Les Coefficients et la Distribution de Poisson

Considérons maintenant une approximation de la distribution binomiale, où l’on considère un nombre de tentatives n très grand et toutes avec une probabilité individuelle p très faible. En faisant cela, nous passons du processus binomial typique à un processus de Poisson. Pour visualiser cela, imaginons une suite de la forme \{Bi(n;k;p_n)\}_n, où n\to\infty et p_n satisfait la relation np_n=\lambda \gt 0. À partir de cela, nous verrons que

\displaystyle\lim_{n\to\infty}P\left(Bi(n;k;P_n) \right) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

Cela n’est en fait pas difficile à démontrer, si nous prenons la probabilité d’un événement de Bernoulli Bi(n;k;p_n) et la multiplions et divisons par n^k, nous obtenons le raisonnement suivant :

Ainsi, si nous calculons la limite lorsque n\to\infty, nous aurons :

\begin{array} \displaystyle \lim_{n\to\infty} {{n}\choose{k}}p_n^k(1-p_n)^{n-k} &= \lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac{n(n-1)\cdots[n-(k-1)]}{n^k}}_{\to 1} \cdot \frac{\overbrace{(np_n)^k}^{\to\lambda^k}}{k!} \overbrace{(1-p_n)^{-k}}^{\to 1} {(1-p_n)^n} \\ \\ &\displaystyle = \frac{\lambda^k}{k!} \lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{\lambda}{n} \right)^n \\ \\ & \displaystyle = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{array}

À partir de cela, les coefficients de Poisson sont définis, Po(k;\lambda), par

\displaystyle Po(k;\lambda) := \lim_{n\to\infty} {{n}\choose{k}}p^k(1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

Et on dit qu’une variable aléatoire X suit une distribution de Poisson, X\sim Po(k,\lambda), si :

P(X=k) = Po(k;\lambda)

Processus approximatifs de Poisson

Processus Spatial de Poisson

Supposons que nous avons un récipient de volume V contenant un liquide où se trouvent n particules minuscules uniformément réparties. Ici, nous supposons que le liquide est bien mélangé et que les particules n’interagissent pas entre elles, ne s’attirent ni ne se repoussent. Ces hypothèses peuvent être formalisées par les affirmations suivantes :

• Hypothèse d’Homogénéité Spatiale : La probabilité de trouver une particule dans une région D du liquide dépend uniquement du volume de cette région.
• Non-Interaction : Les événements « la j-ème particule est dans la région D », avec j=1,2,…,n sont tous n-indépendants.
• Non-Superposition : Deux particules ne peuvent pas occuper le même espace.

Si nous considérons une région D de volume v, la probabilité de l’événement « il y a k particules dans D«  dépend exclusivement de v ; appelons cet événement g_k(v). Soit h(v) la probabilité qu’une particule soit à l’intérieur d’une région de volume v. Si D_1 et D_2 sont deux régions disjointes de volumes v_1 et v_2 respectivement, alors si D=D_1\cup D_2, ayant un volume v, alors v=v_1+v_2. Et comme D_1 et D_2 sont disjointes (D_1\cap D_2 = \emptyset ), il en résultera que

h(v) = h(v_1) + h(v_2)

Si V est le volume total du liquide, alors :

h(V) = 1

Et par conséquent :

h(v) =\displaystyle \frac{v}{V}

De là, nous avons que l’événement g_k(v) est en réalité un événement de type Bernoulli avec p=v/V et est donné par :

g_k(v) =B(n;k;p=v/V)

Cependant, la plupart des situations pratiques de ce type impliquent un grand nombre de particules n et les régions considérées tendent à être petites par rapport à la taille du système, de sorte que les conditions sont remplies pour appliquer l’approximation de Poisson et nous avons :

\displaystyle P(g_k(v)) = \lim_{\begin{matrix}n\to\infty\\ v/V=c \end{matrix}}P(B(n;k;p=v/V)) =\displaystyle \frac{(cv)^k}{k!}e^{-cv}

Processus Temporel de Poisson

Supposons que nous enregistrons le nombre de particules émises par une substance radioactive à partir du moment t=0 et, à partir de cela, nous calculons la probabilité que dans l’intervalle [0,t[ soient émises exactement k particules sous les hypothèses suivantes :

• Invariance : Les conditions de l’expérience ne changent pas dans le temps.
• Absence de Mémoire : Ce qui s’est passé dans [0,t[ n’affecte pas ce qui se passe dans [t,t'[.
• Événements Isolés : Les particules sont émises une à une.

