Os Coeficientes e a Distribuição de Poisson

Agora consideremos uma aproximação para a distribuição binomial, na qual se considera um número de tentativas n muito grande e todos com uma probabilidade individual p muito pequena. Quando fazemos isso, passamos do típico processo Binomial a um Processo de Poisson. Para visualizar isso, imaginemos uma sucessão da forma \{Bi(n;k;p_n)\}_n, onde n\to\infty e p_n satisfaz a relação np_n=\lambda \gt 0. A partir disso, veremos que

\displaystyle\lim_{n\to\infty}P\left(Bi(n;k;P_n) \right) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

Isso na verdade não é difícil de demonstrar, se tomarmos a probabilidade de um evento de Bernoulli Bi(n;k;p_n) e a multiplicarmos e dividirmos por n^k, obtemos o seguinte raciocínio:

De modo que se calculamos o limite quando n\to\infty, teremos:

\begin{array} \displaystyle \lim_{n\to\infty} {{n}\choose{k}}p_n^k(1-p_n)^{n-k} &= \lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac{n(n-1)\cdots[n-(k-1)]}{n^k}}_{\to 1} \cdot \frac{\overbrace{(np_n)^k}^{\to\lambda^k}}{k!} \overbrace{(1-p_n)^{-k}}^{\to 1} {(1-p_n)^n} \\ \\ &\displaystyle = \frac{\lambda^k}{k!} \lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{\lambda}{n} \right)^n \\ \\ & \displaystyle = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{array}

A partir disso, os coeficientes de Poisson, Po(k;\lambda), são definidos através de

\displaystyle Po(k;\lambda) := \lim_{n\to\infty} {{n}\choose{k}}p^k(1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

E diz-se que uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson, X\sim Po(k,\lambda), se satisfizer que:

P(X=k) = Po(k;\lambda)

Processos aproximados de Poisson

Processo Espacial de Poisson

Suponhamos que temos um recipiente de volume V com um líquido onde se encontram n partículas minúsculas uniformemente misturadas. Aqui assumimos que o líquido está bem batido e que as partículas não interagem entre si, não se atraem nem se repelem. Estas são suposições que podem ser formalizadas através das seguintes afirmações:

• Hipótese de Homogeneidade Espacial: A probabilidade de encontrar uma partícula em uma região D do líquido depende unicamente do volume de tal região.
• Não-Interação: Os eventos “a j-ésima partícula está na região D”, com j=1,2,…,n são todos n-independentes.
• Não-Sobreposição: Duas partículas não podem ocupar o mesmo lugar no espaço.

Se nos damos uma região D com um volume v, a probabilidade do evento “em D há k partículas” depende exclusivamente de v; chamemos g_k(v) a tal evento. Seja h(v) a probabilidade de que a partícula esteja no interior de uma região de volume v. Se D_1 e D_2 são duas regiões disjuntas de volume v_1 e v_2 respectivamente, então teremos que se D=D_1\cup D_2, tem volume v, então v=v_1+v_2. E como D_1 e D_2 são disjuntos (D_1\cap D_2 = \emptyset ), teremos que

h(v) = h(v_1) + h(v_2)

Se V é o volume do líquido completo, então teremos que

h(V) = 1

E consequentemente:

h(v) =\displaystyle \frac{v}{V}

Daqui temos que o evento g_k(v) é na verdade um evento de tipo Bernoulli com p=v/V e está dado por:

g_k(v) =B(n;k;p=v/V)

No entanto, a maioria das situações práticas deste estilo envolve um grande número de partículas n e as regiões consideradas tendem a ser pequenas em relação ao tamanho do sistema, de modo que se cumprem as condições para aplicar a aproximação de Poisson e temos que:

\displaystyle P(g_k(v)) = \lim_{\begin{matrix}n\to\infty\\ v/V=c \end{matrix}}P(B(n;k;p=v/V)) =\displaystyle \frac{(cv)^k}{k!}e^{-cv}

Processo Temporal de Poisson

Suponhamos que estamos registrando a quantidade de partículas emitidas por uma substância radioativa a partir do instante t=0 e, a partir disso, calcularemos a probabilidade de que no intervalo [0,t[ sejam emitidas exatamente k partículas sob os seguintes pressupostos:

• Invariância: As condições do experimento não mudam no tempo.
• Não-Memória: O que aconteceu em [0,t[ não afeta o que ocorre em [t,t'[.
• Eventos Isolados: As partículas são emitidas uma de cada vez.

