Der Brechungsindex

Der Brechungsindex wird definiert eines Mediums als das Verhältnis zwischen der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und der Lichtgeschwindigkeit in diesem Medium. Dies ist eine dimensionslose Größe und wird im Allgemeinen durch den Buchstaben n_k: dargestellt.

n_k=\displaystyle \frac{c}{c_k}

Wobei c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und c_k die Lichtgeschwindigkeit im Medium k. ist.

Da sich das Licht in jedem Medium immer langsamer bewegt als im Vakuum, ist der Brechungsindex stets größer oder gleich 1.

Das Fermatsche Prinzip

Die Geschwindigkeit des Lichts hängt ab vom Medium, in dem es sich bewegt. Je größer der Brechungsindex des Mediums ist, desto geringer ist die Lichtgeschwindigkeit darin; und in Bezug darauf wird das Fermatsche Prinzip formuliert:

Wenn das Licht von einem Punkt zu einem anderen reist, folgt es dem Weg, der die Laufzeit minimiert.

Dieses Prinzip gilt auch dann, wenn das Licht durch verschiedene Medien geht.

Das Snelliussche Gesetz der Lichtbrechung

Auf der Grundlage des Fermatschen Prinzips ist es möglich, ein Optimierungsproblem zu formulieren, das es erlaubt, die Bahn zu bestimmen, die ein Lichtstrahl beim Durchgang durch verschiedene Medien nimmt. Dies führt schließlich zum Snelliusschen Gesetz, dessen Formulierung und Herleitung wir im Folgenden betrachten werden.

Angenommen, ein Strahl tritt von einem Punkt A zu einem Punkt B und überquert dabei eine Grenzfläche, die zwei Medien mit den Brechungsindizes n_1 und n_2 trennt. Unser Ziel ist es, eine Beziehung zu finden, die es uns ermöglicht, die Bahn des Lichtstrahls zu berechnen, indem wir das Fermatsche Prinzip des minimalen Zeitweges anwenden, und hierfür wird das folgende Schema aufgestellt:

Die Überlegung beginnt mit der Analyse der Form der Reisezeit des Lichtstrahls. Wir haben:

\begin{array}{rl}{Reisezeit} & =\displaystyle \frac{{Strecke}}{{Geschwindigkeit}} \\ \\ & \displaystyle =\frac{{Strecke\,im\,Medium\,1}}{{Geschwindigkeit\,im\,Medium\,1}} + \frac{{Strecke\,im\,Medium\,2}}{{Geschwindigkeit\,im\,Medium\,2}}\\ \\& =\displaystyle \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{c_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d-x)^2}}{c_2}\end{array}

Damit ergibt sich, dass bei festen Punkten A und B die Reisezeit durch den Punkt x bestimmt wird, an dem der Strahl die Grenzfläche zwischen den Medien trifft. Damit können wir eine Zeitfunktion t(x) definieren durch

t(x) = \displaystyle \frac{1}{c_1}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\sqrt{b^2 + (d-x)^2}

Nun, da das Fermatsche Prinzip besagt, dass das Licht den Weg wählt, der die Reisezeit minimiert, ist es möglich, daraus das x zu finden, das die Funktion t(x) minimiert. Wir stehen vor einem Optimierungsproblem.

Leitet man t nach x ab, erhält man:

\displaystyle \begin{array}{rl}\dfrac{dt}{dx} &\displaystyle = \frac{1}{c_1}\frac{d}{dx}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\frac{d}{dx}\sqrt{b^2+(d-x)^2}\\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{c_1} \frac{2x}{2\sqrt{a^2 + x^2}} + \frac{1}{c_2}\frac{2(d-x)(-1)}{2\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{c_1} \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{1}{c_2}\frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \end{array}

Nun beachten wir, dass:

\begin{array}{rl}\sin(\theta_1) &\displaystyle =\frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}\\ \\ \sin(\theta_2) &\displaystyle = \frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\ \\ c_1 & \displaystyle = \frac{c}{n_1} \\ \\ c_2 & \displaystyle = \frac{c}{n_2} \end{array}

Somit erhält man, wenn man diese Ausdrücke in die Ableitung der Zeit einsetzt:

\displaystyle \frac{dt}{dx} = \frac{n_1}{c} \sin(\theta_1) - \frac{n_2}{c}\sin(\theta_2)

Schließlich, wenn der Punkt x die Funktion t(x) minimiert, muss die Ableitung verschwinden, und man erhält:

\color{blue}{n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)}

Dies ist das Snelliussche Gesetz für die Brechung eines Lichtstrahls, der zwischen zwei Medien hindurchtritt, und zeigt uns den Zusammenhang zwischen dem Einfallswinkel \theta_1 und dem Brechungswinkel \theta_2.

