ポアソンの係数と分布

ここで近似を考えてみよう 二項分布 に対して、試行回数 n が非常に大きく、各々の個別確率 p が非常に小さい場合である。このとき、典型的な二項過程からポアソン過程へと移行する。これを視覚化するために、次の形の数列を考える: \{Bi(n;k;p_n)\}_n, ここで n\to\infty かつ p_n が np_n=\lambda \gt 0 を満たす。このことから次が得られる。

\displaystyle\lim_{n\to\infty}P\left(Bi(n;k;P_n) \right) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

これは実際には証明するのが難しくない。ベルヌーイ事象の確率 Bi(n;k;p_n) を取り、それを n^k で掛けて割ると、次のような推論が得られる:

したがって、n\to\infty の極限を計算すると、次が得られる:

\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} {{n}\choose{k}}p_n^k(1-p_n)^{n-k} &= \displaystyle \lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac{n(n-1)\cdots[n-(k-1)]}{n^k}}_{\to 1} \cdot \frac{\overbrace{(np_n)^k}^{\to\lambda^k}}{k!} \overbrace{(1-p_n)^{-k}}^{\to 1} {(1-p_n)^n} \\ \\ &\displaystyle = \frac{\lambda^k}{k!} \lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{\lambda}{n} \right)^n \\ \\ & \displaystyle = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{array}

これに基づき、ポアソンの係数 Po(k;\lambda) が次のように定義される:

\displaystyle Po(k;\lambda) := \lim_{n\to\infty} {{n}\choose{k}}p^k(1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

そして、確率変数 X がポアソン分布に従う、すなわち X\sim Po(k,\lambda), と言うのは次が成り立つ場合である:

P(X=k) = Po(k;\lambda)

ポアソン近似過程

ポアソン空間過程

体積 V の容器に、一様に混ざった n 個の微小粒子を含む液体を考えよう。ここでは、液体が十分に攪拌されており、粒子同士が相互作用せず、引き合うことも反発することもないと仮定する。これらの仮定は以下の主張によって形式化できる:

• 空間的均質性の仮説: 液体中のある領域 D に粒子が存在する確率は、その領域の体積のみに依存する。
• 非相互作用: 「j 番目の粒子が領域 D に存在する」という事象は、j=1,2,…,n に対してすべて n-独立である。
• 非重複: 2 つの粒子が同じ空間の位置を占めることはできない。

体積 v の領域 D を考えると、「D に k 個の粒子が存在する」という事象の確率は、v のみに依存する。この事象を g_k(v) と呼ぶ。h(v) を、粒子が体積 v の領域に存在する確率とする。もし D_1 と D_2 がそれぞれ体積 v_1 と v_2 を持つ互いに素な領域ならば、D=D_1\cup D_2 の体積は v=v_1+v_2 となる。そして D_1\cap D_2 = \emptyset であるため、次が成り立つ。

h(v) = h(v_1) + h(v_2)

もし V が液体全体の体積であれば、次が成り立つ。

h(V) = 1

したがって次が得られる:

h(v) =\displaystyle \frac{v}{V}

ここから、事象 g_k(v) は実際には p=v/V を持つベルヌーイ型の事象であり、次のように与えられる:

g_k(v) =B(n;k;p=v/V)

しかし、この種の実際的な状況のほとんどは、非常に多くの粒子 n を含み、かつ考慮される領域は系の大きさに比べて小さいため、ポアソン近似を適用する条件が満たされる。その結果、次が成り立つ:

\displaystyle P(g_k(v)) = \lim_{\begin{matrix}n\to\infty\\ v/V=c \end{matrix}}P(B(n;k;p=v/V)) =\displaystyle \frac{(cv)^k}{k!}e^{-cv}

ポアソン時間過程

時刻 t=0 から 放射性物質によって放出される粒子の数を記録し、その上で区間 [0,t[ において正確に k 個の粒子が放出される確率を、以下の仮定のもとで計算する:

• 不変性: 実験条件は時間とともに変化しない。
• 無記憶性: 区間 [0,t[ で起こったことは [t,t'[ における出来事に影響を与えない。
• 孤立した事象: 粒子は一度に 1 つずつ放出される。

時間過程の仮定を空間過程の仮定と比較すると、両者は形式的に同値であることがわかる。すなわち、ある領域に粒子を見つける確率がその領域の位置ではなく大きさのみに依存するように、粒子の放出を観測する確率も測定の時刻ではなく観測区間のみに依存する。無記憶性は、空間過程における非相互作用に対応する。他の時刻で起こったことは、残りの時刻で起こることに影響を与えない。最後に、孤立した事象とは、ある瞬間には 1 つの粒子しか放出されないことを意味し、これは空間において 1 つの場所が同時に 1 つの物体しか占有できないことに対応する。

したがって、時間区間 t において「k 個の粒子が放出される」という事象を定義すると、その発生確率は g_k(t) の形で与えられる。すなわち:

P(g_k(t)) =\displaystyle \frac{(ct)^k}{k!} e^{-ct}

時間的過程と空間的過程

空間過程と時間過程の両方は形式的に同値である。 ただし、実際の応用においては解釈の仕方が異なる。この区別を明確にする迅速な方法は、両方の場合に現れる定数「c」の役割を観察することである。指数関数が適切に定義されるためには、その引数が無次元である必要がある。しかし、この引数には時間または空間の単位が含まれており、時間過程か空間過程かによって異なる。この問題を解決するのが定数 c である。我々は次を得る:

Po(k;\lambda)=\displaystyle \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\left\{\begin{matrix} { \lambda = \rho v \, とすると } & \longmapsto &\displaystyle \frac{(\rho v)^k}{k!}e^{-\rho v} & {空間過程} \\ { \lambda = \nu t \, とすると } & \longmapsto &\displaystyle \frac{(\nu t)^k}{k!}e^{-\nu t} & {時間過程} \end{matrix} \right.

• c=\rho の場合、これは空間密度（単位空間あたりの事象数）であり、したがってポアソン空間過程を定義する。
• c=\nu の場合、これは時間密度（あるいは頻度、単位時間あたりの事象数）であり、したがってポアソン時間過程を定義する。

ポアソン分布が用いられる実践例

1. あるスーパーマーケットのレジは平均して 9 分ごとに 2 人の顧客を対応する。5 分間に 1 人、2 人、3 人、…、5 人まで対応する確率を示す表を作成せよ。
2. ある動物病院は 1 日に最大 12 人の顧客に対応できる能力を持つ。平均して 1 日に 9 人の顧客が来院する場合、ある任意の日にその能力を超える確率はどれほどか。
3. ある地域の人口密度は 1000 平方メートルあたり 10 人である。60 平方メートルの場所に 15 人未満の人がいる確率はどれほどか。
4. 1 羽のニワトリが道路を横断しようとしている。直線的に歩くと 58 秒かかる。この道路には 1 分あたり 3 台の車両が通行しており、横断中に 1 台でも車が通れば必ず轢かれて死亡する。このニワトリが無事に向こう側へ到達する確率はどれほどか。