Aequilibrium thermicum, temperatura eiusque definitio statistica
Temperatura thermodynamica, intellecta ut nexus inter energiam et probabilitatem, oritur ex aequilibrio inter macrostatus et microstatus in systematibus thermicis. Hoc contentum explanat quomodo maximatio numeri microstatuum definit aequilibrium thermicum, utens deductionibus mathematicis et ratione mechanicae statisticae ad declarandam relationem eius cum constanti Boltzmann et scala Kelvin.
Proposita Discendi:
Post hanc lectionem, discipulus poterit
- Intellegere relationem inter macrostatus et microstatus in systematibus thermodynamicis atque notionem temperaturae.
INDEX CONTENTORUM:
Macrostatus et microstatus systematum in contactu thermico positum
Temperatura thermodynamica: Qualitas communis systematum in aequilibrio
Macrostatus et microstatus systematum in contactu thermico positum
Ad tractandum conceptum temperaturae thermodynamicae videre debemus primum quomodo systemata thermodynamica inter se agant atque relationem eorum cum micro- et macrostatibus. Consideremus casum duorum systematum in contactu thermico inter se positorum, sed a reliquo universo isolatorum.
Ex una parte, cum systemata isolata maneant, energia totalis E=E_1+E_2 constans erit, atque propter hoc macrostatus systematis definitur per quamlibet trium energiarium E, E_1 et E_2. Ex altera parte, si de microstatibus loquimur, systema energiae E_1 habet \Omega_1(E_1) microstatus, et similiter illud energiae E_2 alios \Omega_2(E_2), ita systema compositum constituitur ex toto \Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2) microstatibus.
Praesumptiones de aequilibrio thermodynamico
Si unumquodque systema potest energiam commutare donec attingatur aequilibrium thermicum, aliquando fiet ut E_1 et E_2, ad valores constantes accedant. Idea in hoc momento tenenda est macrostatus maximae probabilitatis futurum esse eum qui numerum microstatuum maximat, unde sequuntur hae praesumptiones:
- Unusquisque microstatus eandem probabilitatem habet accidendi
- Dynamica interna systematis talis est ut microstatus continuo mutantur.
- Post aliquod tempus, systema omnes microstatus explorabit et aequalem temporis quantitatem in singulis eorum manebit
Hae praesumptiones implicant systema maiorem temporis partem in macrostatibus degere quae maximum numerum microstatuum repraesentant, ideoque illa erunt probabilissima. Nunc, in systematibus quae plerumque in thermodynamica examinantur, expressio “probabilissima” revera significat “quae esset practica et damnate impossibilis non eveniret”; quod videtur simplex enuntiatio statistica est re vera fere absoluta certitudinis declaratio.
Temperatura thermodynamica: Qualitas communis systematum in aequilibrio
Ad nostrum problema duorum corporum positorum in contactu thermico, distributio probabilissima energiae est ea quae numerum \Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2) microstatuum maximat. Cum systemata ingentia sint, uti possumus ut bona approximatione instrumentis calculi differentialis ad inferendum sensum harum affirmationum et proprietates earum deducendas.
Si variationes infinitesimales de energia unius systematis facimus et casum quaerimus in quo numerus microstatuum maximatur, tunc obtinebimus hunc rationem:
\begin{array}{rl} (1) & \dfrac{d}{dE_1}\left[ \Omega_1(E_1) \Omega_2(E_2) \right] = 0 \\ & \text{; Quia numerus microstatuum maximatus est} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\Omega_1(E_1)}{dE_1} \Omega_2(E_2) + \Omega_1(E_1) \dfrac{d\Omega_2(E_2)}{E_2}\dfrac{dE_2}{dE_1} = 0 \\ & \text{; Applicando derivatam producti et regulam catenae} \\ \\ (2) & E = E_1 + E_2 = \text{Constans} \\ & \text{; Energia totalis duorum systematum in contactu thermico} \\ \\ \equiv & E_1 = E-E_1 \\ \\ (3) & \dfrac{dE_2}{dE_1} = \dfrac{d}{dE_1} (E - E_1) = -1\;\text{; Ex (2)} \\ \\ (4) & \dfrac{d\Omega_1}{dE_1}\Omega_2 - \Omega_2 \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} = 0\;\text{; Ex (1) et (3)} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\Omega_1}{dE_1} \Omega_2 = \Omega_1 \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} \\ \\ \equiv & \dfrac{1}{\Omega_1} \dfrac{d\Omega_1}{dE_1} = \dfrac{1}{\Omega_2} \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\ln(\Omega_1)}{dE_1} = \dfrac{d\ln(\Omega_2)}{dE_2} \end{array}
Hinc habemus quod, cum aequilibrium thermicum sit macrostatus probabilissimus duorum corporum in contactu thermico prolongato, hic est qui numerum microstatuum maximat. Si hoc fit, ex ratione modo exposita, habetur magnitudinem communem ambobus systematibus exsistere, quam temperaturam appellamus.
Definitio temperaturae thermodynamicae
Cum hoc accidit, dicimus corpora “esse ad eandem temperaturam” et conectimus d\ln\Omega/dE cum temperatura T (ita ut T_1 = T_2). Sic temperatura thermodynamica definita est ut
\displaystyle \frac{1}{k_B T} = \frac{d\ln\Omega}{dE}
ubi k_B=1.3807\cdot 10^{-23}[J/K] est constans Boltzmann.
Hac electione constantium efficitur ut temperatura T quam definivimus suam interpretationem usitatam adipiscatur in eo quod vocamus scala Kelvin.