Si nous comparons les hypothèses du processus temporel à celles du processus spatial, nous remarquerons qu’elles sont formellement équivalentes. Tout comme la probabilité de trouver une particule dans une région ne dépend pas de l’endroit où la région est choisie, mais seulement de sa taille, la probabilité d’observer l’émission d’une particule ne dépend pas du moment choisi pour mesurer, mais seulement de l’intervalle d’observation. L’absence de mémoire est analogue à la non-interaction des processus spatiaux : ce qui s’est passé à un autre moment n’affecte pas ce qui se passe aux autres instants. Enfin, les événements isolés impliquent qu’à un instant donné, une seule particule peut être émise, de la même manière qu’un endroit dans l’espace ne peut être occupé que par un seul corps à la fois.

Ainsi, si nous définissons l’événement « k particules sont émises dans un intervalle de temps t« , sa probabilité d’occurrence sera un événement de la forme g_k(t), c’est-à-dire :

P(g_k(t)) =\displaystyle \frac{(ct)^k}{k!} e^{-ct}

Temporel et Spatial

Les deux processus, spatial et temporel, sont formellement équivalents. Ils ne diffèrent que par la manière dont ils sont interprétés à des fins pratiques. Une manière rapide de clarifier cette distinction est d’observer le rôle de la constante « c » qui apparaît dans les deux cas. Pour que la fonction exponentielle soit bien définie, il est nécessaire que son argument soit adimensionnel ; cependant, celle-ci contient des unités de temps ou d’espace selon qu’il s’agit de processus temporels ou spatiaux. Ce problème est résolu précisément par la constante c. Nous avons :

Po(k;\lambda)=\displaystyle \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\left\{\begin{matrix} {En prenant\,\lambda = \rho v } & \longmapsto &\displaystyle \frac{(\rho v)^k}{k!}e^{-\rho v} & {Processus\,Spatial} \\ {En prenant\,\lambda = \nu t } & \longmappe &\displaystyle \frac{(\nu t)^k}{k!}e^{-\nu t} & {Processus\,Temporel} \end{matrix} \right.

• Si c=\rho, il s’agit d’une densité spatiale (nombre de choses par unité d’espace), définissant ainsi un processus spatial de Poisson.
• Si c=\nu, il s’agit d’une densité temporelle (ou fréquence, nombre d’occurrences par unité de temps), définissant ainsi un processus temporel de Poisson.

Exemples pratiques d’utilisation de la distribution de Poisson

1. La caisse d’un supermarché sert en moyenne 2 clients toutes les 9 minutes. Élaborer un tableau montrant les probabilités qu’elle serve entre 1, 2, 3, et ainsi de suite, jusqu’à 5 personnes dans un intervalle de temps de 5 minutes.
2. Une clinique vétérinaire a la capacité de recevoir au maximum 12 clients par jour. Si elle reçoit en moyenne 9 clients par jour, quelle est la probabilité qu’un jour donné, elle dépasse la capacité d’accueil de la clinique ?
3. Une localité a une densité de population de 10 personnes pour 1000 mètres carrés. Quelle est la probabilité que dans un site de 60 mètres carrés, nous trouvions moins de 15 personnes ?
4. Une poule veut traverser la rue. En marchant en ligne droite, cela lui prend 58 secondes. Si la rue a un trafic de 3 véhicules par minute, et si un véhicule passe pendant que la poule essaie de traverser, elle sera sûrement écrasée avec des résultats mortels. Quelle est la probabilité que la poule atteigne l’autre côté vivante ?