Die Natürlichen Zahlen und die Peano-Axiome
ZUSAMMENFASSUNG
Diese Lektion behandelt die natürlichen Zahlen und wie sie durch die Peano-Axiome definiert werden: eine Reihe mathematischer Prinzipien, die ihre grundlegenden Eigenschaften festlegen. Es wird auch erklärt, wie Symbole verwendet werden, um die Nachfolger der natürlichen Zahlen darzustellen, wie diese symbolisch repräsentiert werden und wie das Prinzip der mathematischen Induktion zur Durchführung induktiver Beweise verwendet wird.
LERNZIELE
- Verstehen der Peano-Axiome zur Formulierung der natürlichen Zahlen.
- Verstehen der symbolischen Darstellung der natürlichen Zahlen.
INHALTSVERZEICHNIS
Die Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen
Das Induktionsprinzip bei natürlichen Zahlen
Kommentar zu den Beweisen
Die Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen
Die natürlichen Zahlen, auch bekannt als positive ganze Zahlen, sind jene, die wir zum Zählen und Messen verwenden. Sie treten am natürlichsten bei der Zähloperation auf, die die einfachste der Arithmetik ist. Diese Zahlen werden durch die Peano-Axiome definiert, eine Reihe mathematischer Prinzipien, die festlegen, wie diese Zahlen funktionieren.
- „1“ ist eine natürliche Zahl.
- Wenn n eine natürliche Zahl ist, dann ist auch ihr Nachfolger S(n) eine natürliche Zahl.
- „1“ ist kein Nachfolger irgendeiner natürlichen Zahl.
- Wenn S(n) = S(m), dann gilt n=m.
- Wenn 1 zu einer Menge A gehört und wenn für ein beliebiges k in A auch S(k) in A liegt, dann ist A die Menge der natürlichen Zahlen und wird mit \mathbb{N} bezeichnet.
Wenn wir die Peano-Axiome studieren, erkennen wir, dass das Symbol „1“ in Wirklichkeit nur eine Darstellung ist, die verwendet wird, um eine bestimmte natürliche Zahl zu bezeichnen. Diese Zahl ist diejenige, die diese Eigenschaften erfüllt. So wie 1 den „ersten natürlichen“ darstellt, verwenden wir auch andere (uns vertraute) Symbole, um seine Nachfolger darzustellen.
- 2=S(1)
- 3=S(2)
- 4=S(3) \\ \vdots
und so weiter. Auf diese Weise sind die Symbole 1, 2, 3 usw. abstrakte Entitäten, die die verschiedenen Nachfolger von 1 darstellen. Die Gesamtheit all dieser Objekte sind die natürlichen Zahlen, die wir wie folgt darstellen:
\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\cdots \}
Es wird auch gesagt, dass sich die natürlichen Zahlen in einer Folge anordnen, nämlich in der Folge der natürlichen Zahlen:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, \cdots
Das Induktionsprinzip bei natürlichen Zahlen
Ein wichtiger Aspekt der natürlichen Zahlen ist, dass es nach jeder Zahl immer eine weitere gibt, was bedeutet, dass es unendlich viele natürliche Zahlen gibt. Dies können wir aus dem fünften Axiom oder dem Induktionsprinzip ableiten, das wie folgt ausgedrückt wird:
Wenn eine Eigenschaft für 1 gilt; und wenn unter der Annahme, dass sie für eine beliebige natürliche Zahl k gilt, sie auch für den Nachfolger S(k) gilt; dann gilt diese Eigenschaft für alle natürlichen Zahlen.
Das Induktionsprinzip liefert nicht nur ein fundamentales Fundament für die natürlichen Zahlen, sondern ist auch ein nützliches Instrument, um zu beweisen, ob eine Eigenschaft für die natürlichen Zahlen zutrifft. Um dies zu veranschaulichen, betrachten wir ein einfaches Beispiel:
BEISPIEL: Durch das Induktionsprinzip kann gezeigt werden, dass jede natürliche Zahl von ihrem Nachfolger verschieden ist. |
Auch wenn dies offensichtlich ist, hilft es, das Vorgehen beim Beweis durch Induktion zu verstehen. Beweis:
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Kommentar zu den Beweisen
Auch wenn die im Beispiel formulierte Eigenschaft ziemlich offensichtlich ist, ist es in der Mathematik sehr üblich, dass Beweise diese Offensichtlichkeit nicht beibehalten. Der Beweis, den wir gerade gesehen haben, ist ein Beispiel für das, was üblicherweise in der mathematischen Arbeit gemacht wird. Um dein Verständnis der deduktiven Techniken zu unterstützen, die typisch für die Mathematik sind, empfehle ich dir, die Materialien zum Kurs Mathematische Logik zu konsultieren.