Что мы увидим далее — это руководство по упражнениям (с решениями), целью которого является доказательство некоторых полезных теорем для теории вероятностей. Попробуйте решить их самостоятельно, а затем сравните свои результаты >:D

1. Докажите, что P(A^c) = 1 -P(A) и, на основании этого сделайте вывод, который позволяет аргументировать, что P(\emptyset) = 0
   ПОКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

   Из определения меры вероятности следует, что, если A и B являются любыми измеримыми событиями, то будет выполняться

   [a]	0\leq P(A) \leq 1
   [b]	A\cap B = \emptyset \rightarrow P(A\cup B) = P(A) + P(B)
   	P(\Omega) = 1

   Теперь, так как A\cap A^c = \emptyset, из части [b], получим:

   [d]	A\cap A^c = \emptyset \rightarrow P(A\cup A^c) = P(A) + P(A^c)

   Поскольку A\cap A^c = \emptyset всегда истинно и A\cup A^c = \Omega, то имеем:

   1=P(\Omega) = P(A\cup A^c) = P(A) + P(A^c)

   И, следовательно:

   P(A^c) = 1-P(A)

   Что и требовалось доказать.

   Чтобы доказать, что P(\emptyset)=0, достаточно взять A=\Omega в только что доказанном отношении и получим:

   P(\emptyset) = P(\Omega^c) =1 - P(\Omega) = 1-1 = 0

2. a) Докажите, что A\subseteq B \rightarrow P(B\setminus A) = P(B) - P(A), верно ли это равенство в общем случае?b) Докажите, что A\subseteq B \rightarrow P(B)\leq P(A)ПОКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ a)

   (1)	A\subseteq B; Премисса
   	\equiv A\cap B = A
   (2)	B\setminus A = B\cap A^c; Определение теории множеств
   (3)	B= (B\cap A) \cup (B\cap A^c); Свойство множеств
   (4)	(B\cap A)\cap (B\cap A^c)=\emptyset; Свойство множеств
   (5)	P(B)= P[(B\cap A) \cup (B\cap A^c)]; Из (3)
   	P(B)= P (B\cap A) + P(B\cap A^c); Из (4) + Определение меры вероятности
   	P(B)= P (B\cap A) + P(B\setminus A); Из (2)
   	P(B\setminus A) =P(B) - P (B\cap A)
   	{P(B\setminus A) =P(B) - P (A) }; Из (1)

   Таким образом, {\{A\subseteq B\}\vdash P(B\setminus A) = P(B) - P(A)}.

   Заметим, что это равенство не верно в общем случае, так как оно зависит от выполнения условия A\subseteq B. Из этих рассуждений видно, что если это условие не выполняется, то будет P(B\setminus A) = P(B) - P(A\cap B).

   ПОКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ b)

   На основании рассуждений в части a) имеем:

   \{A\subseteq B\}\vdash P(B\setminus A) = P(B) - P(A)

   \equiv \{A\subseteq B\}\vdash P(A) + P(B\setminus A) = P(B)

   Наконец, так как P является мерой вероятности, то \forall X (P(X)\geq 0), и, следовательно:

   {\{A\subseteq B\}\vdash P(A) \leq P(B)}.

    

3. a) Докажите, что P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cup B). Сопроводите доказательство диаграммой.b) Используя предыдущий результат, докажите, что P(A\cup B) \leq P(A) + P(B)ПОКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ ЧАСТЬ a)

   (1)	A\cup B = (A\triangle B) \cup (A\cap B); Свойство множеств
   (2)	A\triangle B := (A\setminus B) \cup (B\setminus A); Определение симметричной разности
   (3)	(A\triangle B)\cap ( A \cap B) = \emptyset; Свойство множеств
   (4)	(A\setminus B)\cap (B\setminus A) = \emptyset; Свойство множеств
   (5)	P(A\cup B) = P[(A\triangle B) \cup (A\cap B)]; Из (1)
   	P(A\cup B) = P(A\triangle B) + P(A\cap B)]; Из (3)
   	P(A\cup B) = P(A\setminus B) + P(B\setminus A) + P(A\cap B)]; Из (2,4)
   (6)	P(B\setminus A) = P(B) - P(A\cap B); Применение результата из упражнения 2
   (7)	P(A\setminus B) = P(A) - P(A\cap B); То же самое, что (6)
   (8)	P(A\cup B) = P(A) - P(A\cap B) + P(B) - P(A\cap B) + P(A\cap B); Из (5,6,7)
   	{P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)}.

   ПОКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ ЧАСТЬ b)

   \vdash P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B); результат части a)

   \equiv\; \vdash P(A\cup B) + P(A\cap B) = P(A) + P(B)

   \equiv\; \vdash {P(A\cup B) \leq P(A) + P(B)}

    

4. Если \{E_n\} — это бесконечное семейство событий таких, что E_1\supseteq E_2 \supseteq E_2 \supseteq \cdots \supseteq E_n \supseteq E_{n+1}\supseteq \cdots. Докажите, что выполняется:

   \displaystyle P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to \infty}P(E_n) ПОКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

   (1)	E_n \supseteq E_{n+1}; Гипотеза
   (2)	E_n^c \subseteq E_{n+1}^c; По дополнению из (1)
   (3)	\displaystyle(E_n^c \subseteq E_{n+1}^c) \rightarrow P\left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n^c \right)= \lim_{n\to\infty}P(E_n^c); Свойство непрерывности
   (4)	\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty E_n^c = \left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right)^c; Законы ДеМоргана
   (5)	P\left(E_n^c\right) = 1 - P(E_n); Доказано в упражнении 1
   (6)	\displaystyle P\left(\left[ \bigcap_{n=1}^\infty E_n\right]^c \right) = \lim_{n\to\infty}[1-P(E_n)] = 1 - \lim_{n\to\infty}P(E_n); из (2,4,5) применено к (3)
   	\displaystyle 1 - P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = 1 - \lim_{n\to\infty}P(E_n)
   	{\displaystyle P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n)}

   \displaystyle\therefore\{E_n \supseteq E_{n+1}\}\vdash P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n).