शंकु खंड: परवलय, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय की विशेषताएँ और ग्राफ

सारांश:
इस कक्षा में, हम शंकु खंडों (परवलय, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय) की समीक्षा करेंगे, उनकी मानक और सामान्य समीकरणों से शुरुआत करते हुए। हम यह समझाएँगे कि प्रत्येक वक्र रेखा की पहचान और विशेषता कैसे की जाती है, परवलयों में शीर्ष बिंदु, केंद्र और सममित अक्ष जैसे प्रमुख तत्वों पर ध्यान केंद्रित करते हुए, और दीर्घवृत्त और अतिपरवलय के बीच उनके गुणांकों के चिह्नों के अनुसार अंतर स्पष्ट करेंगे।

अध्ययन के उद्देश्य:
इस कक्षा के अंत तक, छात्र सक्षम होंगे:

पहचानना शंकु खंडों के मानक समीकरण (परवलय, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय)
गणना करना शंकु खंडों की प्रत्येक विशेषता: अर्ध-अक्ष की लंबाई, फोकस दूरी, निर्देशिका आदि।

सामग्री सूचकांक
शंकु खंड
परवलय की समीक्षा
दीर्घवृत्त और अतिपरवलय की समीक्षा
दीर्घवृत्त की विशेषताएँ
अतिपरवलय की विशेषताएँ
समाधान अभ्यास

शंकु खंड

शंकु खंड वे सभी वक्र रेखाएँ होती हैं जो एक शंकु की सतह और एक समतल के प्रतिच्छेदन से उत्पन्न होती हैं। शंकु खंड परिवार में वृत्त और दीर्घवृत्त, और अतिपरवलय शामिल होते हैं, जिन्हें हमने पहले ही अध्ययन किया है।

अब हम इन वक्र रेखाओं को पहचानने और उनके लक्षणों को जानने की तकनीकों की समीक्षा करेंगे। हम विशेष रूप से मानक रूपों पर ध्यान केंद्रित करेंगे, क्योंकि ये सबसे सामान्य हैं और सबसे कम जानकारी को सीधे प्रकट करते हैं। इसके विपरीत, सामान्य समीकरण लगभग सभी ज्यामितीय लक्षणों को प्रकट करते हैं।

परवलय की समीक्षा

प्रत्येक परवलय का प्रतिनिधित्व किया जाता है समीकरण द्वारा

$y=ax^2 + bx + c,$ जहाँ $a\neq 0$

इस आधार पर हमने निम्नलिखित प्राप्त किया:

शीर्ष बिंदु के निर्देशांक: $\displaystyle (x_0, y_0)=\left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} \right)$
फोकस दूरी: $\displaystyle f=\dfrac{1}{4a}$
फोकस निर्देशांक: $\displaystyle foco=\left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} + f \right) =\left( -\dfrac{b}{2a}, c + \dfrac{1- b^2}{4a} \right)$
निर्देशिका का समीकरण: $\displaystyle y= c - \dfrac{b^2}{4a} - f = c - \dfrac{1+b^2}{4a}$
सममित अक्ष का समीकरण: $\displaystyle x= -\dfrac{b}{2a}$
x-अक्ष के साथ कटाव (यदि मौजूद हों): $\displaystyle x_{1,2}= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

इन जानकारियों के साथ, हम किसी भी परवलय का ग्राफ बनाने के लिए तैयार हैं।

दीर्घवृत्त और अतिपरवलय की समीक्षा

दीर्घवृत्त और अतिपरवलय, जैसा कि हमने देखा, का मानक रूप निम्नलिखित होता है:

$Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0$

जहाँ $A$ और $C$ गैर-शून्य स्थिरांक होते हैं, और हमारे अध्ययन के आधार पर यह पाया गया कि:

यदि $A$ और $C$ का चिह्न समान है, तो यह दीर्घवृत्त है।
यदि $A$ और $C$ का चिह्न विपरीत है, तो यह अतिपरवलय है।

दोनों मामलों को स्पष्ट रूप से अलग करने के लिए, हम इसे निम्नलिखित रूप में लिख सकते हैं:

$\alpha x^2+ \beta x + \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0$ दीर्घवृत्त है।
$\alpha x^2+ \beta x - \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0$ अतिपरवलय है।

जहाँ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ और $\epsilon$ कोई भी वास्तविक संख्याएँ हो सकती हैं और $\alpha$ और $\gamma$ हमेशा सकारात्मक होते हैं। इस प्रकार से लिखने से दोनों मामलों को स्पष्ट रूप से अलग करना संभव हो जाता है। इसके आधार पर हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

दीर्घवृत्त की विशेषताएँ

मानक समीकरण से शुरू करते हुए, हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुँचते हैं:

