圆锥曲线: 抛物线, 椭圆, 双曲线的特征与图形
摘要:
在这节课中，我们将复习圆锥曲线（抛物线、椭圆和双曲线），从它们的标准方程和通用方程开始。我们将解释如何识别和描述每条曲线，重点关注抛物线的顶点、焦点和对称轴等关键要素，以及通过系数符号区分椭圆和双曲线。
学习目标:
本节课结束时，学生将能够:
- 识别圆锥曲线的标准方程（抛物线、椭圆、双曲线）
- 计算圆锥曲线的各个特征：半轴长度、焦距、准线等。
圆锥曲线
圆锥曲线是指圆锥表面与平面相交产生的所有曲线。圆锥曲线家族包括圆和椭圆，以及双曲线，这些曲线我们已经学习过了。
现在我们将复习如何识别和描述这些曲线。我们将特别关注标准形式，因为这是最常见的形式，并且在表达上透露的信息最少。相反，通用方程几乎揭示了所有几何特征。
抛物线复习
每条抛物线的表示方程形式如下
y=ax^2 + bx + c, 其中 a\neq 0
根据这个方程，我们得到了:
- 顶点坐标: \displaystyle (x_0, y_0)=\left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} \right)
- 焦距: \displaystyle f=\dfrac{1}{4a}
- 焦点坐标: \displaystyle foco=\left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} + f \right) =\left( -\dfrac{b}{2a}, c + \dfrac{1- b^2}{4a} \right)
- 准线方程: \displaystyle y= c - \dfrac{b^2}{4a} - f = c - \dfrac{1+b^2}{4a}
- 对称轴方程: \displaystyle x= -\dfrac{b}{2a}
- 与x轴的交点（如果存在）: \displaystyle x_{1,2}= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
通过这些信息，我们可以绘制出任何抛物线的图形。
椭圆和双曲线复习
Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0
其中 A 和 C 是非零常数，根据我们学到的内容，结论如下:
- 如果 A 和 C 符号相同，则为椭圆。
- 如果 A 和 C 符号相反，则为双曲线。
为了清楚地区分这两种情况，我们可以写成:
- \alpha x^2+ \beta x + \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 为椭圆。
- \alpha x^2+ \beta x - \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 为双曲线。
其中 \alpha, \beta, \gamma, \delta 和 \epsilon 是任意实数，且 \alpha 和 \gamma 永远为正。这样写可以清楚地区分两种情况。由此，我们可以推断出以下结论:
椭圆的特征
从标准方程开始， 我们得出以下推论:
| (1) | \alpha x^2+ \beta x + \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 | ; 椭圆的标准方程。 |
| (2) | \displaystyle \alpha \left( x^2+ \dfrac{\beta}{\alpha }x\right) + \gamma \left(y^2 + \dfrac{\delta}{\gamma }y\right) =- \epsilon | ; 因式分解并重新分组 |
| (3) | \displaystyle \alpha \left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2 + \gamma \left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2 =\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon | ; 完成平方并重新分组 |
| (4) | \displaystyle \alpha \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} + \gamma \dfrac{\left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; 将所有项除以 \displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon |
| (5) | \displaystyle \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\dfrac{1}{\alpha }\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} + \dfrac{\left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\dfrac{1}{ \gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; 重组 \alpha 和 \gamma |
| (6) | \displaystyle \left( \dfrac{ x - \left(-\dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 + \left( \dfrac{y - \left(-\dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 = 1 | ; 使用平方根进行重组 |
在这个推论的第 (3) 步中尤为重要的是，如果 \displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon 的值为负数，那么椭圆将不存在。
请记住，椭圆的通用方程形式为:
\displaystyle \left( \dfrac{x-h}{a} \right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b} \right)^2 = 1
通过这个结果，我们可以直接从通用方程中获得所有隐藏的信息:
- 中心坐标: \displaystyle (h,k) = \left( -\dfrac{\beta}{2\alpha}, -\dfrac{\delta}{2\gamma}\right)
- 水平半轴长度: \displaystyle a = \sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
- 垂直半轴长度: \displaystyle b = \sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
有了这些信息，我们现在可以直接从标准方程绘制椭圆的图形。其图形如下所示:
双曲线的特征
通过完全类似的推理方法， 你可以从标准方程出发，完成对双曲线的全面描述。实际上，分析如此相似，以至于我可以复制椭圆的分析，只需要更改一些部分。
| (1) | \alpha x^2+ \beta x - \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 | ; 双曲线的标准方程。 |
| (2) | \displaystyle \alpha \left( x^2+ \dfrac{\beta}{\alpha }x\right) - \gamma \left(y^2 - \dfrac{\delta}{\gamma }y\right) =- \epsilon | ; 因式分解并重新分组 |
| (3) | \displaystyle \alpha \left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2 - \gamma \left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2 =\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon | ; 完成平方并重新分组 |
| (4) | \displaystyle \alpha \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} - \gamma \dfrac{\left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; 将所有项除以 \displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon |
| (5) | \displaystyle \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} - \dfrac{\left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; 重组 \alpha 和 \gamma |
| (6) | \displaystyle \left( \dfrac{ x - \left(-\dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 - \left( \dfrac{y - \left(\dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 = 1 | ; 使用平方根进行重组 |
通过这些推论，我们现在可以迅速绘制出双曲线的图形。
\displaystyle \left(\dfrac{x-h}{a} \right)^2 - \left(\dfrac{y-k}{b} \right)^2 =1
与椭圆不同的是，这里更适合使用“生成框”的说法，见下图所示:
- 中心坐标: \displaystyle (h,k) = \left( -\dfrac{\beta}{2\alpha}, \dfrac{\delta}{2\gamma}\right)
- 水平半轴长度: \displaystyle a = \sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
- 垂直半轴长度: \displaystyle b = \sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
通过这些分析结果，我们可以轻松绘制出圆锥曲线族中的任何成员。
解答练习
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