معاملات وتوزيع بواسون

الآن لننظر في تقريب لتوزيع ثنائي، حيث نعتبر عدد المحاولات n كبير جدًا وكلها باحتمالية فردية صغيرة p. عند القيام بذلك، ننتقل من العملية الثنائية النموذجية إلى عملية بواسون. لتصور ذلك، نتخيل سلسلة بالشكل \{Bi(n;k;p_n)\}_n, حيث n\to\infty و p_n تحقق العلاقة np_n=\lambda \gt 0. من هذا، سنرى أن

\displaystyle\lim_{n\to\infty}P\left(Bi(n;k;P_n) \right) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

هذا في الواقع ليس صعبًا لإثباته، إذا أخذنا احتمالية حدث برنولي Bi(n;k;p_n) وضربناها وقسمناها على n^k، نحصل على التفكير التالي:

لذا إذا حسبنا الحد عندما n\to\infty، سيكون لدينا:

\begin{array} \displaystyle \lim_{n\to\infty} {{n}\choose{k}}p_n^k(1-p_n)^{n-k} &= \lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac{n(n-1)\cdots[n-(k-1)]}{n^k}}_{\to 1} \cdot \frac{\overbrace{(np_n)^k}^{\to\lambda^k}}{k!} \overbrace{(1-p_n)^{-k}}^{\to 1} {(1-p_n)^n} \\ \\ &\displaystyle = \frac{\lambda^k}{k!} \lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{\lambda}{n} \right)^n \\ \\ & \displaystyle = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{array}

من هذا، يتم تعريف معاملات بواسون، Po(k;\lambda)، من خلال

\displaystyle Po(k;\lambda) := \lim_{n\to\infty} {{n}\choose{k}}p^k(1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

ويقال إن متغيرًا عشوائيًا X له توزيع بواسون، X\sim Po(k,\lambda), إذا تحقق أن:

P(X=k) = Po(k;\lambda)

العمليات التقريبية لبواسون

العملية المكانية لبواسون

لنفترض أن لدينا حاوية بحجم V تحتوي على سائل حيث يوجد n جزيئات صغيرة موزعة بالتساوي. هنا نفترض أن السائل قد تم تحريكه جيدًا وأن الجسيمات لا تتفاعل مع بعضها البعض، لا تجذب ولا تتنافر. هذه الافتراضات يمكن توضيحها من خلال البيانات التالية:

• فرضية التجانس المكاني: احتمالية العثور على جسيم في منطقة D من السائل تعتمد فقط على حجم تلك المنطقة.
• عدم التفاعل: الأحداث “الجسيم j موجود في المنطقة D”، مع j=1,2,…,n، تكون جميعها مستقلة عن بعضها البعض.
• عدم التراكب: لا يمكن لجسيمين احتلال نفس المكان في الفضاء.

إذا أعطينا منطقة D بحجم v، فإن احتمالية حدث “في D يوجد k جزيئات” تعتمد فقط على v؛ دعونا نسمي هذا الحدث g_k(v). ليكن h(v) احتمالية وجود الجسيم داخل منطقة بحجم v. إذا كانت D_1 و D_2 منطقتين غير متداخلتين بحجم v_1 و v_2 على التوالي، إذن إذا D=D_1\cup D_2، يكون الحجم v إذن v=v_1+v_2. ولأن D_1 و D_2 غير متداخلتين (D_1\cap D_2 = \emptyset )، سيكون لدينا

h(v) = h(v_1) + h(v_2)

إذا كان V هو حجم السائل الكامل، فسيكون لدينا

h(V) = 1

وبالتالي:

h(v) =\displaystyle \frac{v}{V}

من هنا نجد أن الحدث g_k(v) هو في الواقع حدث من نوع برنولي مع p=v/V ويعطى بواسطة:

g_k(v) =B(n;k;p=v/V)

ومع ذلك، فإن معظم الحالات العملية من هذا النوع تتضمن عددًا كبيرًا من الجسيمات n والمناطق المدروسة تكون صغيرة مقارنة بحجم النظام، بحيث يتم استيفاء الشروط لتطبيق تقريب بواسون، ونحصل على:

\displaystyle P(g_k(v)) = \lim_{\begin{matrix}n\to\infty\\ v/V=c \end{matrix}}P(B(n;k;p=v/V)) =\displaystyle \frac{(cv)^k}{k!}e^{-cv}

العملية الزمنية لبواسون

لنفترض أننا نسجل كمية الجسيمات المنبعثة من مادة مشعة بدءًا من اللحظة t=0، ومن ثم نحسب احتمالية انبعاث k جسيمات بالضبط في الفترة الزمنية [0,t[ بناءً على الافتراضات التالية:

• الثبات: شروط التجربة لا تتغير مع الزمن.
• عدم الذاكرة: ما حدث في [0,t[ لا يؤثر على ما يحدث في [t,t'[.
• الأحداث المنفصلة: الجسيمات تنبعث واحدة تلو الأخرى.

