O que veremos a seguir é um guia de exercícios (resolvidos) onde o objetivo é demonstrar alguns teoremas úteis para a teoria das probabilidades. Tente resolver e depois compare seus resultados >:D

1. Demonstre que P(A^c) = 1 -P(A) e, a partir disso, faça uma dedução que permita argumentar que P(\emptyset) = 0
   MOSTRAR SOLUÇÃO

   Da definição de medida de probabilidade tem-se que, se A e B são eventos mensuráveis quaisquer, então será cumprido que

   [a]	0\leq P(A) \leq 1
   [b]	A\cap B = \emptyset \rightarrow P(A\cup B) = P(A) + P(B)
   	P(\Omega) = 1

   Agora, como A\cap A^c = \emptyset, da parte [b], tem-se que:

   [d]	A\cap A^c = \emptyset \rightarrow P(A\cup A^c) = P(A) + P(A^c)

   Como A\cap A^c = \emptyset sempre é verdade e A\cup A^c = \Omega, então tem-se que

   1=P(\Omega) = P(A\cup A^c) = P(A) + P(A^c)

   E, portanto

   P(A^c) = 1-P(A)

   Que é o que se queria demonstrar.

   Para demonstrar que P(\emptyset)=0, basta tomar A=\Omega na relação que acabou de ser provada e tem-se que

   P(\emptyset) = P(\Omega^c) =1 - P(\Omega) = 1-1 = 0

2. a) Demonstre que A\subseteq B \rightarrow P(B\setminus A) = P(B) - P(A), a igualdade é verdadeira em geral?b) Demonstre que A\subseteq B \rightarrow P(B)\leq P(A)MOSTRAR SOLUÇÃO a)

   (1)	A\subseteq B; Premissa
   	\equiv A\cap B = A
   (2)	B\setminus A = B\cap A^c; Definição de Teor. de Conjuntos
   (3)	B= (B\cap A) \cup (B\cap A^c); Propriedade dos conjuntos
   (4)	(B\cap A)\cap (B\cap A^c)=\emptyset; Propriedade dos conjuntos
   (5)	P(B)= P[(B\cap A) \cup (B\cap A^c)]; De (3)
   	P(B)= P (B\cap A) + P(B\cap A^c); De (4) + Def, Medida de Probabilidade
   	P(B)= P (B\cap A) + P(B\setminus A); De (2)
   	P(B\setminus A) =P(B) - P (B\cap A)
   	{P(B\setminus A) =P(B) - P (A) }; De (1)

   Portanto {\{A\subseteq B\}\vdash P(B\setminus A) = P(B) - P(A)}.

   Note que esta igualdade não é verdadeira em geral, pois depende de A\subseteq B para ser obtida. Destes desenvolvimentos pode-se ver que, se tal coisa não for cumprida, então terá que P(B\setminus A) = P(B) - P(A\cap B).

   MOSTRAR SOLUÇÃO b)

   A partir do raciocínio em a) tem-se que:

   \{A\subseteq B\}\vdash P(B\setminus A) = P(B) - P(A)

   \equiv \{A\subseteq B\}\vdash P(A) + P(B\setminus A) = P(B)

   Finalmente, como P é uma medida de probabilidade, tem-se que \forall X (P(X)\geq 0), de modo que, portanto:

   {\{A\subseteq B\}\vdash P(A) \leq P(B)}.

    

3. a) Demonstre que P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cup B). Acompanhe a demonstração com um diagrama.b) Usando o resultado anterior, demonstre que P(A\cup B) \leq P(A) + P(B)MOSTRAR SOLUÇÃO PARTE a)

   (1)	A\cup B = (A\triangle B) \cup (A\cap B); Propriedade dos conjuntos
   (2)	A\triangle B := (A\setminus B) \cup (B\setminus A); Definição de diferença simétrica
   (3)	(A\triangle B)\cap ( A \cap B) = \emptyset; propriedade dos conjuntos
   (4)	(A\setminus B)\cap (B\setminus A) = \emptyset; propriedade dos conjuntos
   (5)	P(A\cup B) = P[(A\triangle B) \cup (A\cap B)]; De (1)
   	P(A\cup B) = P(A\triangle B) + P(A\cap B)]; De (3)
   	P(A\cup B) = P(A\setminus B) + P(B\setminus A) + P(A\cap B)]; De (2,4)
   (6)	P(B\setminus A) = P(B) - P(A\cap B); Aplicando resultado do exercício 2
   (7)	P(A\setminus B) = P(A) - P(A\cap B); O mesmo que (6)
   (8)	P(A\cup B) = P(A) - P(A\cap B) + P(B) - P(A\cap B) + P(A\cap B); de(5,6,7)
   	{P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)}.

   MOSTRAR SOLUÇÃO PARTE b)

   \vdash P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B); resultado da parte a)

   \equiv\; \vdash P(A\cup B) + P(A\cap B) = P(A) + P(B)

   \equiv\; \vdash {P(A\cup B) \leq P(A) + P(B)}

    

4. Se \{E_n\} é uma família infinita de eventos tais que E_1\supseteq E_2 \supseteq E_2 \supseteq \cdots \supseteq E_n \supseteq E_{n+1}\supseteq \cdots. Demonstre que é cumprido

   \displaystyle P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to \infty}P(E_n) MOSTRAR SOLUÇÃO

   (1)	E_n \supseteq E_{n+1}; Hipótese
   (2)	E_n^c \subseteq E_{n+1}^c; Por complementação desde (1)
   (3)	\displaystyle(E_n^c \subseteq E_{n+1}^c) \rightarrow P\left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n^c \right)= \lim_{n\to\infty}P(E_n^c); Propriedade de Continuidade
   (4)	\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty E_n^c = \left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right)^c; Leis de DeMorgan
   (5)	P\left(E_n^c\right) = 1 - P(E_n); Demonstrado no exercício 1
   (6)	\displaystyle P\left(\left[ \bigcap_{n=1}^\infty E_n\right]^c \right) = \lim_{n\to\infty}[1-P(E_n)] = 1 - \lim_{n\to\infty}P(E_n); de (2,4,5) aplicado sobre (3)
   	\displaystyle 1 - P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = 1 - \lim_{n\to\infty}P(E_n)
   	{\displaystyle P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n)}

   \displaystyle\therefore\{E_n \supseteq E_{n+1}\}\vdash P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n).