O Conceito de Campo Elétrico
No século XIX, Michael Faraday, um dos maiores experimentadores no campo da eletricidade, tinha uma maneira peculiar de trabalhar: enchia seu laboratório com fios, esferas carregadas e pequenos recipientes com líquidos condutores. Uma anedota famosa conta que, em sua obsessão por visualizar as “linhas de força” que rodeavam uma carga elétrica, espalhou limalhas de ferro por todo o laboratório, deixando o piso coberto por padrões que pareciam arte moderna. Seus colegas, confusos, pensaram que ele tinha perdido o juízo, mas Faraday estava delineando um dos conceitos mais revolucionários: o campo elétrico. Neste artigo, exploraremos como essas ideias, nascidas do gênio e da experimentação, nos permitem mapear e entender as interações invisíveis que governam a eletricidade. Se você já se perguntou como ver o intangível, este percurso é para você.
Objetivos de Aprendizagem:
Ao final desta aula, o aluno será capaz de:
- Compreender o conceito de campo elétrico e sua relação com a força elétrica por meio da Lei de Coulomb.
- Aplicar a definição de campo elétrico para resolver problemas relacionados a cargas pontuais.
- Analisar o princípio da superposição em distribuições discretas e contínuas de carga para calcular campos elétricos.
- Avaliar a integração de distribuições lineares, superficiais e volumétricas para determinar campos elétricos em configurações complexas.
- Resolver exercícios práticos que incluem configurações de barra carregada, anel carregado e plano infinito carregado.
ÍNDICE DE CONTEÚDOS:
O que é o campo elétrico?
O campo elétrico e as distribuições de carga
Exercícios
O que é o Campo Elétrico?
Quando colocamos uma fonte de carga em algum lugar no espaço, podemos sentir sua presença usando uma carga de teste devido à força elétrica que ela sente por sua presença. Essa força é estudada por meio da Lei de Coulomb. Com base nisso, dizemos que a fonte de carga “inunda o espaço” com uma propriedade, um Campo Elétrico, que é responsável por produzir a força elétrica.
Para medir o campo elétrico de uma carga q em um certo ponto \vec{r} no espaço, precisamos colocar uma carga de teste q_0 naquele lugar. O campo será descrito como a quantidade de força elétrica que a carga de teste q_0 sente por unidade de carga.
\vec{E}_q(\vec{r}) = \displaystyle \frac{\vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r})}{q_0}
Mas quando procedemos dessa forma, estamos desconsiderando o fato de que a carga de teste também deveria ter seu próprio campo elétrico, e este se sobreporá ao campo da fonte de cargas. Para resolver esse problema, falamos do campo elétrico por meio do limite:
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \lim_{q_0 \to 0} \frac{\vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r})}{q_0}
Usando a definição pelo limite, garantimos que o campo da carga de teste q_0 não interfira nas medições do campo da carga q. Agora, recordando a Lei de Coulomb, o campo elétrico de uma partícula carregada q é dado pela forma:
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \lim_{q_0 \to 0} \frac{1}{q_0} \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{qq_0}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|^2} \frac{\vec{r} -\vec{r}^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} -\vec{r}^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|^3}
E, a partir disso, temos que:
\displaystyle \vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r}) = q_0 \vec{E}_q(\vec{r})
O Campo Elétrico e as Distribuições de Carga
Como o campo elétrico é estudado em função da força e satisfaz o princípio da superposição, podemos analisar os campos de diferentes distribuições de carga.
Distribuições Discretas
Vamos considerar uma distribuição de n cargas discretas q_1, q_2, \cdots, q_n com posições \vec{r}^\prime_1, \vec{r}^\prime_2, \cdots, \vec{r}^\prime_n. Se quisermos calcular o campo em algum ponto \vec{r} no espaço, temos:
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i=1}^n q_i \frac{\vec{r} -\vec{r}_i^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}_i^\prime\|^3}
Ou seja, a soma de todos os campos individuais.
Distribuições Contínuas
Existem três tipos de distribuições contínuas de cargas, cada uma associada ao número de parâmetros necessários para descrever sua disposição espacial. Estas são as distribuições lineares, superficiais e volumétricas.
Distribuição Linear
Em uma distribuição linear de carga, cada elemento de linha do corpo carregado possui uma densidade linear de carga \lambda(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dl, de modo que o elemento do campo elétrico é dado por:
d\vec{E}(\vec{r}) =\displaystyle \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\lambda(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl
Ao integrar esta expressão, temos:
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{\mathcal{C}} \lambda(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl
Onde \mathcal{C} é a representação paramétrica da curva que descreve a forma do corpo carregado.
Distribuição Superficial
Em uma distribuição superficial de carga, cada elemento de superfície do corpo carregado possui uma densidade superficial de carga \sigma(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dS, de modo que o elemento do campo elétrico é dado por:
\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\sigma(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS
Ao integrar esta expressão, temos:
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iint_{\mathcal{A}} \sigma(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS
Onde \mathcal{A} é a representação paramétrica da superfície que descreve a forma do corpo carregado.
Distribuição Volumétrica
Em uma distribuição volumétrica de carga, cada elemento de volume do corpo carregado possui uma densidade volumétrica de carga \rho(\vec{r}_i^\prime)=dq(\vec{r}_i^\prime)/dV, de modo que o elemento do campo elétrico é dado por:
\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}^\prime) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\rho(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV
Ao integrar esta expressão, temos:
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\mathcal{V}} \rho(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV
Onde \mathcal{V} é a representação paramétrica do volume que descreve a forma do corpo carregado.
Exercícios:
Barra Carregada
Considere uma barra de comprimento L uniformemente carregada com uma carga Q e colocada de forma vertical. Determine o campo elétrico da barra a uma distância horizontal x do centro da barra.
Anel Carregado
Considere um anel de raio R uniformemente carregado com uma carga Q colocado no plano xy. Determine o campo elétrico a uma altura z do centro do anel.
Plano Infinito Carregado
Considere um plano infinito uniformemente carregado com uma densidade de carga superficial \sigma. Determine o campo elétrico a uma distância L do plano.