Концепция электрического поля
В XIX веке Майкл Фарадей, один из величайших экспериментаторов в области электричества, имел необычный способ работы. Он заполнял свою лабораторию проводами, заряженными сферами и небольшими сосудами с проводящими жидкостями. Согласно известной истории, в своей одержимости визуализацией «силовых линий», окружающих электрический заряд, он разбросал железные опилки по всей лаборатории, оставив на полу узоры, напоминающие современное искусство. Его коллеги, смущенные, подумали, что он сошел с ума, но на самом деле Фарадей создавал одно из самых революционных понятий — электрическое поле. В этой статье мы исследуем, как эти идеи, рожденные из гения и экспериментов, помогают нам картировать и понимать невидимые взаимодействия, управляющие электричеством. Если вы когда-либо задавались вопросом, как можно увидеть неосязаемое, это путешествие для вас.
Цели обучения:
После завершения этого занятия студент сможет:
- Понять концепцию электрического поля и его связь с электрической силой через закон Кулона.
- Применять определение электрического поля для решения задач, связанных с точечными зарядами.
- Анализировать принцип суперпозиции в дискретных и непрерывных распределениях заряда для вычисления электрических полей.
- Оценивать интеграцию линейных, поверхностных и объемных распределений для определения электрических полей в сложных конфигурациях.
- Решать практические задачи, включая заряженные стержни, кольца и бесконечные плоскости.
СОДЕРЖАНИЕ:
Что такое электрическое поле?
Электрическое поле и распределения заряда
Упражнения
Что такое электрическое поле?
Когда мы помещаем источник заряда в какое-либо место пространства, его присутствие можно почувствовать с помощью пробного заряда благодаря электрической силе, которую он испытывает. Эта сила изучается с помощью закона Кулона. На этом основании мы говорим, что источник заряда «заполняет пространство» свойством, называемым электрическим полем, которое отвечает за создание электрической силы.
Чтобы измерить электрическое поле заряда q в определенной точке \vec{r} пространства, необходимо поместить пробный заряд q_0 в эту точку. Электрическое поле описывается как величина электрической силы, испытываемой пробным зарядом q_0, на единицу заряда.
\vec{E}_q(\vec{r}) = \displaystyle \frac{\vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r})}{q_0}
Однако, когда мы действуем таким образом, мы упускаем из виду тот факт, что пробный заряд также должен иметь собственное электрическое поле, которое будет накладываться на поле источника заряда. Чтобы решить эту проблему, мы обсуждаем электрическое поле через предел:
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \lim_{q_0 \to 0} \frac{\vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r})}{q_0}
Используя определение через предел, мы гарантируем, что поле пробного заряда q_0 не влияет на измерения поля заряда q. Теперь, напоминая закон Кулона, электрическое поле заряженной частицы q принимает вид:
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \lim_{q_0 \to 0} \frac{1}{q_0} \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{qq_0}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|^2} \frac{\vec{r} -\vec{r}^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} -\vec{r}^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|^3}
И, следовательно,
\displaystyle \vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r}) = q_0 \vec{E}_q(\vec{r})
Электрическое поле и распределения заряда
Поскольку электрическое поле изучается в зависимости от силы и удовлетворяет принципу суперпозиции, мы можем исследовать поля различных распределений заряда.
Дискретные распределения
Рассмотрим распределение из n дискретных зарядов q_1, q_2, \cdots, q_n с положениями \vec{r}^\prime_1, \vec{r}^\prime_2, \cdots, \vec{r}^\prime_n. Если мы хотим рассчитать их поле в некоторой точке \vec{r} пространства, то получим:
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i=1}^n q_i \frac{\vec{r} -\vec{r}_i^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}_i^\prime\|^3}
То есть сумму всех отдельных полей.
Непрерывные распределения
Существует три типа непрерывных распределений заряда, каждое из которых связано с количеством параметров, необходимых для описания их пространственного расположения. Это линейные, поверхностные и объемные распределения.
Линейное распределение
В линейном распределении заряда, каждый элемент линии заряженного тела имеет линейную плотность заряда \lambda(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dl, так что элементарное поле выражается следующим образом:
d\vec{E}(\vec{r}) =\displaystyle \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\lambda(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl
Интегрируя это выражение, мы получаем:
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{\mathcal{C}} \lambda(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl
Где \mathcal{C} — это параметрическое представление кривой, описывающей форму заряженного тела.
Поверхностное распределение
В поверхностном распределении заряда, каждый элемент поверхности заряженного тела имеет поверхностную плотность заряда \sigma(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dS, так что элементарное поле выражается следующим образом:
\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\sigma(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS
Интегрируя это выражение, мы получаем:
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iint_{\mathcal{A}} \sigma(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS
Где \mathcal{A} — это параметрическое представление поверхности, описывающей форму заряженного тела.
Объемное распределение
В объемном распределении заряда, каждый элемент объема заряженного тела имеет объемную плотность заряда \rho(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dV, так что элементарное поле выражается следующим образом:
\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}^\prime) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\rho(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV
Интегрируя это выражение, мы получаем:
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\mathcal{V}} \rho(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV
Где \mathcal{V} — это параметрическое представление объема, описывающего форму заряженного тела.
Упражнения:
Заряженный стержень
Рассмотрите стержень длиной L, равномерно заряженный зарядом Q и расположенный вертикально. Найдите электрическое поле стержня на горизонтальном расстоянии x от его центра.
Заряженное кольцо
Рассмотрите кольцо радиусом R, равномерно заряженное зарядом Q и расположенное в плоскости xy. Найдите электрическое поле кольца на высоте z от его центра.
Бесконечная заряженная плоскость
Рассмотрите бесконечную плоскость, равномерно заряженную с поверхностной плотностью заряда \sigma. Найдите электрическое поле на расстоянии L от плоскости.