Secciones Cónicas: Caracterización y Gráfico de Parábolas, Elipses e Hipérbolas
Resumen:
En esta clase revisaremos las secciones cónicas (parábolas, elipses e hipérbolas), comenzando con sus ecuaciones canónicas y generales. Se explica cómo identificar y caracterizar cada curva, enfocándose en elementos clave como el vértice, foco y eje de simetría en las parábolas, y la distinción entre elipses e hipérbolas según los signos de sus coeficientes.
Objetivos de Aprendizaje:
Al finalizar esta clase el estudiante será capaz de
- Reconocer las ecuaciones canónicas de las secciones cónicas (parábolas, elipses, hipérbolas)
- Calcular cada una de las caracteristicas de las secciones cónicas: longitud de semiejes, distancia focal, directriz, etc.
ÍNDICE DE CONTENIDOS
Secciones cónicas
Revisión a las Parábolas
Revisión a las Elipses e Hipérbolas
Caracterización de la elipse
Caracterización de la hipérbola
Ejercicios Resueltos
Secciones cónicas
Se llaman secciones cónicas a todas las curvas que resultan de intersecar la superficie de un cono con un plano. La familia de las secciones cónicas las componen las circunferencias y elipses, y las hipérbolas, todas son curvas que ya hemos estudiado.
Ahora haremos una revisión sobre las técnicas para reconocer y caracterizar cada una de estas curvas. Nos concentraremos especialmente en las formas canónicas, porque esta es la que con más frecuencia se presenta y es la que menos información revelan de forma explícita. Las ecuaciones generales, por el contrario, de por si revelan casi toda la caracterización geométrica.
Revisión a las Parábolas
Toda parábola es representada por una ecuación de la forma
y=ax^2 + bx + c, con a\neq 0
En términos de esto obtuvimos
- Coordenadas del Vértice: \displaystyle (x_0, y_0)=\left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} \right)
- Posición focal: \displaystyle f=\dfrac{1}{4a}
- Coordenadas del foco: \displaystyle foco=\left( -\dfrac{b}{2a}, c - \dfrac{b^2}{4a} + f \right) =\left( -\dfrac{b}{2a}, c + \dfrac{1- b^2}{4a} \right)
- Ecuación de la directriz: \displaystyle y= c - \dfrac{b^2}{4a} - f = c - \dfrac{1+b^2}{4a}
- Ecuación del eje de simetría: \displaystyle x= -\dfrac{b}{2a}
- Cortes con el eje x (si existen): \displaystyle x_{1,2}= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
Y con esto ya tenemos toda la información necesaria para graficar cualquier parábola.
Revisión a las Elipses e Hipérbolas
Las elipses e hipérbolas, hemos visto, tienen una expresión canónica de la forma.
Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0
Donde A y C son constantes distintas de cero, y a partir de lo que hemos estudiado se tiene que:
- A y C tienen el mismo signo, entonces es una elipse.
- A y C tienen signo opuestos, entonces es una hipérbola.
Para separar de forma clara ambos casos, escribiremos que:
- \alpha x^2+ \beta x + \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 es una elipse.
- \alpha x^2+ \beta x - \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 es una hipérbola.
Siendo \alpha, \beta, \gamma, \delta y \epsilon números reales cualesquiera y \alpha y \gamma siempre positivos. Escribir de esta manera nos permite separar de forma clara ambos casos. A partir de esto podemos hacer las siguientes inferencias:
Caracterización de la elipse
Partiendo desde la ecuación canónica tenemos la siguiente deducción:
| (1) | \alpha x^2+ \beta x + \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 | ; ecuación canónica de las elipses. |
| (2) | \displaystyle \alpha \left( x^2+ \dfrac{\beta}{\alpha }x\right) + \gamma \left(y^2 + \dfrac{\delta}{\gamma }y\right) =- \epsilon | ; factorizando y reagrupando términos |
| (3) | \displaystyle \alpha \left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2 + \gamma \left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2 =\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon | ; completando cuadrados y reagrupando términos |
| (4) | \displaystyle \alpha \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} + \gamma \dfrac{\left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; dividiendo todo por \displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon |
| (5) | \displaystyle \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\dfrac{1}{\alpha }\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} + \dfrac{\left(y + \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\dfrac{1}{ \gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; Reordenando \alpha y \gamma |
| (6) | \displaystyle \left( \dfrac{ x - \left(-\dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 + \left( \dfrac{y - \left(-\dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 = 1 | ; reestructurando con raíces |
En el desarrollo de esta deducción es particularmente delicado el paso (3), porque si el coeficiente \displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon es negativo, entonces la elipse no puede existir.