Brechung, Reflexion und Totalreflexion des Lichts

Wir haben gesehen, dass wenn Licht von einem Medium in ein anderes übergeht, es gebrochen wird, aber im Allgemeinen tritt eine Kombination aus Brechung und Reflexion auf; und je nach Brechungsindizes und Einfallswinkel des Lichtstrahls kann die Brechung verschwinden, sodass nur die Reflexion verbleibt.

Angenommen, ein Lichtstrahl fällt von einem Material a in ein anderes b mit den Brechungsindizes n_a und n_b ein. Wenn n_a \gt n_b, dann gilt nach dem Snelliusschen Gesetz:

\displaystyle \sin(\theta_b) = \frac{n_a}{n_b}\sin(\theta_a)

Da n_a/n_b \gt 1, ergibt sich \sin(\theta_b) \gt \sin(\theta_a), was bedeutet, dass der gebrochene Strahl sich weiter von der Normalen entfernt. Dies impliziert, dass es ein \theta_a\lt 90^o geben muss, für das \sin(\theta_b)=1 und somit \theta_b=90^o, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Der Einfallswinkel, bei dem der Strahl an der Grenzfläche gebrochen wird, wird als Grenzwinkel bezeichnet und erfüllt die Beziehung

\displaystyle \sin(\theta_{kritisch}) = \frac{n_b}{n_a}

Dies ist gleichbedeutend mit:

\displaystyle \theta_{kritisch} = \arcsin\left( \frac{n_b}{n_a} \right)

Wenn \theta_a \gt \theta_{kritisch}, dann tritt Totalreflexion auf.

Übungen:

1. Betrachten Sie einen Lichtstrahl, der wie in der folgenden Abbildung vom Wasser ins Glas übergeht:
   
   Der Brechungsindex des Wassers ist n_1 = 1,33 und der des Glases n_2=1,52. Wenn ein Lichtstrahl, der vom Wasser ins Glas übergeht, auf die Grenzfläche zwischen beiden Medien mit einem Einfallswinkel von \theta_1 = 60^o bezüglich der Normalen trifft, mit welchem Winkel \theta_2 tritt der gebrochene Strahl aus? LÖSUNG
   Mit dem Snelliusschen Gesetz erhält man:

   (1)	n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)	; Snelliussches Gesetz
   \equiv	\displaystyle \sin(\theta_2) = \frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1)
   \equiv	\displaystyle \theta_2 = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1)\right)
   (2)	n_1=1,33	; Brechungsindex des Wassers
   (3)	n_2=1,52	; Brechungsindex des Glases
   (4)	\theta_1=60^o	; Einfallswinkel an der Grenzfläche des Lichtstrahls
   (5)	\displaystyle \theta_2 = \arcsin\left(\frac{1,33}{1,52}\sin(60^o)\right) \approx 49,268^o	; Aus (1,2,3,4), Brechungswinkel

2. Drei Flüssigkeiten, die durch zwei Grenzflächen getrennt sind, haben die folgenden Brechungsindizes: n_1=1,33, n_2=1,41 und n_3=1,68, und sind wie in der folgenden Abbildung dargestellt angeordnet:Wenn der Strahl, der vom Medium mit Index n_1 in das mit n_2 übergeht, auf die Grenzfläche mit einem Winkel von \theta_1=70^o auftrifft, mit welchem Winkel wird er gebrochen, wenn er in das Medium mit Index n_3 übergeht?
   LÖSUNG
   Analog zur vorherigen Aufgabe ergibt sich folgende Überlegung:

   (1)	n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)	; Snelliussches Gesetz für den Übergang vom Medium n1 zu n2
   (2)	n_2 \sin(\theta_2) = n_3 \sin(\theta_3)	; Snelliussches Gesetz für den Übergang vom Medium n2 zu n3
   (3)	n_1 \sin(\theta_1) = n_3 \sin(\theta_3)	; Aus (1,2)
   \equiv	\displaystyle \sin(\theta_3) = \frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1)
   \equiv	\displaystyle \theta_3 = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1)\right)

   Schließlich, durch Einsetzen der Daten erhält man:

   
   \displaystyle \theta_3= \arcsin\left(\frac{1,33}{1,68}\sin(70^o)\right) \approx 48,0667^o
   Beachten Sie, dass diese Überlegung uns zeigt, dass wir die Berechnungen nur mit den Ein- und Austrittsmedien des Strahls durchführen können, wobei das dazwischenliegende Medium vollständig ignoriert wird.
   
   [Video]
3. Vom Boden eines Schwimmbeckens wird ein Lichtstrahl in Richtung der Grenzfläche zwischen Luft und Wasser ausgesendet. Bestimmen Sie den Einfallswinkel, bei dem eine Totalreflexion auftritt.
   LÖSUNG
   Der kritische Winkel ist gegeben durch:

   \displaystyle \theta_{kritisch}= \arcsin\left(\frac{1,00}{1,33}\right) \approx 48,7535^o

   [Video]