تجربة برنولي والتوزيع الثنائي
ملخص
في هذه الحصة، سندرس مفهوم تجارب برنولي وتطبيقاتها في نظرية الاحتمالات. نبدأ بتعريف مفصل لتجارب برنولي ثم نناقش مفهوم الاستقلالية بين الأحداث. بعد توضيح هذه الأفكار، نطبق نظرية ذي الحدين لفهم كيف أن تكرار تجربة برنولي ينتج عنها توزيع ثنائي. أخيرًا، نقترح بعض التمارين العملية لتطبيق وتعزيز هذه المفاهيم.
أهداف التعلم:
عند انتهاء هذه الحصة، سيكون الطالب قادرًا على:
- تحديد الخصائص الرئيسية لتجارب برنولي، بما في ذلك الاستقلالية بين المحاولات.
- تطبيق الرموز بشكل صحيح للأحداث الثنائية المشتقة من تجارب برنولي.
- تمييز بين الأشكال المختلفة للاستقلالية (الاستقلالية الثنائية، الاستقلالية الثلاثية، الاستقلالية العامة) وفهم علاقتها وتطبيقها في تجارب برنولي.
- فهم العلاقة بين تجربة برنولي ونظرية ذي الحدين، وكيف يمكن استخدام هذه العلاقة لحساب احتمالية سلسلة من النجاحات والفشل.
- تطبيق التوزيع الثنائي (أو توزيع برنولي) لحساب احتمالية عدد معين من النجاحات في سلسلة من المحاولات.
فهرس المحتويات:
تجربة برنولي
أشكال مختلفة من الاستقلالية
تجربة برنولي ونظرية ذي الحدين
التوزيع الثنائي (أو توزيع برنولي) والتوزيعات الاحتمالية
تمارين:
تجربة برنولي
تجربة برنولي هي تجربة عشوائية ثنائية النتائج بوجود احتمال معين للنجاح p. إذا تكررت تجربة برنولي n مرة بشكل متماثل ومستقل، فإننا نحصل على أحداث برنولي: عدد معين k من النجاحات بين n محاولات. تُعرف هذه أيضًا بالأحداث الثنائية ونعبر عنها بالرمز
\Large \displaystyle Bi(n;k;p)
من الخصائص المهمة الأخرى لتجارب برنولي أن جميع المحاولات مستقلة عن بعضها البعض.
مثال: يتم رمي مكعب ذو 6 وجوه بشكل متكرر. أمثلة على أحداث من نوع برنولي لهذه التجربة تشمل:
- الحصول على 3 أوجه معينة بين 5 محاولات: يُمثل بـ Bi(5;3;1/6)
- الحصول على 7 أعداد زوجية بين 12 محاولة: يُمثل بـ Bi(12;7;1/3)
أشكال مختلفة من الاستقلالية
الاستقلالية بين المحاولات في تجربة برنولي ليست بالضبط نفس الاستقلالية التي سبق وراجعناها، إنها نسخة أكثر تقييدًا. لتوضيح هذا الاختلاف، دعونا نفحص أنواع الاستقلالية بين الأحداث.
الاستقلالية الثنائية
الاستقلالية التي نعرفها هي التي تحدث بين حدثين، نسميها “الاستقلالية الثنائية”. في هذه المصطلحات نقول إن الحدثين A و B مستقلان إذا
P(A\cap B) = P(A)P(B)
الاستقلالية الثلاثية
بشكل مشابه، يتم تعريف الاستقلالية الثلاثية بين ثلاثة أحداث A, B و C من خلال العلاقة
P(A\cap B\cap C) = P(A)P(B)P(C)
من المهم أن نلاحظ أن الاستقلالية الثنائية بين A, B و C لا تعني بالضرورة الاستقلالية الثلاثية، على الرغم من أن العكس صحيح.
الاستقلالية العامة في تجارب برنولي
بالتشابه مع التعريفات السابقة، يتم تعريف الاستقلالية العامة بين مجموعة من الأحداث A_1, \cdots, A_n من خلال العلاقة
\Large \displaystyle P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right) = \prod_{i=1}^n P(A_i)
وبالمثل، لدينا:
| (n-1)-الاستقلالية لا تعني بالضرورة n-الاستقلالية |
| n-الاستقلالية \Longrightarrow (n-1)-الاستقلالية |
تكرارات n في تجربة برنولي مستقلة n-بشكل مستقل.
