando las ganancias seguras.
• Si r_s \gt 0.25: En este caso, ningún inversionista racional realizaría la operación, ya que el costo del préstamo supera cualquier posible beneficio. Dado que el valor futuro del portafolio sería negativo en todos los escenarios, una cartera autofinanciada en este contexto es matemáticamente imposible.

📌 ¿Qué sucede si las pérdidas consumen la cartera? Liquidación forzosa y Margin Call

Si la tasa de préstamo de acciones r_s es tan alta que garantiza pérdidas seguras (r_s \gt 0.25), el corredor interviene automáticamente para evitar que la cuenta del inversionista entre en saldo negativo. Esto resulta en una liquidación forzosa, también conocida como margin call.

🔹 Proceso de liquidación forzosa:

1. El bono se vende automáticamente:

   El corredor liquida la inversión en bonos A(0)(1 + r) para obtener efectivo.

2. Recompra de la acción para cerrar la posición corta:

   Con el efectivo disponible, el corredor recompra la acción al precio de mercado S(1) para devolverla al prestamista.

3. Saldado de la deuda y cierre de posición:

   Si el saldo disponible tras la venta del bono no cubre la recompra de la acción, el inversionista queda con un saldo negativo, lo que podría llevar a consecuencias legales o requerir el depósito de fondos adicionales.

4. Pérdida consolidada:

   La operación, que ya era perdedora desde el inicio, se cierra con una pérdida total determinada por:

   \text{Pérdida Final} = S(1) - A(0)(1 + r - r_s)

   Si la pérdida final es mayor que el efectivo disponible en la cuenta del inversionista, este pierde todo su capital y podría enfrentar una deuda con el corredor.

📌 ¿Cómo se restablece la condición de no-arbitraje?

Cuando la tasa de préstamo de acciones r_s es lo suficientemente baja, la oportunidad de arbitraje se mantiene, lo que incentiva a los inversionistas a ejecutar ventas en corto en grandes volúmenes para obtener una ganancia segura.

Para este análisis, consideremos que la tasa de préstamo de acciones es r_s = 0.015.

La alta actividad impulsada por esta baja tasa de interés provoca un reajuste en el mercado, el cual, con el tiempo, restablece la condición de no-arbitraje. En particular, se observan los siguientes efectos:

• Caída del precio inicial de la acción S(0): La alta demanda por realizar ventas en corto incrementa la oferta de acciones en el mercado, ejerciendo una presión bajista sobre su precio inicial. A medida que S(0) cae, los coeficientes de crecimiento y decrecimiento u y d se ajustan proporcionalmente, modificando los precios futuros del activo y su relación con la tasa libre de riesgo.
• Aumento del valor presente del bono A(0): Los inversionistas utilizan los fondos obtenidos de la venta en corto para adquirir bonos, lo que provoca un incremento en su demanda. Esto eleva su precio presente A(0), reduciendo la rentabilidad efectiva de la inversión en bonos y afectando la percepción de la tasa libre de riesgo.

Estos efectos combinados conducen a un reajuste progresivo de los parámetros del mercado. La caída en S(0) y el aumento en A(0) modifican la estructura de los coeficientes u y d, así como la relación entre la tasa libre de riesgo r y la tasa de préstamo de acciones r_s, hasta que la condición de no-arbitraje se restablece:

0 \lt d \lt 1 + r - r_s \lt u

🔹 Modelado del reajuste de precios

El proceso de reajuste puede modelarse a través de los coeficientes de ajuste \alpha y \beta, que representan los factores de corrección aplicados al valor presente de los bonos y acciones, respectivamente.

Estos coeficientes modifican los valores actuales de los activos, ajustando los factores u, d y r hasta restablecer la condición de no-arbitraje. Es decir, el precio inicial de la acción se ajusta de S(0) a \beta S(0), mientras que el valor presente del bono pasa de A(0) a \alpha A(0).

Como resultado, los nuevos valores de u y d se definen en función de estos coeficientes de ajuste:

u' = \dfrac{S(1,\text{sube})}{\beta S(0)}, \quad d' = \dfrac{S(1,\text{baja})}{\beta S(0)}

Asimismo, la nueva tasa libre de riesgo r' se ajusta según el nuevo valor presente del bono:

r' + 1 = \dfrac{A(1)}{\alpha A(0)}

Esto lleva a una condición de no-arbitraje reformulada:

0 \lt \dfrac{S(1,\text{baja})}{\beta S(0)} \lt \dfrac{A(1)}{\alpha A(0)} - r_s \lt \dfrac{S(1,\text{sube})}{\beta S(0)}

Despejando los coeficientes de ajuste, obtenemos:

\beta \gt \dfrac{A(0)S(1,\text{baja})\alpha}{S(0)(A(1) - r_s A(0)\alpha)}

\beta \lt \dfrac{A(0)S(1,\text{sube})\alpha}{S(0)(A(1) - r_s A(0)\alpha)}

Si aplicamos los valores específicos del problema y consideramos que el precio de las acciones disminuye mientras que el valor de los bonos aumenta, obtenemos:

\begin{array}{rl} \beta &\gt \dfrac{ 82 \alpha}{107 - 1.5\alpha} \\ \\ \beta &\lt \dfrac{105.2 \alpha}{107 - 1.5\alpha } \\ \\ \beta &\lt 1 \\ \\ \alpha &\gt 1 \end{array}

La solución de este sistema se visualiza en la región más oscura del siguiente gráfico:

Por lo tanto, una posible combinación de valores hacia la cual podría converger el mercado para eliminar la oportunidad de arbitraje es, por ejemplo, \alpha=1.05 y \beta=0.95.

Con esto, los coeficientes corregidos quedan como:

\begin{array}{rl} u^\prime &= \dfrac{S(1,\text{sube})}{\beta S(0)} = \dfrac{105.2}{0.95\cdot 100} \approx 1.107 \\ \\ d^\prime &= \dfrac{S(1,\text{baja})}{\beta S(0)} = \dfrac{82}{0.95\cdot 100} \approx 0.863 \\ \\ r^\prime + 1 &= \dfrac{A(1)}{\alpha A(0)} = \dfrac{107}{1.05 \cdot 100} \approx 1.019 \end{array}

De este modo, se satisface la condición de no-arbitraje:

0 \lt d^\prime \lt 1+r^\prime - r_s \lt u^\prime

Reemplazando los valores obtenidos:

0 \lt 0.863 \lt 1.019 - 0.015 = 1.004 \lt 1.107

Además, se pueden calcular los valores corregidos de los activos en el momento presente debido a la presión ejercida por los inversionistas que buscan aprovechar la oportunidad de arbitraje:

\begin{array}{rl} A^\prime(0) &= \alpha A(0) = 1.05\cdot 100 = 105 \\ \\ S^\prime(0) &= \beta S(0) = 0.95\cdot 100 = 95 \end{array}

Demostración del Teorema de Condición de No-Arbitraje

Hasta este punto, hemos explorado el funcionamiento del teorema de la condición de no-arbitraje. Ahora, procederemos a desarrollar su demostración paso a paso. Para ello, es útil identificar las señales que evidencian la presencia de una oportunidad de arbitraje:

• Relación entre los rendimientos de los activos de riesgo y los bonos libres de riesgo:

  Si el rendimiento del activo riesgoso en su peor escenario supera la tasa libre de riesgo, entonces es posible financiar su compra pidiendo prestado a esta tasa, asegurando una ganancia sin riesgo incluso en el peor de los casos.

  De manera análoga, si la tasa libre de riesgo excede el rendimiento del activo riesgoso en su mejor escenario, entonces se puede construir un arbitraje vendiendo en corto el activo e invirtiendo en bonos, obteniendo así una ganancia sin riesgo.

• Relación entre la tasa libre de riesgo y la tasa de préstamo:

  Complementando el punto anterior, es importante distinguir entre la tasa de un préstamo r_s y la tasa libre de riesgo r, especialmente al analizar estrategias de arbitraje o ventas en corto. En general, se cumple la siguiente relación:

  -1\leq r \leq r_s

  Si esta relación no se cumple, se puede obtener arbitraje pidiendo prestado a la tasa más baja r_s e invirtiendo en bonos con la tasa mayor r, obteniendo así una ganancia sin riesgo. Si esta oportunidad existiera, los inversionistas la explotarían hasta que el mercado ajustara las tasas, eliminando el arbitraje. Además, los prestamistas suelen exigir una tasa mayor para compensar el riesgo de incumplimiento.

  En modelos financieros simplificados, suele asumirse r_s = r, y en la mayoría de los casos también se impone r \geq 0 para evitar tasas negativas, aunque esto no es estrictamente necesario.

• Condiciones para la existencia de arbitraje en un portafolio:

  El valor de un portafolio en el tiempo presente t=0 está dado por:

  V(0) = xS(0) + y A(0)

  donde S(0) representa el valor presente de las acciones y A(0) el valor presente de los bonos. En el tiempo futuro t=1, el valor del portafolio dependerá de la evolución del activo riesgoso:

  V(1) = \begin{cases} x S(0) u + y A(0) (1 + r), &\text{si el precio sube},\\ x S(0) d + y A(0) (1 + r), &\text{si el precio baja}. \end{cases}

  Existe una oportunidad de arbitraje si y sólo si es posible construir un portafolio (x,y) que satisfaga las siguientes tres condiciones:

  1. V(0)=0, es decir, el portafolio es autofinanciado y no requiere inversión inicial.
  2. V(1)\geq 0 en todos los estados posibles del mercado, garantizando que no haya pérdidas.
  3. V(1) \gt 0 en al menos uno de los estados posibles, asegurando una ganancia estrictamente positiva.