(1)	$\alpha x^2+ \beta x + \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0$	; दीर्घवृत्त का मानक समीकरण।
(2)	$\displaystyle \alpha \left( x^2+ \dfrac{\beta}{\alpha }x\right) + \gamma \left(y^2 + \dfrac{\delta}{\gamma }y\right) =- \epsilon$	; पदों का पुनर्गठन और पुनर्व्यवस्था
(3)	$\displaystyle \alpha \left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2 + \gamma \left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2 =\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon$	; वर्ग पूर्ण करना और पुनर्व्यवस्थित करना
(4)	$\displaystyle \alpha \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} + \gamma \dfrac{\left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1$	; सभी पदों को $\displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon$ से भाग देना
(5)	$\displaystyle \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\dfrac{1}{\alpha }\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} + \dfrac{\left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\dfrac{1}{ \gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1$	; $\alpha$ और $\gamma$ को पुनर्व्यवस्थित करना
(6)	$\displaystyle \left( \dfrac{ x - \left(-\dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 + \left( \dfrac{y - \left(-\dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 = 1$	; वर्गमूलों का उपयोग करके पुनर्गठन

इस प्रक्रिया के तीसरे चरण में विशेष सावधानी की आवश्यकता होती है, क्योंकि यदि $\displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon$ का मान नकारात्मक होता है, तो दीर्घवृत्त संभव नहीं है।

याद रखें कि दीर्घवृत्त का सामान्य समीकरण निम्नलिखित रूप में होता है:

$\displaystyle \left( \dfrac{x-h}{a} \right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b} \right)^2 = 1$

इस अंतिम परिणाम के साथ, अब हम सामान्य सूत्र के मापदंडों के बीच एक सीधा संबंध स्थापित कर सकते हैं, जो हमें मानक समीकरण में छिपी हुई सभी जानकारी को प्रकट करने में मदद करता है:

केंद्र निर्देशांक: $\displaystyle (h,k) = \left( -\dfrac{\beta}{2\alpha}, -\dfrac{\delta}{2\gamma}\right)$
क्षैतिज अर्ध-अक्ष की लंबाई: $\displaystyle a = \sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}$
ऊर्ध्वाधर अर्ध-अक्ष की लंबाई: $\displaystyle b = \sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}$

इन जानकारियों के साथ, अब हम सीधे मानक रूप से दीर्घवृत्त की पहचान और ग्राफ बना सकते हैं। इसका ग्राफ इस प्रकार होगा:

अतिपरवलय की विशेषताएँ

एक समान रूप से तर्क करते हुए, आप अतिपरवलय की पूरी विशेषता मानक समीकरण से प्राप्त कर सकते हैं। वास्तव में, विश्लेषण इतना समान है कि मैं दीर्घवृत्त के विश्लेषण को यहाँ कॉपी और पेस्ट कर सकता हूँ, केवल कुछ हिस्सों को बदलते हुए।

(1)	$\alpha x^2+ \beta x - \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0$	; अतिपरवलय का मानक समीकरण।
(2)	$\displaystyle \alpha \left( x^2+ \dfrac{\beta}{\alpha }x\right) - \gamma \left(y^2 - \dfrac{\delta}{\gamma }y\right) =- \epsilon$	; पदों का पुनर्गठन और पुनर्व्यवस्था
(3)	$\displaystyle \alpha \left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2 - \gamma \left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2 =\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon$	; वर्ग पूर्ण करना और पुनर्व्यवस्थित करना
(4)	$\displaystyle \alpha \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} - \gamma \dfrac{\left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1$	; सभी पदों को $\displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon$ से भाग देना
(5)	$\displaystyle \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} - \dfrac{\left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1$	; $\alpha$ और $\gamma$ को पुनर्व्यवस्थित करना
(6)	$\displaystyle \left( \dfrac{ x - \left(-\dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 - \left( \dfrac{y - \left(\dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 = 1$	; वर्गमूलों का उपयोग करके पुनर्गठन

इन निष्कर्षों से, अब हम अतिपरवलय का ग्राफ आसानी से बना सकते हैं।

$\displaystyle \left(\dfrac{x-h}{a} \right)^2 - \left(\dfrac{y-k}{b} \right)^2 =1$

अब, दीर्घवृत्तों के विपरीत, यहाँ “उत्पादक बॉक्स” की बात करना अधिक उपयुक्त है, जैसा कि हम आगे की आकृति में देखेंगे:

केंद्र निर्देशांक: $\displaystyle (h,k) = \left( -\dfrac{\beta}{2\alpha}, \dfrac{\delta}{2\gamma}\right)$
क्षैतिज अर्ध-अक्ष की लंबाई: $\displaystyle a = \sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}$
ऊर्ध्वाधर अर्ध-अक्ष की लंबाई: $\displaystyle b = \sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}$

इन विश्लेषणों के परिणामस्वरूप, हम अब बिना किसी विशेष कठिनाई के शंकु खंड परिवार के किसी भी सदस्य का ग्राफ बना सकते हैं।

समाधान अभ्यास