تجربة برنولي ونظرية ذي الحدين
لنعتبر تجربة نجاح وفشل باحتمال نجاح p؛ في كل محاولة يكون لدينا، بالتالي، احتمال 1-p للفشل. من الواضح أن احتمال حدوث نجاح أو فشل في كل محاولة هو 1؛ وبما أن جميع المحاولات مستقلة، فإن احتمال حدوث نجاح أو فشل في n محاولات سيكون 1^n. من هنا نحصل على:
\Large \displaystyle 1 = 1^n = [p + (1-p)]^n = \sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}
في المعادلة الأخيرة، تم تطبيق نظرية ذي الحدين لنيوتن، ويمكن تفسير المصطلحات داخل المجموع بالطريقة التالية:
- \displaystyle {{n}\choose{k}}：عدد الطرق التي يمكن أن يحدث بها k نجاحات عند إجراء n محاولات
- p^k：احتمال حدوث k نجاحات مستقلة
- (1-p)^{n-k}：احتمال حدوث n-k فشل مستقل
بجمع هذه العناصر بالطريقة التي تظهر في المجموع، نحصل على: احتمال الحصول على k نجاحات بين n محاولات؛ أو بشكل مكافئ، احتمال الحصول على n-k فشل بين n محاولات.
إذا فصلنا كل مصطلح من المجموع، نحصل على احتمالات الحصول على:
| \displaystyle {{n}\choose{0}} p^0(1-p)^{n-0} = (1-p)^n | 0 نجاحات بين n محاولات |
| \displaystyle {{n}\choose{1}} p^1(1-p)^{n-1} = n p(1-p)^{n-1} | 1 نجاح بين n محاولات |
| \displaystyle {{n}\choose{2}} p^2(1-p)^{n-2} | 2 نجاحات بين n محاولات |
| \vdots | \vdots |
| \displaystyle {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k} | k نجاحات بين n محاولات |
| \vdots | \vdots |
| \displaystyle {{n}\choose{n-1}} p^{n-1}(1-p)^{n-(n-1)} = n p^{n-1}(1-p) | n-1 نجاحات بين n محاولات |
| \displaystyle {{n}\choose{n}} p^{n}(1-p)^{0} = p^{n} | n نجاحات بين n محاولات |
ومجموع كل هذه الاحتمالات، كما رأينا، هو “1”. مما يُظهر أن جميع الاحتمالات قد تم تغطيتها.
من هنا يمكن تعريف احتمال حدث برنولي:
\displaystyle\Large \color{blue}{P(Bi(n;k;p)) = {{n}\choose{k}}p^k(1-p)^{n-k}}
أو نقول أن عدد النجاحات X يتبع توزيعًا ثنائيًا:
\color{blue}{\Large \displaystyle X\sim Bi(n;p) \longmapsto P(X=x) = {{n}\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}}
التوزيع الثنائي (أو توزيع برنولي) والتوزيعات الاحتمالية
من خلال التوزيع الثنائي نبدأ في الحصول على المفاهيم الأولى للتوزيعات الاحتمالية والمتغير العشوائي. في هذه الحالة، يرتبط المتغير العشوائي (المنفصل) بعدد النجاحات وتوزيعه الاحتمالي يعطى من خلال مصطلحات نظرية ذي الحدين
{\Large \displaystyle P(X=x) = {{n}\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}}
تمارين:
- يتم رمي مكعب ذو 6 وجوه متوازن 5 مرات. احسب احتمال الحصول على 3 أعداد زوجية كنتيجة.
- يتم رمي عملة 10 مرات. احسب احتمال الحصول على من 0 إلى 10 وجوه، وارسم مخططًا يوضح الاحتمال لكل نتيجة. كيف سيبدو المخطط إذا زاد عدد الرميات وتم فحص احتمال الحصول على عدد من الوجوه من 0 إلى عدد تلك الرميات؟ يمكن أن تكون ورقة Excel مفيدة هنا.
- لديك قرعة تحتوي على كمية s من الكرات، حيث r منها ذهبية والباقي بيضاء. يتم خلط الجميع وسحب واحدة عشوائيًا، وتربح عند سحب الكرة الذهبية. إذا تم تكرار هذا التجربة بشكل متماثل 20 مرة، قم بتقدير عدد الانتصارات الأكثر احتمالًا لكل قيمة ممكنة من 0\leq r\leq s. يمكن أن تكون ورقة Excel مفيدة هنا.