مفهوم المجال الكهربائي

في القرن التاسع عشر، كان مايكل فاراداي، أحد أعظم المجربين في مجال الكهرباء، يعمل بطريقة فريدة: كان يملأ مختبره بالأسلاك، والكرات المشحونة، والأوعية الصغيرة التي تحتوي على سوائل موصلة. تحكي حكاية مشهورة أنه، في هوسه بتصور “خطوط القوة” المحيطة بشحنة كهربائية، نثر برادة الحديد في كل أنحاء المختبر، مما جعل الأرضية مغطاة بأنماط تبدو كفن حديث. زملاؤه، في حيرة، ظنوا أنه فقد عقله، لكن فاراداي كان يرسم أحد أكثر المفاهيم ثورية: المجال الكهربائي. في هذه المقالة، سنستكشف كيف تتيح لنا هذه الأفكار، المولودة من العبقرية والتجربة، تصور وفهم التفاعلات غير المرئية التي تحكم الكهرباء. إذا كنت قد تساءلت يومًا كيف يمكن رؤية ما لا يُرى، فهذا المقال لك.

أهداف التعلم:
بنهاية هذا الدرس سيكون الطالب قادرًا على:

1. فهم مفهوم المجال الكهربائي وعلاقته بالقوة الكهربائية من خلال قانون كولوم.
2. تطبيق تعريف المجال الكهربائي لحل المسائل المتعلقة بالشحنات النقطية.
3. تحليل مبدأ التراكب في التوزيعات المتقطعة والمستمرة للشحنات لحساب المجالات الكهربائية.
4. تقييم التكاملات الخاصة بالتوزيعات الخطية، السطحية، والحجمية لتحديد المجالات الكهربائية في التكوينات المعقدة.
5. حل التمارين العملية التي تشمل تكوينات مثل الشريط المشحون، الحلقة المشحونة، والمستوى اللانهائي المشحون.

فهرس المحتويات:
ما هو المجال الكهربائي؟
المجال الكهربائي وتوزيعات الشحنات
تمارين

ما هو المجال الكهربائي؟

عند وضع مصدر شحنة في مكان ما في الفضاء، يمكننا الشعور بوجودها باستخدام شحنة اختبار بسبب القوة الكهربائية التي تشعر بها نتيجة لوجودها. ندرس هذه القوة من خلال قانون كولوم. بناءً على هذا نقول إن مصدر الشحنة “يملأ الفضاء” بصفة ما، وهو المجال الكهربائي، المسؤول عن توليد القوة الكهربائية.

لقياس المجال الكهربائي لشحنة q في نقطة معينة \vec{r} في الفضاء، نحتاج إلى وضع شحنة اختبار q_0 في ذلك المكان. يُوصف المجال الكهربائي على أنه كمية القوة الكهربائية التي تشعر بها شحنة الاختبار q_0 لكل وحدة شحنة.

\vec{E}_q(\vec{r}) = \displaystyle \frac{\vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r})}{q_0}

لكن عندما نعمل بهذه الطريقة، نتجاهل حقيقة أن شحنة الاختبار يجب أن يكون لها مجال كهربائي خاص بها، وسيتراكب هذا المجال مع مجال مصدر الشحنات. لحل هذه المشكلة، نتحدث عن المجال الكهربائي من خلال الحد:

\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \lim_{q_0 \to 0} \frac{\vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r})}{q_0}

باستخدام التعريف عبر الحد، نضمن أن مجال شحنة الاختبار q_0 لا يتداخل مع قياسات مجال الشحنة q. الآن، وبالرجوع إلى قانون كولوم، يصبح المجال الكهربائي لجسيم مشحون q بالشكل التالي:

\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \lim_{q_0 \to 0} \frac{1}{q_0} \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{qq_0}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|^2} \frac{\vec{r} -\vec{r}^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} -\vec{r}^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|^3}

ومن هذا نحصل على:

\displaystyle \vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r}) = q_0 \vec{E}_q(\vec{r})

المجال الكهربائي وتوزيعات الشحنات

نظرًا لأن المجال الكهربائي يتم دراسته كدالة للقوة، ولأنه يحقق مبدأ التراكب، يمكننا دراسة المجالات الناتجة عن توزيعات مختلفة من الشحنات.

التوزيعات المتقطعة

لنفترض توزيعًا مكونًا من n شحنات متقطعة q_1, q_2, \cdots, q_n في مواقع \vec{r}^\prime_1, \vec{r}^\prime_2, \cdots, \vec{r}^\prime_n. إذا أردنا حساب المجال عند نقطة معينة \vec{r} في الفضاء، فإن المجال الكهربائي سيكون:

\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i=1}^n q_i \frac{\vec{r} -\vec{r}_i^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}_i^\prime\|^3}

أي، مجموع جميع المجالات الفردية.

التوزيعات المستمرة

هناك ثلاثة أنواع من التوزيعات المستمرة للشحنات، كل منها يرتبط بعدد المعلمات اللازمة لوصف وضعها المكاني. هذه الأنواع هي التوزيعات الخطية، السطحية، والحجمية.

التوزيع الخطي

في التوزيع الخطي للشحنة، كل عنصر خطي من الجسم المشحون له كثافة خطية للشحنة \lambda(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dl، بحيث يكون عنصر المجال الكهربائي بالشكل:

d\vec{E}(\vec{r}) =\displaystyle \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\lambda(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl

عند التكامل على هذه المعادلة، نحصل على:

\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{\mathcal{C}} \lambda(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl

حيث \mathcal{C} هو التمثيل البارامتري للمنحنى الذي يصف شكل الجسم المشحون.

التوزيع السطحي

في التوزيع السطحي للشحنة، كل عنصر سطحي من الجسم المشحون له كثافة سطحية للشحنة \sigma(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dS، بحيث يكون عنصر المجال الكهربائي بالشكل:

\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\sigma(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS

عند التكامل على هذه المعادلة، نحصل على:

\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iint_{\mathcal{A}} \sigma(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS

حيث \mathcal{A} هو التمثيل البارامتري للسطح الذي يصف شكل الجسم المشحون.

التوزيع الحجمي

في التوزيع الحجمي للشحنة، كل عنصر من حجم الجسم المشحون له كثافة حجمية للشحنة \rho(\vec{r}_i^\prime)=dq(\vec{r}_i^\prime)/dV، بحيث يكون عنصر المجال الكهربائي بالشكل:

\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}^\prime) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\rho(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV

عند التكامل على هذه المعادلة، نحصل على:

\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\mathcal{V}} \rho(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV

حيث \mathcal{V} هو التمثيل البارامتري للحجم الذي يصف شكل الجسم المشحون.

تمارين:

شريط مشحون

اعتبر شريطًا طوله L مشحونًا بشكل منتظم بشحنة Q وموضوعًا بشكل عمودي. حدد المجال الكهربائي للشريط على مسافة أفقية x من مركز الشريط.

حلقة مشحونة

اعتبر حلقة نصف قطرها R مشحونة بشكل منتظم بشحنة Q وموجودة على مستوى xy. حدد المجال الكهربائي على ارتفاع z من مركز الحلقة.

مستوى لانهائي مشحون

اعتبر مستوى لانهائي مشحون بشكل منتظم بكثافة شحنة سطحية \sigma. حدد المجال الكهربائي على مسافة L من المستوى.