Recordemos que la ecuación general de las elipses es de la forma
\displaystyle \left( \dfrac{x-h}{a} \right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b} \right)^2 = 1
Con este último resultado tenemos ahora una relación directa entre los parámetros de la formula general que nos permite revelar toda la información guardada en la expresión canónica:
- Coordenadas del centro: \displaystyle (h,k) = \left( -\dfrac{\beta}{2\alpha}, -\dfrac{\delta}{2\gamma}\right)
- Longitud del semieje horizontal: \displaystyle a = \sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
- Longitud del semieje vertical: \displaystyle b = \sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } + \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
Con esto ya es posible reconocer y graficar una elipse directamente desde su forma canónica. Su gráfico se verá de la siguiente forma:
Caracterización de la hipérbola
Razonando de una forma completamente análoga puedes, desde la ecuación canónica, hacer la caracterización completa de las hipérbolas. De hecho, el análisis es tan análogo que voy a copiar y pegar el análisis de las elipses y sólo voy a modificar algunas partes.
| (1) | \alpha x^2+ \beta x - \gamma y^2 + \delta y + \epsilon = 0 | ; ecuación canónica de las hipérbolas. |
| (2) | \displaystyle \alpha \left( x^2+ \dfrac{\beta}{\alpha }x\right) - \gamma \left(y^2 - \dfrac{\delta}{\gamma }y\right) =- \epsilon | ; factorizando y reagrupando términos |
| (3) | \displaystyle \alpha \left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2 - \gamma \left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2 =\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon | ; completando cuadrados y reagrupando términos |
| (4) | \displaystyle \alpha \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} - \gamma \dfrac{\left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; dividiendo todo por \displaystyle \dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon |
| (5) | \displaystyle \dfrac{\left( x + \dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)^2}{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} - \dfrac{\left(y - \dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)^2}{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)} = 1 | ; reordenando los términos \alpha y \gamma |
| (6) | \displaystyle \left( \dfrac{ x - \left(-\dfrac{\beta}{2 \alpha }\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 - \left( \dfrac{y - \left(\dfrac{\delta}{2 \gamma } \right)}{\sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}}\right)^2 = 1 | ; reestructurando con raíces |
A partir de esto tenemos ahora una relación directa entre la ecuación canónica y la ecuación de las hipérbolas que nos permitirá confeccionar rápidamente su gráfico.
\displaystyle \left(\dfrac{x-h}{a} \right)^2 - \left(\dfrac{y-k}{b} \right)^2 =1
Ahora, a diferencia de lo que se hace con las elipses, aquí es mas correcto hablar de «caja generadora» por como veremos en la siguiente figura que se muestra más adelante:
- Coordenadas del centro: \displaystyle (h,k) = \left( -\dfrac{\beta}{2\alpha}, \dfrac{\delta}{2\gamma}\right)
- Longitud del semieje horizontal: \displaystyle a = \sqrt{\dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
- Longitud del semieje vertical: \displaystyle b = \sqrt{\dfrac{1}{\gamma}\left(\dfrac{\beta^2}{4\alpha } - \dfrac{\delta^2}{4\gamma } - \epsilon\right)}
Con los resultados de estos análisis podemos ya graficar cualquier miembro de la familia de las secciones cónicas sin ninguna dificultad en especial.