Was ist die gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung?

Die gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung, kurz MRUA, ist eine Bewegungsart, die wir implizit bereits untersucht haben. Dies wird deutlich, wenn wir betrachten, wie sie aus den Weggleichungen modelliert wird. Für eine kurze Beschreibung: Die MRUA ist eine Bewegung, bei der die Beschleunigung konstant ist – sowohl in der Größe als auch in der Richtung – und die sich entlang einer Geraden, das heißt eindimensional, vollzieht.

Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung aus den Weggleichungen

Die Herleitung der MRUA ist ein direktes Abbild der Arbeit, die wir bei der Herleitung der Weggleichungen durch Integration in früheren Vorlesungen durchgeführt haben. Da die MRUA eine Bewegung mit konstanter und eindimensionaler Beschleunigung ist, genügt es, die Ableitungen auf einer einzigen Koordinatenachse vorzunehmen; wenn wir auf der Achse \hat{x} argumentieren, erhalten wir Folgendes:

\begin{array}{rcl} a_x(t) & =& a_{0x} \\ \\ v_x(t) & =& \int a_{0x}dt = a_{0x}t + v_{0x} \\ \\ x(t) & =& \displaystyle \int v_{x}(t)dt = \frac{1}{2}a_{0x}t^2 + v_{0x}t + x_0 \end{array}

Hier sind a_{0x}, v_{0x} und x_0 allesamt Konstanten, wobei die letzten beiden Integrationskonstanten darstellen. Damit haben wir ein vollständiges Modell der gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung entlang der Richtung der Achse \hat{x}. Das Vorgehen für jede andere Achse ist völlig analog.

Die MRUA und der Fall des freien Falls

Einer der repräsentativsten Fälle der MRUA ist der freie Fall. Dies ist eine gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung, die vertikal verläuft und durch die Erdbeschleunigung verursacht wird. Ihr Modell anhand der Weggleichungen lautet wie folgt:

\begin{array}{rcl} a_y(t) & =& -g \\ \\ v_y(t) & =& -gt + v_{0y} \\ \\ y(t) & =& \displaystyle - \frac{1}{2}gt^2 + v_{0y}t+ y_0 \end{array}

Hier ist die Erdbeschleunigung g=9,81[m/s^2]. Typisch für den freien Fall ist, dass er zunächst aus der Ruhe (v_{0y}=0) und mit einer Anfangshöhe y_0=h beginnt, sodass sich die Gleichungen reduzieren zu

\begin{array}{rcl} a_y(t) & =& -g \\ \\ v_y(t) & =& -gt \\ \\ y(t) & =& \displaystyle - \frac{1}{2}gt^2 + h \end{array}

Unabhängig davon, welches Gleichungssystem man verwendet, ist es damit bereits möglich, Informationen zu gewinnen, indem man den Gleichungen die „richtigen Fragen“ stellt.

Wenn ein Körper aus der Ruhe aus einer Höhe h fällt

Wie lange dauert der Fall?

Wenn wir dies die Gleichungen fragen, dann sagen sie uns: „Der Körper berührt den Boden, wenn die Höhe null ist“, das heißt y(t)=0. Wenn dies geschieht, müssen wir die Zeit in der Gleichung \displaystyle \frac{1}{2}gt^2 + h = 0. auflösen. Daraus ergeben sich zwei mögliche Ergebnisse:

\displaystyle t=\pm\sqrt{\frac{2h}{g}}

Die negative Zeit bezieht sich auf die Vergangenheit, die positive auf die Zukunft. Da der Fall in der Zukunft stattfindet, können wir die Fallzeit definieren als

\displaystyle t_{Fall}=+\sqrt{\frac{2h}{g}}

Mit welcher Geschwindigkeit erreicht er den Boden?

Diese Frage können wir einfach beantworten, indem wir die Fallzeit in die Gleichung der Geschwindigkeit einsetzen. Wenn wir dies tun, erhalten wir die Fallgeschwindigkeit:

\displaystyle v_{Fall} = v_y(t_{Fall})=-g\sqrt{\frac{2h}{g}}=-\sqrt{\frac{2g^2h}{g}} = -\sqrt{2gh}

Übungen zur geradlinigen und gleichmäßigen Bewegung

1. Ein Objekt passiert den Ursprung mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v_0=10[km/h] und mit einer Beschleunigung von a_0=\displaystyle \frac{20[km/h]}{5[s]}. Berechnen Sie die Position und Geschwindigkeit des Objekts zu den Zeitpunkten a) t=5[s], b) t=10[s], c) t=15[s] und d) t=1[min]. [LÖSUNG]
2. Eine Person lässt gleichzeitig eine Stahlkugel und einen Stein aus einer Höhe von 20[m] aus der Ruhe fallen. Beide Objekte haben die gleichen Abmessungen, aber unterschiedliches Gewicht. Wie lange dauert der Fall, und mit welcher Geschwindigkeit bewegen sie sich beim Aufprall auf den Boden? Kann eines dieser Objekte schneller fallen oder mit höherer Geschwindigkeit aufkommen? [LÖSUNG]
3. Eine Münze wird in einen Brunnen geworfen. Das Geräusch, das anzeigt, dass die Münze den Boden erreicht hat, ist nach 10 [s] zu hören. Wie tief ist der Brunnen? [LÖSUNG]
4. Eine Person spuckt senkrecht in den Himmel, und nach 1.2[s] fällt der Spucke zurück ins Gesicht. a) Mit welcher Geschwindigkeit wurde er ausgestoßen? b) Welche Höhe erreichte der Spucke? [LÖSUNG]