Números Naturales y los Axiomas de Peano

Los Números Naturales y los Axiomas de Peano

RESUMEN
Esta clase trata sobre los números naturales y sobre cómo se definen mediante los axiomas de Peano: una serie de principios matemáticos que establecen sus propiedades fundamentales. También explica cómo se utilizan símbolos para representar los sucesores de los números naturales, cómo se representan simbólicamente y el uso del principio de inducción matemática para la realización de pruebas inductivas.

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

Comprender los axiomas de Peano para la formulación de los números naturales.
Comprender la formulación de la respresentación simbólica de los números naturales.

INDICE

Los axiomas de peano para los números naturales
El principio de inducción en los números naturales
Comentario sobre las demostraciones

Los Axiomas de Peano para los Números Naturales

Los Números Naturales, también conocidos como números enteros positivos, son aquellos que utilizamos para contar y medir. Se presentan de forma más natural en la operación de contar, que es la más sencilla de la aritmética. Estos números se definen a través de los axiomas de Peano, una serie de principios matemáticos que establecen cómo funcionan estos números.

« $1$ » es un número natural
Si $n$ es un natural, entonces su sucesor $S(n)$ tambien lo es.
« $1$ » no es sucesor de ningún natural.
Si $S(n) = S(m)$ , entonces $n=m$ .
Si $1$ pertenece a algún conjunto $A$ ; y si dado un $k$ cualquiera en $A$ , $S(k)$ también está en $A$ , entonces $A$ es el conjunto de los números naturales y se denota por $\mathbb{N}$ .

Al estudiar los axiomas de Peano, nos damos cuenta de que el símbolo « $1$ » en realidad es solo una representación utilizada para señalar a un número natural específico. Este número es aquel que cumple con estas propiedades. Así como $1$ representa al «primer natural», también utilizamos símbolos (que son familiares para nosotros) para representar a sus sucesores.

$2=S(1)$
$3=S(2)$
$4=S(3) \\ \vdots$

y así sucesivamente. De este modo, los símbolos $1$ , $2$ , $3$ , etc… son entidades abstractas que representan a los distintos sucesores de $1$ . La colección de todos estos objetos son los números naturales y los representamos a través de:

$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\cdots \}$

Tambien se dice que los números naturales se disponen en una sucesión, la sucesión de los números natuales:

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, \cdots$

El Principio de Inducción en los Números Naturales

Un aspecto importante de los números naturales es que siempre hay un número después de cada uno, lo que significa que hay infinitos números naturales. Esto lo podemos intuir a partir del quinto axioma, o principio de inducción, que se expresa de la siguiente manera:

Si una propiedad se verifica para $1$ ; y si admitido que se verifique para otro natural cualquiera $k$ , se verifica también para el siguiente $S(k)$ ; entonces tal propiedad se verifica para todos los naturales.

El principio de inducción proporciona, además de un piso fundacional para los números naturales, es un instrumento útil para demostrar si se cumple una propiedad sobre los números naturales. Para revisar esto veamos un ejemplo sencillo:

EJEMPLO: A traves del principio de inducción se puede demostrar que todo natural es distinto de su sucesor.

Si bien esto es una obviedad, ayuda a entender la forma de proceder cuando se demuestra a través de inducción.

Demostración:

Es claro que $1$ es distinto de $S(1)=2$ . Esto es el paso inicial, donde verificamos que la propiedad se cumple para el primer elemento.
Supongamos la propiedad se cumple para un $k$ cualquiera, es decir, que $k\neq S(k)$ , lo que haremos será probar que a partir de ésto se corrobora también que vale para $S(k)$ (es decir, que se corrobora tambien que $S(k)\neq S(S(k))$ . Esto es el paso inductivo. Si estos dos pasos se completan, entonces se dice que la inducción es completa y vale la propiedad para todos los naturales.
[1] Para iniciar, partamos notando que $S(k) \neq k,$ es equivalente a decir que $\neg [k=S(k)]$ .
[2] Pero como tanto $k$ como $S(k)$ son naturales, por el axioma 2 podemos decir que ambos tienen sucesores: $S(k)$ y $S(S(k))$ , respectivamente. Ambos también son naturales.
[3] Luego, por el axioma 4 podemos decir que: $S(k) = S(S(k))$ implica que $k = S(k)$ . Esto lo podemos escribir de la siguiente manera:
$\left[ S(k) = S(S(k)) \right] \rightarrow \left[k = S(k)\right]$
que por contrapositivo de la implicancia, es equivalente a decir que:
$\neg \left[k = S(k)\right] \rightarrow \neg \left[ S(k) = S(S(k)) \right]$
[4] Finalmente, haciendo un modus ponens entre esta última expresión y la obtenida en el paso [1] se tiene que
$\neg \left[ S(k) = S(S(k)) \right]$
que es lo mismo que decir
$S(k) \neq S(S(k))$
Y por lo tanto, hemos demostrado que, si se corrobora que $S(k) \neq k,$ , entonces también se corrobora que $S(k) \neq S(S(k))$ ; como además es evidente que $1\neq 2$ , la inducción es completa y se puede escribir que
$\left(\forall n\in\mathbb{N}\right)\left(n \neq S(n)\right)$

Comentario sobre las demostraciones

Si bien la propiedad enunciada en el ejemplo es bastante obvia, es muy habitual en matemática que las demostraciones no mantengan esa obviedad. Esta demostración que acabamos de ver es un ejemplo de lo que normalmente se hace cuando se trabaja matemáticamente. Para apoyarte en la comprensión de las técnicas de deducción que son propias de la matemática, te recomiendo que revises los materiales destinados para el curso de lógica matemática.

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Los Números Naturales y los Axiomas de Peano

Los Axiomas de Peano para los Números Naturales

El Principio de Inducción en los Números Naturales

Comentario sobre las demostraciones

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