إذا قارنا افتراضات العملية الزمنية بفرضيات العملية المكانية، سنجد أنها مكافئة شكليًا. كما أن احتمالية العثور على جسيم في منطقة ما لا تعتمد على مكان اختيار المنطقة، بل على حجمها فقط، فإن احتمالية ملاحظة انبعاث جسيم لا تعتمد على اللحظة المختارة للقياس، بل على فترة الملاحظة فقط. عدم الذاكرة يشبه عدم التفاعل في العمليات المكانية: ما حدث في وقت آخر لا يؤثر على ما يحدث في الأوقات الأخرى. وأخيرًا، الأحداث المنفصلة تعني أنه في لحظة زمنية واحدة يمكن انبعاث جسيم واحد فقط، وهو مشابه لأن مكانًا في الفضاء يمكن أن يشغله جسم واحد في وقت واحد.

لذلك، إذا عرفنا الحدث “انبعاث k جسيمات في فترة زمنية t“، فإن احتمالية حدوثه ستكون حدثًا من شكل g_k(t)، أي:

P(g_k(t)) =\displaystyle \frac{(ct)^k}{k!} e^{-ct}

الزمانية والمكانية

كلا العمليتين، المكانية والزمنية، مكافئتان شكليًا. تختلفان فقط في طريقة تفسيرهما لأغراض عملية. إحدى الطرق السريعة لتوضيح هذا التمييز هي مراقبة دور الثابت “c” الذي يظهر في كلا الحالتين. لجعل الدالة الأسية محددة بشكل جيد، يجب أن يكون وسيطها بلا أبعاد؛ ومع ذلك، يحتوي هذا الوسيط على وحدات زمنية أو مكانية اعتمادًا على ما إذا كنا نتعامل مع عمليات زمنية أو مكانية. يتم حل هذه المشكلة بواسطة الثابت c. لدينا:

Po(k;\lambda)=\displaystyle \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\left\{\begin{matrix} {أخذ\,\lambda = \rho v } & \longmapsto &\displaystyle \frac{(\rho v)^k}{k!}e^{-\rho v} & {عملية\,مكانية} \\ {أخذ\,\lambda = \nu t } & \longmapsto &\displaystyle \frac{(\nu t)^k}{k!}e^{-\nu t} & {عملية\,زمنية} \end{matrix} \right.

• إذا كان c=\rho، فإنه يمثل كثافة مكانية (عدد الأشياء لكل وحدة مساحة)، وبالتالي يحدد عملية بواسون المكانية.
• إذا كان c=\nu، فإنه يمثل كثافة زمنية (أو تكرار، عدد الأحداث لكل وحدة زمنية)، وبالتالي يحدد عملية بواسون الزمنية.

أمثلة عملية لتطبيق توزيع بواسون

1. يخدم صندوق الدفع في سوبر ماركت في المتوسط 2 عميل كل 9 دقائق. قم بإعداد جدول يعرض احتمالات خدمة 1، 2، 3، وهكذا، حتى 5 أشخاص في فترة زمنية مدتها 5 دقائق.
2. لدى عيادة بيطرية القدرة على استقبال ما يصل إلى 12 عميلًا يوميًا. إذا كانوا يستقبلون في المتوسط 9 عملاء كل يوم، ما هو احتمال تجاوز العيادة قدرتها الاستيعابية في أي يوم؟
3. تبلغ كثافة السكان في منطقة معينة 10 أشخاص لكل 1000 متر مربع. ما هو احتمال وجود أقل من 15 شخصًا في موقع مساحته 60 مترًا مربعًا؟
4. دجاجة تريد عبور الطريق. يستغرق المشي في خط مستقيم 58 ثانية. إذا كان الطريق يشهد مرور 3 مركبات في الدقيقة، وإذا مرت مركبة أثناء محاولة الدجاجة العبور، فمن المؤكد أنها ستُدهس وتتعرض لإصابة قاتلة. ما هو احتمال أن تصل الدجاجة بأمان إلى الجانب الآخر؟