A Derivada como o Limite de uma Função

Resumo: Nesta aula, exploraremos o conceito de derivada como a ferramenta matemática para analisar mudanças em funções. Partiremos da inclinação de uma reta secante e, ao calcular o limite conforme os pontos se aproximam, definiremos a derivada como a inclinação da reta tangente. Além disso, estudaremos suas propriedades principais e regras, como as de soma, produto e quociente, fundamentais para aplicar derivadas na análise de funções e fenômenos de mudança.

Objetivos de Aprendizagem

Ao final desta aula, os alunos serão capazes de:

1. Compreender a derivada como o limite que descreve a mudança instantânea em uma função e como a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto.
2. Explicar como a diferenciabilidade implica continuidade em funções.
3. Demonstrar as regras básicas de diferenciação a partir da definição formal.
4. Aplicar as propriedades da álgebra das derivadas (soma, produto e quociente) em problemas matemáticos.

ÍNDICE DE CONTEÚDOS:

O conceito de derivada
A inclinação da reta secante
Cálculo do limite: A derivada e a inclinação da reta tangente
Definição alternativa
Propriedades das Derivadas
Diferenciabilidade implica continuidade
Álgebra das derivadas

O Conceito de Derivada

A natureza é, em geral, sujeita a mudanças, e a ferramenta matemática por excelência para calcular e compreender essas mudanças é a derivada. Ela surge ao perguntar: “O que acontece com o valor de uma função f(x) quando a variável x é aumentada ou diminuída por uma quantidade arbitrariamente pequena \Delta x?” O conceito de derivada emerge como o limite de uma função ao analisar essa questão.

A Inclinação da Reta Secante

Considere uma função f(x) avaliada em dois pontos x_0 e x_0 + \Delta x. Qualquer reta que corta dois pontos de uma curva é chamada de “reta secante” e se parece com o que aparece na figura abaixo.

A inclinação desta reta secante é dada por:

\dfrac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

Cálculo do Limite: A Derivada e a Inclinação da Reta Tangente

Considere a reta secante da curva y=f(x) que passa pelos pontos x_0 e x_0 + \Delta x. Ao calcular o limite quando \Delta x tende a zero, obtemos a reta tangente à curva que passa por (x_0, f(x_0)).

A partir disso, a definição formal da derivada de uma função f(x) em um ponto x_0 é dada como:

\displaystyle \dfrac{df(x_0)}{dx}:= \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

Essa definição representa a inclinação da reta tangente que passa por x_0.

Definição Alternativa

Uma forma alternativa de apresentar a definição de derivada como limite é obtida a partir da seguinte substituição:

\begin{array}{rl} x_i &= x_0\\ x_f &= x_i + \Delta x \end{array}

Assim, \Delta x = x_f - x_i, e a definição de derivada fica:

\begin{array}{rl} \displaystyle \dfrac{df(x_i)}{dx} &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{ f(x_i + \Delta x) - f(x_i)}{\Delta x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x_f - x_i \to 0} \dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x_f \to x_i } \dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i} \end{array}

Ambas as definições são equivalentes e podem ser usadas de forma intercambiável, dependendo da conveniência.

Propriedades das Derivadas

Dizemos que uma função é diferenciável em x_0 quando existe o seguinte limite:

\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

Além disso, dizemos que é diferenciável em um conjunto I se o limite está bem definido para todos os x_0 \in I. Funções diferenciáveis possuem as seguintes propriedades:

Diferenciabilidade Implica Continuidade

Se uma função é diferenciável em x_0, então é contínua em x_0. Isso pode ser demonstrado através do seguinte argumento:

Para que f(x) seja contínua em x_0, é necessário que:

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)

Analisando o lado esquerdo desta expressão, temos:

\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[ f(x) + f(x_0) - f(x_0) \right] \\ \\ &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[f(x_0) + \left( f(x) - f(x_0) \right) \right] \\ \\ &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[f(x_0) + \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right)(x-x_0) \right] \\ \\ &=f(x_0) +\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[ \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right)(x-x_0) \right] \end{array}

Portanto, para que f(x) seja contínua em x_0, é necessário que o limite do lado direito esteja bem definido. Isso ocorre se, e somente se:

\displaystyle \lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = \dfrac{df(x_0)}{dx}

Em outras palavras, se f(x) é diferenciável em x_0. Consequentemente, se f(x) é diferenciável em x_0, então é contínua nesse ponto.

Álgebra das Derivadas

Sejam f e g funções diferenciáveis para todo x \in I, e sejam \alpha, \beta \in \mathbb{R}. Então, temos:

1. \dfrac{d}{dx} \left( \alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) = \alpha \dfrac{df(x)}{dx} \pm \beta\dfrac{dg(x)}{dx}
2. \dfrac{d}{dx} \left( f(x) g(x) \right) = \dfrac{df(x)}{dx} g(x) + f(x)\dfrac{dg(x)}{dx}
3. Se g(x) \neq 0, então \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \dfrac{dg(x)}{dx} }{\left[g(x)\right]^2}

Como podemos observar, a álgebra das derivadas não é tão intuitiva quanto pode parecer à primeira vista. Entretanto, essas propriedades podem ser demonstradas sem muita dificuldade a partir da definição de derivada como limite.

DEMONSTRAÇÃO:

A demonstração da derivada da soma segue o seguinte raciocínio:

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left(\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) & =\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\left[\alpha f(x+\Delta x) \pm \beta g(x+ \Delta x)\right] - \left[\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \left[\alpha f(x+\Delta x) - \alpha f(x)\right] \pm \left[\beta g(x+\Delta x) - \beta g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \alpha \left[ f(x+\Delta x) - f(x)\right] \pm \beta \left[ g(x+\Delta x) - g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \alpha \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \pm \beta \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \alpha \dfrac{df(x)}{dx} \pm \beta \dfrac{dg(x)}{dx} \end{array}

Por outro lado, a demonstração da derivada do produto é um pouco mais elaborada:

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right] &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) g(x+\Delta x) - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) g(x+\Delta x) + \color{red}f(x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x+\Delta x) \color{black} - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\left[f(x+\Delta x) - f(x) \right] g(x+\Delta x) + f(x) \left[g(x+\Delta x) - g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x) \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ \\ &= g(x) \dfrac{df(x)}{dx} + f(x)\dfrac{dg(x)}{dx} \end{array}

Isso se baseia no fato de que, como g é diferenciável, ela é contínua. Assim, \lim_{\Delta x\to 0 } g(x+\Delta x) = g(x).

Finalmente, para a demonstração da derivada do quociente, podemos aproveitar o resultado da derivada do produto. Considere uma função da forma k(x) = f(x)/g(x), com g(x) \neq 0. A partir disso, temos:

\dfrac{df(x)}{dx}= \dfrac{d}{dx}(k(x)g(x)) = \dfrac{dk(x)}{dx}g(x) + k(x)\dfrac{dg(x)}{dx}

Resolvendo para \dfrac{dk(x)}{dx}, obtemos:

\dfrac{dk(x)}{dx}g(x) = \dfrac{df(x)}{dx} - k(x)\dfrac{dg(x)}{dx} = \dfrac{d}{dx}f(x) - \dfrac{f(x)}{g(x)}\dfrac{dg(x)}{dx}

Portanto:

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) &= \dfrac{dk(x)}{dx} =\dfrac{1}{g(x)} \dfrac{df(x)}{dx} - \dfrac{f(x)}{\left[g(x)\right]^2}\dfrac{dg(x)}{dx} \\ \\ & = \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \dfrac{dg(x)}{dx}}{[g(x)]^2} \end{array}

Isso conclui a demonstração que buscávamos.