Para desarrollar esta demostración, introduciremos el siguiente convenio de notación:

\begin{array}{rcl} V(1,\omega) &=& xS(1,\omega) + yA(1). \end{array}

Donde \omega puede ser \text{sube} o \text{baja}. Además, es necesario expresar matemáticamente la condición que se cumple cuando existe una cartera (x,y) que explota una oportunidad de arbitraje. Esto se formula de la siguiente manera:

\begin{array}{l} V(0) = 0, \\ \forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0, \\ \exists \omega \quad V(1,\omega) > 0. \end{array}

Con estos conceptos claros, ahora podemos establecer de manera matemática y rigurosa la expresión que define una oportunidad de arbitraje:

\begin{array}{rl} \text{Arbitraje}:= & V(0) = 0 \wedge (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0) \wedge \cdots \\ & \cdots \wedge (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega \quad V(1,\omega) \gt 0) \\ \\ \text{No-Arbitraje}:= & \neg \text{Arbitraje}\\ = & V(0) \neq 0 \vee \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0) \vee \cdots \\ & \cdots \vee \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega \quad V(1,\omega) \gt 0) \end{array}

Finalmente, el conjunto de premisas \mathcal{H} sobre el que se desarrolla la demostración queda expresado de la siguiente manera:

\begin{array}{rcl} \mathcal{H} &=& \left\{ \right. V(0)=xS(0) + yA(0) = 0, \\ \\ & &V(t,\omega) = xS(t,\omega) + yA(t), A(0), S(0) \gt 0, \\ \\ & & S(1) = \begin{cases} S(1, \text{sube}) = S(0)u & \text{con probabilidad } p \\ S(1,\text{baja}) = S(0)d & \text{con probabilidad } 1-p \end{cases}, \\ \\ & & 0 \lt d \lt u , \left. A(1) = A(0)(1+r), r\geq -1 \right\} \end{array}

Este conjunto no sólo incluye las premisas del teorema, sino también las condiciones subyacentes del modelo binomial de un período.

Con estos principios establecidos, procederemos a demostrar matemáticamente la relación que debe cumplirse en un mercado libre de arbitraje.

Prueba Formal del Teorema:

