円錐曲線

円錐曲線とは、円錐の表面と平面が交差して生じるすべての曲線を指します。円錐曲線の分類には、円や楕円、双曲線が含まれ、これらはいずれも既に学習した曲線です。

ここでは、これらの各曲線を認識し特徴づけるための技法を改めて見ていきます。特に標準形に注目します。というのも、標準形は最もよく現れる形式である一方で、明示的な情報が少ないからです。それに対し、一般形の方程式は、ほとんどの幾何学的特徴を自ずと示しています。

放物線の復習

すべての放物線は次の形式の方程式で表されます：

y=ax^2 + bx + c, ただし a\neq 0

これに基づいて、次のことが得られます：

• 頂点の座標： \displaystyle (x_0, y_0)=\left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} \right)
• 焦点の位置： \displaystyle f=\dfrac{1}{4a}
• 焦点の座標： \displaystyle foco=\left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} + f \right) =\left( -\dfrac{b}{2a}, c + \dfrac{1- b^2}{4a} \right)
• 準線の方程式： \displaystyle y= c - \dfrac{b^2}{4a} - f = c - \dfrac{1+b^2}{4a}
• 対称軸の方程式： \displaystyle x= -\dfrac{b}{2a}
• x軸との交点（存在する場合）： \displaystyle x_{1,2}= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

以上で、任意の放物線を描画するために必要なすべての情報がそろいました。

楕円と双曲線の復習

楕円と双曲線は、次の形式の標準方程式を持ちます：

Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0

ここで、A および C はゼロでない定数です。そして、これまでの学習から次のように分類できます：

• A と C の符号が同じ場合、それは楕円です。
• A と C の符号が異なる場合、それは双曲線です。

両者を明確に区別するため、次のように表記します：

• \alpha x^2+ \beta x + \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 は楕円です。
• \alpha x^2+ \beta x - \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 は双曲線です。

ここで \alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon は任意の実数であり、\alpha および \gamma は常に正です。このように記述することで、両者を明確に区別することができます。これを基に、以下の推論を行うことができます：

楕円の特徴づけ

標準方程式から出発して次のような導出が得られます：

この導出過程において、特に注意すべきはステップ(3)です。というのも、係数 \displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon が負である場合、楕円は存在しえないからです。

楕円の一般形方程式は次の形式であることを思い出しましょう：

\displaystyle \left( \dfrac{x-h}{a} \right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b} \right)^2 = 1

この最終結果により、標準形に含まれるパラメータと一般形における各パラメータとの間に直接的な関係を得ることができ、標準形に秘められたすべての情報を明らかにすることが可能となります：

• 中心の座標： \displaystyle (h,k) = \left( -\dfrac{\beta}{2\alpha}, -\dfrac{\delta}{2\gamma}\right)
• 水平半軸の長さ： \displaystyle a = \sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
• 垂直半軸の長さ： \displaystyle b = \sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}

これで、標準形から直接楕円を認識し、グラフを描くことが可能になります。そのグラフは次のように表示されます：

双曲線の特徴づけ

完全に同様な方法で、標準方程式から双曲線を完全に特徴づけることができます。実際、この解析は非常に類似しているため、楕円の解析をコピーし、いくつかの部分だけを変更することで対応できます。

これにより、双曲線の標準形と一般方程式との間に直接的な関係が得られ、それを利用してグラフを迅速に作成することができます。

\displaystyle \left(\dfrac{x-h}{a} \right)^2 - \left(\dfrac{y-k}{b} \right)^2 =1

ここでは、楕円の場合とは異なり、以下の図に示すように「生成ボックス（caja generadora）」という用語を用いるのがより適切です：

• 中心の座標： \displaystyle (h,k) = \left( -\dfrac{\beta}{2\alpha}, \dfrac{\delta}{2\gamma}\right)
• 水平半軸の長さ： \displaystyle a = \sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
• 垂直半軸の長さ： \displaystyle b = \sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}

これらの解析結果により、円錐曲線のファミリーに属するあらゆる曲線を特別な困難なくグラフ化することが可能となります。

練習問題（解答付き）