Показатель преломления

Показатель преломления определяется как отношение скорости света в вакууме к скорости света в данной среде. Это безразмерная величина, и обычно она обозначается буквой n_k:

n_k=\displaystyle \frac{c}{c_k}

где c — это скорость света в вакууме, а c_k — это скорость света в среде k.

Поскольку свет всегда движется медленнее в любой среде, чем в вакууме, показатель преломления всегда больше или равен 1.

Принцип Ферма

Скорость света зависит от среды, в которой он движется. Чем выше показатель преломления среды, тем ниже скорость света в ней; и в связи с этим формулируется принцип Ферма:

Когда свет перемещается из одной точки в другую, он следует по пути, который минимизирует время прохождения.

Этот принцип остается в силе даже когда свет проходит через различные среды.

Закон Снелла о преломлении света

Исходя из принципа Ферма, можно сформулировать оптимизационную задачу, которая позволит определить траекторию, по которой пойдет световой луч при прохождении через различные среды. Это и приводит нас к закону Снелла, который будет представлен и доказан ниже.

Предположим, что луч выходит из точки A и достигает точки B, пересекает интерфейс, разделяющий две среды с показателями преломления n_1 и n_2 соответственно. Наша цель — найти соотношение, которое позволит нам рассчитать траекторию светового луча, следуя принципу минимального времени Ферма, для чего мы строим следующую схему:

Анализ начинается с рассмотрения формы времени прохождения светового луча. У нас есть:

\begin{array}{rl}{Время прохождения} & =\displaystyle \frac{{Расстояние}}{{Скорость}} \\ \\ & \displaystyle =\frac{{Расстояние в среде 1}}{{Скорость в среде 1}} + \frac{{Расстояние в среде 2}}{{Скорость в среде 2}}\\ \\& =\displaystyle \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{c_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d-x)^2}}{c_2}\end{array}

Таким образом, фиксируя точки A и B, время прохождения определяется точкой x, в которой луч касается интерфейса между средами. С этим мы можем определить временную функцию t(x) через

t(x) = \displaystyle \frac{1}{c_1}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\sqrt{b^2 + (d-x)^2}

Теперь, поскольку принцип Ферма утверждает, что свет следует по пути, минимизирующему время прохождения, возможно найти x, который минимизирует функцию t(x). Это задача оптимизации.

Дифференцируя t по x, мы получаем:

\displaystyle \begin{array}{rl}\dfrac{dt}{dx} &\displaystyle = \frac{1}{c_1}\frac{d}{dx}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\frac{d}{dx}\sqrt{b^2+(d-x)^2}\\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{c_1} \frac{2x}{2\sqrt{a^2 + x^2}} + \frac{1}{c_2}\frac{2(d-x)(-1)}{2\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{c_1} \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{1}{c_2}\frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \end{array}

Теперь обратите внимание:

\begin{array}{rl}\sin(\theta_1) &\displaystyle =\frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}\\ \\ \sin(\theta_2) &\displaystyle = \frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\ \\ c_1 & \displaystyle = \frac{c}{n_1} \\ \\ c_2 & \displaystyle = \frac{c}{n_2} \end{array}

Следовательно, подставляя это в производную времени, мы имеем:

\displaystyle \frac{dt}{dx} = \frac{n_1}{c} \sin(\theta_1) - \frac{n_2}{c}\sin(\theta_2)

Наконец, если точка x минимизирует функцию t(x), тогда производная должна быть равна нулю, и у нас есть:

\color{blue}{n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)}

Это закон Снелла для преломления светового луча, проходящего между двумя средами, который показывает связь между углом падения \theta_1 и углом преломления \theta_2.

Преломление, отражение и полное внутреннее отражение света

Мы видели, что когда свет переходит из одной среды в другую, он преломляется, но в общем случае происходит комбинация преломления и отражения; и в зависимости от показателей преломления и угла падения светового луча, преломление может исчезнуть, оставив только отражение.