\begin{array}{rll} (1) & \mathcal{H} \models V(0) =xS(0) + yA(0) = 0 & \text{; Presunción} \\ (2) & \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) + yA(1) & \text{; Presunción} \\ (3) & \mathcal{H} \models A(0) \gt 0 & \text{; Presunción} \\ (4) & \mathcal{H} \models S(0) \gt 0 & \text{; Presunción} \\ (5) & \mathcal{H} \models r \gt -1 & \text{; Presunción} \\ (6) & \mathcal{H} \models A(1) = (1+r) A(0) & \text{; Presunción} \\ (7) &\color{red}\mathcal{H} \models 0 \lt d \lt u \color{black}& \text{; Presunción} \\ \\ (8) & \mathcal{H} \models S(1) = \begin{cases}S(1,\text{sube})=S(0)u & \text{, con probabilidad } p \\ S(1,\text{baja}) = S(0)d & \text{, con probabilidad } 1-p\end{cases} & \text{; Presunción} \\ \\ (9) & \mathcal{H} \models y = \dfrac{-xS(0)}{A(0)} \wedge x\in\mathbb{R} & \text{; De(1)} \\ (10)& \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) - \dfrac{xS(0)}{A(0)} A(1) & \text{; De(2,9)} \\ (11)& \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) - x(1+r)S(0) & \text{; De(6,10)} \\ &\text{Esto es el valor futuro de un portafolio financiado con un prestamo} &\\ &\text{con tasa de interés $r$ con el objetivo de financiar una acción.} &\\ (12)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models 0 \leq (1+r)S(0) \leq \underbrace{S(0) d}_{S(1,\text{baja})} \lt \underbrace{S(0) u}_{S(1,\text{sube})} & \text{; De(4,5,7,8)}\\ (13)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models x(1+r)S(0) \leq xS(1,\omega) \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; De(12)}\\ (14)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad V(1,\omega) \geq 0) &\text{; De(2,9,13)}\\ (15)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models V(1,\omega) \gt 0 \leftrightarrow y \gt \dfrac{-xS(1,\omega)}{A(1)} = \dfrac{-xS(1,\omega)}{(1+r)A(0)} & \text{; De(2,3,6,7.8)}\\ (16)&\mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega\quad V(1,\omega)\gt 0) &\text{; De(14,15)}\\ (17)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models \text{Arbitraje} &\text{; De(1,14,16)}\\ (18)& \color{red}\mathcal{H}\cup\{\text{No-Arbitraje}\} \models d \lt 1+r\color{black}& \text{; RTD,CPI,TD(17)}\\ \\ (19)& \mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models 0 \lt \underbrace{S(0)d}_{S(1,\text{baja})} \lt \underbrace{S(0)u}_{S(1,\text{sube})} \leq (1+r)S(0) & \text{; De(4,5,7,8)}\\ (20)& \mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models xS(1,\omega) \leq x(1+r)S(0) \leftrightarrow x\gt 0 &\text{; De(19)} \\ (21)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \tilde{V}(0) = - V(0) = 0 & \text{; De(1)}\\ (22)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models\tilde{V}(1,\omega)=-V(1,\omega) & \\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models\tilde{V}(1,\omega)}=-xS(1,\omega)+x(1+r)S(0) & \text{;De(11)}\\ &\text{Esto es el valor futuro de un portafolio que se financia vendiendo} &\\ &\text{en corto una acción con el proposito de comprar un bono cuyo valor} &\\ &\text{crece con una tasa de interés $r$.} & \\ (23)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad \tilde{V}(1,\omega) \geq 0) & \text{; De(2,9,20,22)}\\ (24)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \tilde{V}(1,\omega)\gt 0 \leftrightarrow y \lt \dfrac{-xS(1,\omega)}{A(1)} = \dfrac{-xS(1,\omega)}{(1+r)A(0)} &\text{; De(2,3,4,6,22)}\\ (25)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega\quad \tilde{V}(1,\omega)\gt 0) &\text{; De(23,24)}\\ (26)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \text{Arbitraje} &\text{; De(21,23,25)}\\ (27)&\color{red}\mathcal{H}\cup\{\text{No-Arbitraje}\} \models 1+r \lt u\color{black}& \text{; RTD,CPI,TD(26)}\\ (28) &\mathcal{H}\cup\{\text{No-Arbitraje}\} \models 0\lt d\lt1+r\lt u &\text{;\color{red}$\wedge$-Int(Mon(7),18,27)}\color{black} \\ (29)& \boxed{\mathcal{H} \models\text{No-Arbitraje}\rightarrow 0\lt d\lt1+r\lt u} & \text{; TD(28)}\\ \\ (30)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models 0\lt d\lt 1+r \lt u & \text{; Presunción}\\ (31)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models xS(0)d\lt x(1+r)S(0) \lt xS(0)u \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; De(4,30)}\\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\}} \models xS(0)d\lt x(1+r)S(0)\dfrac{A(0)}{A(0)} \lt xS(0)u \leftrightarrow x\gt 0 & \\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\}} \models xS(0)d\lt -y(1+r)A(0) \lt xS(0)u \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; De(9)} \\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\}} \models xS(1,\text{baja})\lt -yA(1) \lt xS(1,\text{sube}) \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; De(6,8)} \\ (32)& \mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models V(1,\text{baja})\lt 0 \lt V(1,\text{sube}) \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; De(2,31)} \\ (33)& \mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models V(1,\text{baja})\gt 0 \gt V(1,\text{sube}) \leftrightarrow x\lt 0 & \text{; De(31,32)} \\ (34)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad V(1,\omega)\geq 0) & \text{; De(32,33)} \\ (35)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models \text{No-Arbitraje} & \text{; $\vee$-int(34)}\\ (36)&\boxed{\mathcal{H} \models 0\lt d\lt 1+r \lt u \rightarrow \text{No-Arbitraje}} & \text{; TD(35)}\\ \\ (37)& \color{blue}\mathcal{H} \models 0\lt d\lt 1+r \lt u \leftrightarrow \text{No-Arbitraje}\color{black}\quad\blacksquare & \text{; De(29,36)} \end{array}

Conclusión

El modelo binomial de un período y la condición de no-arbitraje son pilares fundamentales en la teoría financiera, proporcionando un marco estructurado para la valoración de activos y la estabilidad de los mercados. A lo largo de este artículo, hemos analizado cómo las oportunidades de arbitraje, aunque atractivas en teoría, son rápidamente eliminadas por las fuerzas del mercado a través de ajustes en los precios de los activos y las tasas de interés. Hemos demostrado matemáticamente que la relación entre los factores de crecimiento y decrecimiento de un activo y la tasa libre de riesgo es clave para garantizar un mercado eficiente y libre de oportunidades de ganancias sin riesgo. Además, observamos que incluso cuando surgen oportunidades de arbitraje, mecanismos como la presión en los precios, el costo de los préstamos y la reconfiguración de los parámetros de mercado conducen inexorablemente a la restauración del equilibrio. Con esta comprensión, queda claro que el arbitraje no es solo una anomalía pasajera, sino un elemento fundamental en la dinámica de los mercados financieros que impulsa su eficiencia y coherencia matemática.