接下来我们将看到的是一系列练习指南（已解决），其目标是证明一些对概率理论有用的定理。尝试自己解决这些练习，然后对比你的结果 >:D

1. 证明 P(A^c) = 1 -P(A)，并且，从此推导出 P(\emptyset) = 0
   显示解决方案

   根据概率测度的定义，如果 A 和 B 是任何可测事件，则满足以下条件：

   [a]	0\leq P(A) \leq 1
   [b]	A\cap B = \emptyset \rightarrow P(A\cup B) = P(A) + P(B)
   	P(\Omega) = 1

   现在，由于 A\cap A^c = \emptyset，根据部分 [b]，我们有：

   [d]	A\cap A^c = \emptyset \rightarrow P(A\cup A^c) = P(A) + P(A^c)

   因为 A\cap A^c = \emptyset 总是成立，并且 A\cup A^c = \Omega，所以：

   1=P(\Omega) = P(A\cup A^c) = P(A) + P(A^c)

   因此

   P(A^c) = 1-P(A)

   这就是我们要证明的。

   为了证明 P(\emptyset)=0，只需在刚刚证明的关系中取 A = \Omega，我们就有：

   P(\emptyset) = P(\Omega^c) =1 - P(\Omega) = 1-1 = 0

2. a) 证明 A\subseteq B \rightarrow P(B\setminus A) = P(B) - P(A)，该等式一般成立吗？b) 证明 A\subseteq B \rightarrow P(B)\leq P(A)显示解决方案 a)

   (1)	A\subseteq B； 前提
   	\equiv A\cap B = A
   (2)	B\setminus A = B\cap A^c； 集合论定义
   (3)	B= (B\cap A) \cup (B\cap A^c)； 集合性质
   (4)	(B\cap A)\cap (B\cap A^c)=\emptyset； 集合性质
   (5)	P(B)= P[(B\cap A) \cup (B\cap A^c)]； 根据(3)
   	P(B)= P (B\cap A) + P(B\cap A^c)； 根据(4) + 概率测度定义
   	P(B)= P (B\cap A) + P(B\setminus A)； 根据(2)
   	P(B\setminus A) =P(B) - P (B\cap A)
   	{P(B\setminus A) =P(B) - P (A) }； 根据(1)

   因此 {\{A\subseteq B\}\vdash P(B\setminus A) = P(B) - P(A)}.

   请注意，这个等式不是一般成立的，因为它取决于 A\subseteq B 的成立。根据这些推导，可以看出，如果这种情况不成立，则 P(B\setminus A) = P(B) - P(A\cap B).

   显示解决方案 b)

   根据 a) 的推理，我们有：

   \{A\subseteq B\}\vdash P(B\setminus A) = P(B) - P(A)

   \equiv \{A\subseteq B\}\vdash P(A) + P(B\setminus A) = P(B)

   最后，由于 P 是概率测度，所以 \forall X (P(X)\geq 0), 因此：

   {\{A\subseteq B\}\vdash P(A) \leq P(B)}.

    

3. a) 证明 P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cup B). 请附上证明的图示。b) 使用前面的结果证明 P(A\cup B) \leq P(A) + P(B)显示解决方案 a)

   (1)	A\cup B = (A\triangle B) \cup (A\cap B)； 集合性质
   (2)	A\triangle B := (A\setminus B) \cup (B\setminus A)； 对称差定义
   (3)	(A\triangle B)\cap ( A \cap B) = \emptyset； 集合性质
   (4)	(A\setminus B)\cap (B\setminus A) = \emptyset； 集合性质
   (5)	P(A\cup B) = P[(A\triangle B) \cup (A\cap B)]； 根据(1)
   	P(A\cup B) = P(A\triangle B) + P(A\cap B)]； 根据(3)
   	P(A\cup B) = P(A\setminus B) + P(B\setminus A) + P(A\cap B)]； 根据(2,4)
   (6)	P(B\setminus A) = P(B) - P(A\cap B)； 应用练习2的结果
   (7)	P(A\setminus B) = P(A) - P(A\cap B)； 同(6)
   (8)	P(A\cup B) = P(A) - P(A\cap B) + P(B) - P(A\cap B) + P(A\cap B)； 根据(5,6,7)
   	{P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)}.

   显示解决方案 b)

   \vdash P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)； 根据a)的结果

   \equiv\; \vdash P(A\cup B) + P(A\cap B) = P(A) + P(B)

   \equiv\; \vdash {P(A\cup B) \leq P(A) + P(B)}

    

4. 如果 \{E_n\} 是一个无限事件族 ，使得 E_1\supseteq E_2 \supseteq E_3 \supseteq \cdots \supseteq E_n \supseteq E_{n+1}\supseteq \cdots. 证明如下命题：

   \displaystyle P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to \infty}P(E_n) 显示解决方案

   (1)	E_n \supseteq E_{n+1}； 假设
   (2)	E_n^c \subseteq E_{n+1}^c； 根据(1)的补集
   (3)	\displaystyle(E_n^c \subseteq E_{n+1}^c) \rightarrow P\left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n^c \right)= \lim_{n\to\infty}P(E_n^c)； 连续性性质
   (4)	\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty E_n^c = \left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right)^c； 德摩根律
   (5)	P\left(E_n^c\right) = 1 - P(E_n)； 在练习1中证明
   (6)	\displaystyle P\left(\left[ \bigcap_{n=1}^\infty E_n\right]^c \right) = \lim_{n\to\infty}[1-P(E_n)] = 1 - \lim_{n\to\infty}P(E_n)； 根据(2,4,5)应用于(3)
   	\displaystyle 1 - P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = 1 - \lim_{n\to\infty}P(E_n)
   	{\displaystyle P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n)}

   \displaystyle\therefore\{E_n \supseteq E_{n+1}\}\vdash P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n).