Предположим, что световой луч падает с материала a на материал b с показателями преломления n_a и n_b соответственно. Если n_a \gt n_b, то по закону Снелла у нас есть:

\displaystyle \sin(\theta_b) = \frac{n_a}{n_b}\sin(\theta_a)

Поскольку n_a/n_b \gt 1, это означает, что \sin(\theta_b) \gt \sin(\theta_a), что означает, что преломленный луч отклоняется от нормали. Это означает, что должен быть некоторый \theta_a\lt 90^o, при котором \sin(\theta_b)=1, и, следовательно, \theta_b=90^o, как показано на следующем рисунке.

Угол падения, при котором световой луч преломляется по границе, называется критическим углом и удовлетворяет следующему соотношению:

\displaystyle \sin(\theta_{критический}) = \frac{n_b}{n_a}

Что эквивалентно утверждению:

\displaystyle \theta_{критический} = \arcsin\left( \frac{n_b}{n_a} \right)

Если \theta_a \gt \theta_{критический}, то происходит полное внутреннее отражение.

Упражнения:

1. Рассмотрим световой луч, который переходит из воды в стекло, как показано на следующем рисунке:
   
   Показатель преломления воды составляет n_1 = 1.33, а показатель преломления стекла составляет n_2=1.52. Если световой луч, переходящий из воды в стекло, падает на интерфейс, разделяющий эти две среды, под углом \theta_1 = 60^o к нормали, под каким углом \theta_2 выйдет преломленный луч? Решение
   Используя закон Снелла, мы имеем:

   (1)	n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)	; Закон Снелла
   \equiv	\displaystyle \sin(\theta_2) = \frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1)
   \equiv	\displaystyle \theta_2 = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1)\right)
   (2)	n_1=1.33	; Показатель преломления воды
   (3)	n_2=1.52	; Показатель преломления стекла
   (4)	\theta_1=60^o	; Угол падения на интерфейс луча света
   (5)	\displaystyle \theta_2 = \arcsin\left(\frac{1.33}{1.52}\sin(60^o)\right) \approx 49.268^o	; Из (1,2,3,4) угол преломления

   [видео]
2. Три жидкости, разделенные двумя интерфейсами, имеют следующие показатели преломления: n_1=1.33, n_2=1.41 и n_3=1.68,, и они расположены, как показано на следующем рисунке:Если луч, проходящий из среды с показателем преломления n_1 в среду с показателем преломления n_2, падает на интерфейс под углом \theta_1=70^o, под каким углом будет преломляться, когда он перейдет в среду с показателем преломления n_3? Решение
   Аналогично предыдущему упражнению, у нас есть следующий вывод:

   (1)	n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)	; Закон Снелла для перехода из среды n1 в n2
   (2)	n_2 \sin(\theta_2) = n_3 \sin(\theta_3)	; Закон Снелла для перехода из среды n2 в n3
   (3)	n_1 \sin(\theta_1) = n_3 \sin(\theta_3)	; Из (1,2)
   \equiv	\displaystyle \sin(\theta_3) = \frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1)
   \equiv	\displaystyle \theta_3 = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1)\right)

   Наконец, подставив данные, мы получаем:

   
   \displaystyle \theta_3= \arcsin\left(\frac{1.33}{1.68}\sin(70^o)\right) \approx 48.0667^o
   Обратите внимание, что это рассуждение показывает, что мы можем выполнять вычисления, рассматривая только вход и выход луча, полностью игнорируя промежуточную среду.
   
   [видео]
3. Из дна бассейна световой луч направляется к границе между воздухом и водой. Определите угол падения, при котором происходит полное внутреннее отражение.
   Решение
   Критический угол будет дан следующим образом:

   \displaystyle \theta_{критический}= \arcsin\left(\frac{1.00}{1.33}\right) \approx 48.7535^o

   [видео]