Производная как предел функции
Резюме: На этом уроке мы изучим концепцию производной как математического инструмента для анализа изменений функций. Мы начнем с наклона секущей линии, а затем, вычисляя предел при сближении точек, определим производную как наклон касательной линии. Кроме того, мы рассмотрим её ключевые свойства и правила, такие как правила суммы, произведения и частного, которые являются основой для применения производных при анализе функций и явлений изменений.
Цели обучения
К концу этого урока студенты смогут:
- Понять производную как предел, описывающий мгновенные изменения функции, и как наклон касательной к кривой в точке.
- Объяснить, как дифференцируемость предполагает непрерывность функции.
- Доказать основные правила дифференцирования, исходя из формального определения.
- Применять свойства алгебры производных (сумма, произведение и частное) к математическим задачам.
Содержание:
Концепция производной
Наклон секущей линии
Переход к пределу: производная и наклон касательной
Альтернативное определение
Свойства производных
Дифференцируемость предполагает непрерывность
Алгебра производных
Концепция производной
Природа, как правило, подвержена изменениям, и главным математическим инструментом для вычисления и понимания этих изменений является производная. Она возникает из вопроса: «Что произойдет со значением функции f(x), если переменную x изменить на сколь угодно малую величину \Delta x?» Концепция производной появляется как предел функции, анализирующей этот вопрос.
Наклон секущей линии
Рассмотрим функцию f(x), вычисленную в двух точках x_0 и x_0 + \Delta x. Любая линия, пересекающая кривую в двух точках, называется «секущей линией» и выглядит так, как показано на рисунке ниже.
Наклон этой секущей линии задаётся формулой:
\dfrac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
Переход к пределу: производная и наклон касательной
Если мы рассмотрим секущую линию к кривой y=f(x), проходящую через точки x_0 и x_0 + \Delta x, а затем вычислим предел, при котором \Delta x стремится к нулю, мы получим касательную линию, проходящую через точку (x_0, f(x_0)).
Из этого формальное определение производной функции f(x) в точке x_0 выглядит так:
\displaystyle \dfrac{df(x_0)}{dx}:= \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
Это также представляет собой наклон касательной, проходящей через точку x_0.
Альтернативное определение
Альтернативный способ определения производной как предела можно получить с помощью следующей замены:
\begin{array}{rl} x_i &= x_0\\ x_f &= x_i + \Delta x \end{array}
Таким образом, \Delta x = x_f - x_i, и определение производной становится:
\begin{array}{rl} \displaystyle \dfrac{df(x_i)}{dx} &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{ f(x_i + \Delta x) - f(x_i)}{\Delta x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x_f - x_i \to 0} \dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x_f \to x_i } \dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i} \end{array}
Оба определения эквивалентны и могут использоваться взаимозаменяемо в зависимости от удобства.
Свойства производных
Говорят, что функция дифференцируема в точке x_0, если существует следующий предел:
\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
Мы также говорим, что функция дифференцируема на множестве I, если предел хорошо определён для всех x_0 \in I. Дифференцируемые функции обладают следующими свойствами:
Дифференцируемость предполагает непрерывность
Если функция дифференцируема в x_0, то она непрерывна в x_0. Это можно доказать следующим образом:
Для того чтобы f(x) была непрерывна в x_0, необходимо, чтобы выполнялось:
\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)
Рассмотрим левую часть этого выражения:
\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[ f(x) + f(x_0) - f(x_0) \right] \\ \\ &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[f(x_0) + \left( f(x) - f(x_0) \right) \right] \\ \\ &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[f(x_0) + \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right)(x-x_0) \right] \\ \\ &=f(x_0) +\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[ \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right)(x-x_0) \right] \end{array}
Следовательно, для того чтобы f(x) была непрерывна в x_0, предел справа должен быть определён. Это происходит тогда и только тогда, когда:
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = \dfrac{df(x_0)}{dx}
Другими словами, если f(x) дифференцируема в x_0. Следовательно, дифференцируемость предполагает непрерывность.
Алгебра производных
Пусть f и g — дифференцируемые функции для всех x \in I, а \alpha, \beta \in \mathbb{R}. Тогда выполняются следующие свойства:
- \dfrac{d}{dx} \left( \alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) = \alpha \dfrac{df(x)}{dx} \pm \beta\dfrac{dg(x)}{dx}
- \dfrac{d}{dx} \left( f(x) g(x) \right) = \dfrac{df(x)}{dx} g(x) + f(x)\dfrac{dg(x)}{dx}
- Если g(x) \neq 0, то \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \dfrac{dg(x)}{dx} }{\left[g(x)\right]^2}
Как видно, алгебра производных не так интуитивно понятна, как может показаться на первый взгляд. Однако, эти свойства можно легко вывести из определения производной как предела.
Доказательство:
Доказательство правила суммы выглядит так:
\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left(\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) & =\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\left[\alpha f(x+\Delta x) \pm \beta g(x+ \Delta x)\right] - \left[\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \left[\alpha f(x+\Delta x) - \alpha f(x)\right] \pm \left[\beta g(x+\Delta x) - \beta g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \alpha \left[ f(x+\Delta x) - f(x)\right] \pm \beta \left[ g(x+\Delta x) - g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \alpha \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \pm \beta \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \alpha \dfrac{df(x)}{dx} \pm \beta \dfrac{dg(x)}{dx} \end{array}
Доказательство правила произведения немного сложнее:
\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right] &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) g(x+\Delta x) - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) g(x+\Delta x) + \color{red}f(x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x+\Delta x) \color{black} - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\left[f(x+\Delta x) - f(x) \right] g(x+\Delta x) + f(x) \left[g(x+\Delta x) - g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x) \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ \\ &= g(x) \dfrac{df(x)}{dx} + f(x)\dfrac{dg(x)}{dx} \end{array}
Здесь использовалось, что функция g, будучи дифференцируемой, также является непрерывной, то есть \lim_{\Delta x\to 0 } g(x+\Delta x) = g(x).
Наконец, доказательство правила частного можно получить, воспользовавшись правилом произведения. Пусть функция имеет вид k(x) = f(x)/g(x), где g(x) \neq 0. Тогда:
\dfrac{df(x)}{dx}= \dfrac{d}{dx}(k(x)g(x)) = \dfrac{dk(x)}{dx}g(x) + k(x)\dfrac{dg(x)}{dx}
Решая для \dfrac{dk(x)}{dx}, получаем:
\dfrac{dk(x)}{dx}g(x) = \dfrac{df(x)}{dx} - k(x)\dfrac{dg(x)}{dx} = \dfrac{d}{dx}f(x) - \dfrac{f(x)}{g(x)}\dfrac{dg(x)}{dx}
Следовательно:
\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) &= \dfrac{dk(x)}{dx} =\dfrac{1}{g(x)} \dfrac{df(x)}{dx} - \dfrac{f(x)}{\left[g(x)\right]^2}\dfrac{dg(x)}{dx} \\ \\ & = \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \dfrac{dg(x)}{dx}}{[g(x)]^2} \end{array}
Это то, что и требовалось доказать.