Los Coeficientes y la Distribución de Poisson

Ahora consideremos una aproximación para la distribución binomial, en la que se considera un número de intentos n muy grande y todos con una probabilidad individual p muy pequeña. Cuando hacemos esto, pasamos del típico proceso Binomial a un Proceso de Poisson. Para visualizar esto, imaginemos una sucesión de la forma \{Bi(n;k;p_n)\}_n, donde n\to\infty y p_n satisface la relación np_n=\lambda \gt 0. A partir de esto, veremos que

\displaystyle\lim_{n\to\infty}P\left(Bi(n;k;P_n) \right) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

Esto en realidad no es difícil de demostrar, si tomamos la probabilidad de un evento de Bernoulli Bi(n;k;p_n) y la multiplicamos y dividimos por n^k, obtenemos el siguiente razonamiento:

De modo que si calculamos el límite cuando n\to\infty, se tendrá:

\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} {{n}\choose{k}}p_n^k(1-p_n)^{n-k} &= \displaystyle \lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac{n(n-1)\cdots[n-(k-1)]}{n^k}}_{\to 1} \cdot \frac{\overbrace{(np_n)^k}^{\to\lambda^k}}{k!} \overbrace{(1-p_n)^{-k}}^{\to 1} {(1-p_n)^n} \\ \\ &\displaystyle = \frac{\lambda^k}{k!} \lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{\lambda}{n} \right)^n \\ \\ & \displaystyle = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{array}

A partir de esto, se definen los coeficientes de Poisson, Po(k;\lambda), a través de

\displaystyle Po(k;\lambda) := \lim_{n\to\infty} {{n}\choose{k}}p^k(1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

Y se dice que una variable aleatoria X tiene distribución de Poisson, X\sim Po(k,\lambda), si se cumple que:

P(X=k) = Po(k;\lambda)

Procesos aproximados de Poisson

Proceso Espacial de Poisson

Supongamos que tenemos un recipiente de volumen V con un líquido donde se encuentran n partículas diminutas uniformemente revueltas. Aquí asumimos que el líquido está bien batido y que las partículas no interactúan entre sí, no se atraen ni se repelen. Estas son suposiciones que se pueden formalizar a través de las siguientes afirmaciones:

• Hipótesis de Homogeneidad espacial: La probabilidad de encontrar una partícula en una región D del líquido depende únicamente del volumen de tal región.
• No-Interacción: Los eventos «la j-ésima partícula está en la región D», con j=1,2,…,n son todos n-independientes.
• No-Superposición: Dos partículas no pueden ocupar el mismo lugar en el espacio.

Si nos damos una región D con un volumen v, la probabilidad del evento «en D hay k partículas» depende exclusivamente de v; llamemos g_k(v) a tal evento. Sea h(v) la probabilidad de que la partícula esté en el interior de una región de volumen v. Si D_1 y D_2 son dos regiones disjuntas de volumen v_1 y v_2 respectivamente, entonces se tendrá que si D=D_1\cup D_2, tiene volumen v, entonces v=v_1+v_2. Y como D_1 y D_2 son disjuntos (D_1\cap D_2 = \emptyset ), se tendrá que

h(v) = h(v_1) + h(v_2)

Si V es el volumen del líquido completo, entonces se tendrá que

h(V) = 1

Y en consecuencia:

h(v) =\displaystyle \frac{v}{V}

De aquí tenemos que el evento g_k(v) es en realidad un evento de tipo Bernoulli con p=v/V y está dado por:

g_k(v) =B(n;k;p=v/V)

Sin embargo, la mayoría de las situaciones prácticas de este estilo involucran un gran número de partículas n y las regiones consideradas tienden a ser pequeñas con respecto al tamaño del sistema, de modo que se cumplen las condiciones para aplicar la aproximación de Poisson y se tiene que:

\displaystyle P(g_k(v)) = \lim_{\begin{matrix}n\to\infty\\ v/V=c \end{matrix}}P(B(n;k;p=v/V)) =\displaystyle \frac{(cv)^k}{k!}e^{-cv}

Proceso Temporal de Poisson

Supongamos que estamos registrando la cantidad de partículas emitidas por una sustancia radiactiva a partir del instante t=0 y, a partir de eso, calcularemos la probabilidad de que en el intervalo [0,t[ se emitan exactamente k partículas bajo los siguientes supuestos:

• Invariancia: Las condiciones del experimento no cambian en el tiempo.
• No-Memoria: Lo que sucedió en [0,t[ no afecta a lo que ocurre en [t,t'[.
• Sucesos Aislados: Las partículas son emitidas una a la vez.

