O Ensaio de Bernoulli e a Distribuição Binomial
Resumo
Nesta aula, estudaremos o conceito dos ensaios de Bernoulli e suas implicações na teoria das probabilidades. Começamos com uma definição detalhada dos ensaios de Bernoulli para depois abordar o conceito de independência entre eventos. Após esclarecer essas ideias, aplica-se o teorema do binômio para entender como a repetição de um ensaio de Bernoulli produz resultados com distribuição binomial. Finalmente, propõem-se exercícios práticos para aplicar e reforçar esses conceitos.
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM:
Ao final desta aula, o aluno será capaz de:
- Identificar as principais características dos ensaios de Bernoulli, incluindo a independência entre as tentativas.
- Aplicar corretamente a notação para os eventos binomiais derivados dos ensaios de Bernoulli.
- Distinguir entre diferentes formas de independência (2-independência, 3-independência, n-independência) e compreender sua relação e aplicação nos ensaios de Bernoulli.
- Compreender a relação entre o ensaio de Bernoulli e o teorema do binômio, e como essa relação pode ser utilizada para calcular a probabilidade de uma série de sucessos e fracassos.
- Aplicar a distribuição binomial (ou de Bernoulli) para calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em uma série de tentativas.
ÍNDICE DE CONTEÚDOS:
O ensaio de Bernoulli
Diferentes formas de independência
O ensaio de Bernoulli e o teorema do binômio
A distribuição binomial (ou de Bernoulli) e as distribuições de Probabilidade
Exercícios:
O ensaio de Bernoulli
Um ensaio Bernoulli é um experimento aleatório dicotômico com uma certa probabilidade de sucesso p. Se um ensaio Bernoulli se repete n vezes de forma idêntica e independente, então se obtêm os eventos de Bernoulli: Certo número k de sucessos entre n tentativas. Esses também recebem o nome de eventos binomiais e os representamos através da notação
\Large \displaystyle Bi(n;k;p)
Outra característica importante dos ensaios de Bernoulli é que todas as tentativas são independentes entre si.
EXEMPLO: Lança-se repetidamente um dado de 6 faces. Exemplos de eventos do tipo Bernoulli para este experimento são:
- Obter 3 ases entre 5 tentativas: representado por Bi(5;3;1/6)
- Obter 7 números pares entre 12 tentativas: representado por Bi(12;7;1/3)
Diferentes formas de independência
A independência entre as tentativas desenvolvidas no ensaio Bernoulli não é precisamente a mesma independência que já revisamos, trata-se de uma versão muito mais restrita. Para explicar essa diferença, examinemos os tipos de independência entre eventos
2-independência
A independência que já conhecemos é a que se dá entre dois eventos, a chamamos de “2-independência”. Em esses termos, dizemos que os eventos A e B são 2-independentes se
P(A\cap B) = P(A)P(B)
3-independência
De forma análoga, se define a 3-independência entre três eventos A, B e C através da relação
P(A\cap B\cap C) = P(A)P(B)P(C)
É importante destacar que a 2-independência entre A, B e C não implica necessariamente a 3-independência, embora no caso inverso a implicação seja certa.
A n-independência entre os ensaios de Bernoulli
Procedendo de forma análoga às definições anteriores, define-se a n-independência entre uma coleção de eventos A_1, \cdots, A_n através da relação
\Large \displaystyle P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right) = \prod_{i=1}^n P(A_i)
E de forma análoga, temos que:
| (n-1)-independência não implica necessariamente n-independência |
| n-independência \Longrightarrow (n-1)-independência |
As n repetições realizadas no ensaio de Bernoulli são n-independentes.
O ensaio de Bernoulli e o teorema do binômio
Consideremos um experimento de sucesso e fracasso com probabilidade de sucesso de p; em cada tentativa terá, consequentemente, uma probabilidade 1-p de fracasso. É claro que a probabilidade de ocorrer um sucesso ou um fracasso entre cada tentativa é 1; e como todas as tentativas são independentes, a probabilidade de ocorrer sucesso ou fracasso nas n tentativas será 1^n. A partir disso, teremos que:
\Large \displaystyle 1 = 1^n = [p + (1-p)]^n = \sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}
Na última igualdade, aplicou-se o Teorema do Binômio de Newton, e os termos dentro da soma podem ser interpretados da seguinte maneira:
- \displaystyle {{n}\choose{k}}: o número de formas em que podem ocorrer k sucessos ao realizar n tentativas
- p^k: A probabilidade de ocorrerem k sucessos independentes
- (1-p)^{n-k}: A probabilidade de ocorrerem n-k fracassos independentes
Ao juntar esses elementos da forma em que aparecem na soma, obtemos: a probabilidade de obter k sucessos entre n tentativas; ou, equivalentemente, a probabilidade de obter n-k fracassos entre n tentativas.
Se separarmos cada termo da soma, teremos as probabilidades de obter:
| \displaystyle {{n}\choose{0}} p^0(1-p)^{n-0} = (1-p)^n | 0 sucessos entre n tentativas |
| \displaystyle {{n}\choose{1}} p^1(1-p)^{n-1} = n p(1-p)^{n-1} | 1 sucesso entre n tentativas |
| \displaystyle {{n}\choose{2}} p^2(1-p)^{n-2} | 2 sucessos entre n tentativas |
| \vdots | \vdots |
| \displaystyle {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k} | k sucessos entre n tentativas |
| \vdots | \vdots |
| \displaystyle {{n}\choose{n-1}} p^{n-1}(1-p)^{n-(n-1)} = n p^{n-1}(1-p) | n-1 sucessos entre n tentativas |
| \displaystyle {{n}\choose{n}} p^{n}(1-p)^{0} = p^{n} | n sucessos entre n tentativas |
E a soma de todos estes, como já vimos, é “1”. Mostrando que todas as possibilidades foram cobertas.
A partir disso, define-se a probabilidade do evento Bernoulli:
\displaystyle\Large \color{blue}{P(Bi(n;k;p)) = {{n}\choose{k}}p^k(1-p)^{n-k}}
Ou também dizemos que o número de sucessos X tem distribuição binomial:
\color{blue}{\Large \displaystyle X\sim Bi(n;p) \longmapsto P(X=x) = {{n}\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}}
A distribuição binomial (ou de Bernoulli) e as distribuições de Probabilidade
Através da distribuição binomial é que começamos a ter as primeiras noções de distribuições de probabilidade e de variável aleatória. Neste caso, a variável aleatória (discreta) está associada ao número de sucessos e sua distribuição de probabilidade é dada pelos termos do teorema do binômio
{\Large \displaystyle P(X=x) = {{n}\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}}
Exercícios:
- Lança-se um dado de 6 faces equilibrado 5 vezes. Calcule a probabilidade de obter 3 vezes um número par como resultado.
- Lança-se uma moeda 10 vezes. Calcule a probabilidade de obter, de 0 a 10 caras e faça um gráfico que mostre a probabilidade para cada resultado. Como será o gráfico se aumentar o número de lançamentos e examinar a probabilidade de obter um número de caras que vai de 0 até esse número de lançamentos? Uma planilha de Excel pode ser útil aqui.
- Tem-se uma tombola com uma quantidade s de bolinhas, onde r são douradas e o resto brancas. Misturam-se todas e tira-se uma ao acaso, e ganha-se quando sai a dourada. Se este experimento se repete de maneira idêntica 20 vezes, estime o número de vitórias mais prováveis para cada valor possível de 0\leq r\leq s. Uma planilha em Excel também pode ser útil aqui.