Se compararmos os pressupostos do processo temporal com os do processo espacial, perceberemos que são formalmente equivalentes. Assim como a probabilidade de encontrar uma partícula em uma região não depende do local de onde se escolhe a região, mas apenas do tamanho, a probabilidade de observar a emissão de uma partícula não depende do momento escolhido para medir, mas apenas do intervalo de observação. A não-memória é análoga à não-interação dos processos espaciais: o que ocorreu em outro momento não afeta o que ocorre nos demais instantes. E finalmente, os eventos isolados implicam que em um instante de tempo só pode ser emitida uma partícula, de forma análoga a como um lugar no espaço só pode ser ocupado por um corpo de cada vez.

Assim, se definirmos o evento “são emitidas k partículas em um intervalo de tempo t,” sua probabilidade de ocorrer será um evento da forma g_k(t), ou seja:

P(g_k(t)) =\displaystyle \frac{(ct)^k}{k!} e^{-ct}

Temporal e Espacial

Ambos os processos, espacial e temporal, são formalmente equivalentes. Apenas variam na forma como são interpretados para fins práticos. Uma forma rápida de tornar essa distinção mais clara é observando o papel que cumpre a constante “c” que aparece em ambos os casos. Para que a função exponencial esteja bem definida, é necessário que seu argumento seja adimensional; no entanto, esta contém em seu conteúdo unidades de tempo ou de espaço segundo se tratamos com processos temporais ou espaciais. Este problema é resolvido justamente pela constante c. Temos que:

Po(k;\lambda)=\displaystyle \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\left\{\begin{matrix} {Tomando\,\lambda = \rho v } & \longmapsto &\displaystyle \frac{(\rho v)^k}{k!}e^{-\rho v} & {Processo\,Espacial} \\ {Tomando\,\lambda = \nu t } & \longmapsto &\displaystyle \frac{(\nu t)^k}{k!}e^{-\nu t} & {Processo\,Temporal} \end{matrix} \right.

• Se c=\rho, trata-se de uma densidade espacial (número de coisas por unidade de espaço), portanto define um processo espacial de Poisson.
• Se c=\nu, trata-se de uma densidade temporal (ou frequência, quantidade de ocorrências por unidade de tempo), portanto, define um processo temporal de Poisson.

Exemplos práticos onde se usa a distribuição de Poisson

1. O caixa de um supermercado atende em média 2 clientes a cada 9 minutos. Elabore uma tabela onde mostre as probabilidades de que atenda entre 1, 2, 3, e assim por diante, até 5 pessoas em um espaço de tempo de 5 minutos.
2. Uma clínica veterinária tem a capacidade para atender no máximo 12 clientes por dia. Se em média recebem 9 clientes por dia, qual é a probabilidade de que em um dia qualquer a capacidade de atendimento da clínica seja ultrapassada?
3. Certa localidade tem uma densidade populacional de 10 pessoas por cada 1000 metros quadrados. Qual é a probabilidade de que em um local de 60 metros quadrados encontremos menos de 15 pessoas?
4. Uma galinha quer atravessar a rua. Caminhando em linha reta, leva 58 segundos. Se a rua tem um tráfego veicular de 3 veículos por minuto, e se um veículo passar enquanto a galinha tenta atravessar, com toda certeza será atropelada com resultados fatais. Qual é a probabilidade de que a galinha chegue viva do outro lado?