الأعداد الطبيعية وأكسيومات بيانو

ملخص
تتناول هذه الفصل الأعداد الطبيعية وكيف يتم تعريفها من خلال أكسيومات بيانو: سلسلة من المبادئ الرياضية التي تحدد خصائصها الأساسية. كما تشرح كيف يتم استخدام الرموز لتمثيل الخلفاء للأعداد الطبيعية، وكيف يتم تمثيلها رمزيًا واستخدام مبدأ الاستقراء الرياضي لإجراء الاختبارات الاستقرائية.

أهداف التعلم

فهم أكسيومات بيانو لصياغة الأعداد الطبيعية.
فهم صياغة التمثيل الرمزي للأعداد الطبيعية.

الفهرس

أكسيومات بيانو للأعداد الطبيعية
مبدأ الاستقراء في الأعداد الطبيعية
تعليق على الإثباتات

أكسيومات بيانو للأعداد الطبيعية

الأعداد الطبيعية، المعروفة أيضًا بالأعداد الصحيحة الموجبة، هي الأعداد التي نستخدمها للعد والقياس. تظهر بشكل طبيعي عند العد، وهي أبسط عمليات الحساب. يتم تعريف هذه الأعداد من خلال أكسيومات بيانو، وهي مجموعة من المبادئ الرياضية التي تحدد كيفية عمل هذه الأعداد.

“ $1$ ” هو عدد طبيعي
إذا كان $n$ عددًا طبيعيًا، فإن خلفه $S(n)$ هو كذلك.
“ $1$ ” ليس خلفًا لأي عدد طبيعي.
إذا كان $S(n) = S(m)$ ، فإن $n=m$ .
إذا كان $1$ ينتمي إلى مجموعة معينة $A$ ، وإذا كان، بناءً على $k$ معين في $A$ , $S(k)$ هو أيضًا في $A$ , ثم $A$ هو مجموعة الأعداد الطبيعية ويُشار إليها بـ $\mathbb{N}$ .

عند دراسة أكسيومات بيانو، ندرك أن الرمز “ $1$ ” في الواقع هو مجرد تمثيل يُستخدم للإشارة إلى عدد طبيعي معين. هذا العدد هو الذي يتوافق مع هذه الخصائص. كما أن $1$ يمثل “الطبيعي الأول”، نستخدم أيضًا الرموز (التي نعترف بها) لتمثيل خلفاءه.

$2=S(1)$
$3=S(2)$
$4=S(3) \\ \vdots$

وهكذا دواليك. بهذه الطريقة، الرموز $1$ , $2$ , $3$ , وهلم جرا هي كيانات مجردة تمثل الخلفاء المختلفين لـ $1$ . مجموعة جميع هذه الكائنات هي الأعداد الطبيعية ونمثلها من خلال:

$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\cdots \}$

يقال أيضًا إن الأعداد الطبيعية مرتبة في تسلسل، تسلسل الأعداد الطبيعية:

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, \cdots$

مبدأ الاستقراء في الأعداد الطبيعية

جانب مهم من الأعداد الطبيعية هو أن هناك دائمًا رقمًا بعد كل رقم، مما يعني أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الطبيعية. يمكننا استنتاج ذلك من المبدأ الخامس، أو مبدأ الاستقراء، والذي يُعبر عنه كالتالي:

إذا تم التحقق من خاصية لـ $1$ ; وإذا تم التحقق منها لأي رقم طبيعي $k$ , فإنها تتحقق أيضًا للرقم اللاحق $S(k)$ ; ثم تكون هذه الخاصية صالحة لجميع الأعداد الطبيعية.

يوفر مبدأ الاستقراء، بالإضافة إلى أساس للأعداد الطبيعية، أداة مفيدة لإثبات ما إذا كانت خاصية معينة تنطبق على الأعداد الطبيعية. للتحقق من ذلك، دعونا نرى مثالًا بسيطًا:

مثال: من خلال مبدأ الاستقراء، يمكننا إثبات أن كل رقم طبيعي مختلف عن الرقم الذي يليه.

رغم أن هذا واضح، إلا أنه يساعد في فهم الطريقة المتبعة عندما يتم الإثبات من خلال الاستقراء.

الإثبات:

من الواضح أن $1$ مختلف عن $S(1)=2$ . هذه هي الخطوة الأولية، حيث نتحقق من أن الخاصية تنطبق على العنصر الأول.
لنفترض أن الخاصية تنطبق على $k$ أيًا كان، أي أن $k\neq S(k)$ , سنقوم بإثبات أن هذا يؤكد أيضًا أنه ينطبق على $S(k)$ (أي أن $S(k)\neq S(S(k))$ . هذه هي الخطوة الاستقرائية. إذا تمت هاتين الخطوتين، فهذا يعني أن الاستقراء كامل والخاصية تنطبق على جميع الأعداد الطبيعية.
[1] لنبدأ، لنلاحظ أن $S(k) \neq k,$ يعادل القول $\neg [k=S(k)]$ .
[2] ولكن حيث أن $k$ و $S(k)$ هما أعداد طبيعية، من المبدأ الثاني يمكننا القول أن كلاهما لهما أعداد تالية: $S(k)$ و $S(S(k))$ . كلاهما أيضًا هما أعداد طبيعية.
[3] ثم، من المبدأ الرابع يمكننا القول أن: $S(k) = S(S(k))$ يعني أن $k = S(k)$ . يمكننا كتابتها كما يلي:
$\left[ S(k) = S(S(k)) \right] \rightarrow \left[k = S(k)\right]$
وبحسب عكس الاستنتاج، يعادل القول:
$\neg \left[k = S(k)\right] \rightarrow \neg \left[ S(k) = S(S(k)) \right]$
[4] وأخيرًا، من خلال تطبيق مودوس بوننس بين هذا التعبير والتعبير المستخرج في الخطوة [1] نحصل على:
$\neg \left[ S(k) = S(S(k)) \right]$
وهو ما يعادل القول
$S(k) \neq S(S(k))$
وبالتالي، أثبتنا أنه إذا تم التحقق من أن $S(k) \neq k,$ , فإنه يتم التحقق أيضًا من أن $S(k) \neq S(S(k))$ ; وكما أنه من الواضح أن $1\neq 2$ , فإن الاستقراء كامل ويمكننا كتابة:
$\left(\forall n\in\mathbb{N}\right)\left(n \neq S(n)\right)$

تعليق حول البراهين

رغم أن الخاصية المذكورة في المثال واضحة جدًا، فإنه من المعتاد في الرياضيات أن البراهين لا تظل بهذه الوضوح. هذا البرهان الذي رأيناه للتو هو مثال على ما يتم عادةً عند العمل في الرياضيات. لمساعدتك في فهم تقنيات الاستنتاج المميزة للرياضيات، أنصحك بمراجعة المواد المخصصة لدورة المنطق الرياضي.

الأعداد الطبيعية وأكسيومات بيانو

أكسيومات بيانو للأعداد الطبيعية

مبدأ الاستقراء في الأعداد الطبيعية

تعليق حول البراهين

اترك تعليقاً