Si comparamos los supuestos del proceso temporal con el del proceso espacial, nos daremos cuenta de que son formalmente equivalentes. Así como la probabilidad de encontrar una partícula en una región no depende del lugar de donde se elija la región, sino solo del tamaño, la probabilidad de observar la emisión de una partícula no depende del momento que se elija medir, sino sólo del intervalo de observación. La no-memoria es análoga a la no-interacción de los procesos espaciales: lo que ocurrió en otro momento no afecta a lo que ocurre en los demás instantes. Y finalmente, los sucesos aislados implican que en un instante de tiempo solo se puede emitir una partícula, de forma análoga a como un lugar en el espacio solo puede ser ocupado por un cuerpo a la vez.

Así, si definimos el evento «se emiten k partículas en un intervalo de tiempo t,» su probabilidad de ocurrir será un evento de la forma g_k(t), es decir:

P(g_k(t)) =\displaystyle \frac{(ct)^k}{k!} e^{-ct}

Temporal y Espacial

Ambos procesos, espacial y temporal, son formalmente equivalentes. Sólo varían en la forma en que se interpretan para fines prácticos. Una forma rápida de hacer más clara esa distinción es observando el rol que cumple la constante «c» que aparece en ambos casos. Para que la función exponencial esté bien definida, es necesario que su argumento sea adimensional; sin embargo, esta tiene en su contenido unidades de tiempo o de espacio según si tratamos con procesos temporales o espaciales. Este problema lo arregla justamente la constante c. Tenemos que:

Po(k;\lambda)=\displaystyle \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\left\{\begin{matrix} {Tomando\,\lambda = \rho v } & \longmapsto &\displaystyle \frac{(\rho v)^k}{k!}e^{-\rho v} & {Proceso\,Espacial} \\ {Tomando\,\lambda = \nu t } & \longmapsto &\displaystyle \frac{(\nu t)^k}{k!}e^{-\nu t} & {Proceso\,Temporal} \end{matrix} \right.

• Si c=\rho, se trata de una densidad espacial (número de cosas por unidad de espacio), por tanto define un proceso espacial de Poisson.
• Si c=\nu, se trata de una densidad temporal (o frecuencia, cantidad de ocurrencias por unidad de tiempo), por tanto, define un proceso temporal de Poisson.

Ejemplos prácticos donde se usa la distribución de Poisson

1. La caja de un supermercado atiende en promedio a 2 clientes cada 9 minutos. Elabore una tabla donde muestre las probabilidades de que atienda entre 1, 2, 3, y así sucesivamente, hasta 5 personas en un espacio de tiempo de 5 minutos.
2. Una clínica veterinaria tiene la capacidad para atender como máximo 12 clientes al día. Si en promedio reciben 9 clientes cada día, ¿cuál es la probabilidad de que un día cualquiera se sobrepase la capacidad de atención de la clínica?
3. Cierta localidad tiene una densidad poblacional de 10 personas por cada 1000 metros cuadrados. ¿Cuál es la probabilidad de que en un sitio de 60 metros cuadrados encontremos menos de 15 personas?
4. Una gallina quiere cruzar la calle. Caminando en línea recta, le toma 58 segundos. Si la calle tiene un tráfico vehicular de 3 vehículos por minuto, y si un vehículo pasa mientras la gallina intenta cruzar, con toda seguridad la atropellará con resultados mortales. ¿Cuál es la probabilidad de que la gallina llegue viva al otro lado?