先に標本空間について確認した際、これらが離散的か連続的の二種類に分類できることを見た。また、離散確率分布がどのように構成されるかも確認した。ここでは連続確率分布を扱う。

連続確率分布とは何か

確率変数 X が連続確率分布を持つとは、ある関数 f_X : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+, が存在し、それを X の密度 と呼び、次が成立する場合をいう：\forall A \subseteq \mathbb{R}

P(X\in A) = \displaystyle \int_A f_X(x)dx

特に、A=]a,b] を取ると次のようになる。

P(a\lt X \leq b) = \displaystyle \int_a^b f_X(x)dx

さらに a=-\infty の場合

F_X(x) = P( X \leq x) = \displaystyle \int_{-\infty}^x f_X(t)dt

また、確率分布の性質(c)から次が成り立つ。

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)dt = 1

この最後の式に対して微積分の基本定理を適用すると、連続分布の場合、F_X(x) は全ての x において連続であり、その導関数は f_X(x) である。ただし f_X(x) が連続な点において成り立つ。F_X(x) の連続性および性質(d)（こちらを参照）から次が導かれる：

P(x=X)=0

したがって

P(x\leq X)= P(x\lt X)

任意の関数 f が f\geq 0 を満たし、かつ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1 を満たすとき、それは密度と呼ばれる。

最もよく知られている5つの連続確率分布

指数分布

指数分布関数 パラメータ \alpha \gt 0 を持つものは、次の形をした分布関数 F である。

F(t) = \left\{\begin{array}{lll} 1 - e^{-t/\alpha} & ; & t\geq 0 \\ \\ 0 & ; & t\lt 0 \end{array}\right.

したがって、その密度関数は次の形となる。

\displaystyle f(t) = \left\{\begin{array}{lll} \frac{1}{\alpha}e^{-t/\alpha} & ; & t\geq 0 \\ \\ 0 & ; & t\lt 0 \end{array}\right.

確率変数がパラメータ \alpha の指数分布に従うとき、X\sim Ex(\alpha) と書く。

ポアソン分布の文脈では、放射性試料が平均放出率 c で粒子を放出する場合、最初の粒子を放出する時刻 T はパラメータ 1/c の指数分布に従う。言い換えれば、T\sim Ex(1/c) であり、その結果次が成立する：

P(T\geq t)= e^{-ct}

一様矩形分布

一様矩形分布 区間 [a,b] 上においては、次の密度関数で定義される。

f(x) = \left\{\begin{array}{lll} \displaystyle\frac{1}{b-a} & ; & x\in[a,b] \\ \\ 0 & ; & E.O.C. \end{array}\right.

区間 [a,b] の端に境界を持つレールに小さな球を落とし、それが端で弾性的に跳ね返ると仮定する。このとき、摩擦の影響で停止した位置に対応する確率変数 X は一様矩形分布に従い、X\sim Un(a,b) と表される。

正規分布（ガウス分布）

連続確率分布の中で、正規分布は実際に最も広く利用されるものの一つである。

標準正規分布

標準正規密度は次の関数で定義される

\displaystyle \phi_{0,1}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}

定義から明らかなように \phi\gt 0 である。したがって、これが確率密度であることは、次を確認することで確かめられる。

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{0,1}(x)dx

この最後の等式は、I^2 の値を計算することで示される。ただし I =\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(x)dx=1 である。実際、次のようになる：

\begin{array}{rl} I^2 & = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} dx \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}dx \\ \\ & = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} dx \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/2} dy \\ \\ & = \displaystyle \frac{1}{{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} dxdy \\ \\ \end{array}

ところが次のようになる：

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} dxdy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{+\infty} e^{-r^2/2} rdr d\theta = 2\pi

したがって I^2 = 1 であり、I=\int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{0,1}(x)dx = 1 となる。

標準正規密度から標準正規分布が定義される：\Phi_{0,1}(x) = \int_{-\infty}^x\phi_{0,1}(t)dt。確率変数 X が標準正規分布に従うとき、X\sim N(0,1) と書く。分布 \Phi_{0,1}(x) は明示的に計算することはできないが、近似値を迅速に得られる表が存在する。

パラメータ \mu と \sigma を持つ正規分布

標準正規分布の密度 \phi_{0,1} から、パラメータ \mu と \sigma を持つ正規分布の密度を構築することができる。ここで \mu\in\mathbb{R} および \sigma\gt 0 はそれぞれ平均と標準偏差である。これらのパラメータを持つ正規分布の密度は次のように書ける：

\displaystyle\phi_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma}\phi_{0,1}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)

したがって、パラメータ \mu と \sigma を持つ正規分布 \Phi_{\mu,\sigma}(x) は次の形となる：

\displaystyle \Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^x\frac{1}{\sigma}\phi_{0,1}\left(\frac{t-\mu}{\sigma} \right)dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt

確率変数 X がパラメータ \mu, \sigma の正規分布に従うとき、X\sim N(\mu, \sigma) と書く。

ワイブル分布

ワイブル分布 パラメータ \alpha,\beta \gt 0 を持つ場合、その分布関数は次の形となる。

F(t) = \left\{\begin{array}{llr} \left(1 - e^{-t/\alpha} \right)^\beta &;& t\geq 0 \\ \\ 0 &;& t\lt 0 \end{array}\right.

確率変数 X がパラメータ \alpha, \beta のワイブル分布に従うとき、X\sim We(\alpha,\beta) と書く。ワイブル分布は指数分布の一般化であり、We(\alpha,1) = Ex(\alpha) となることに注意されたい。

ガンマ分布

ガンマ分布 パラメータ \beta,\alpha を持つ場合、その密度関数は次の形となる。

f(t) = \left\{\begin{array}{llr} \displaystyle \frac{1}{\alpha \Gamma(\beta)}\left(\frac{t}{\alpha} \right)^{\beta-1}e^{-t/\alpha} &;& t\geq 0 \\ \\ 0 &;& t\lt 0 \end{array}\right.

ここで \Gamma(s) = \displaystyle \int_0^{+\infty}u^{s-1}e^{-u}du は「ガンマ関数」として知られている。

ガンマ関数の最も注目すべき性質の一つは、自然数の階乗を実数（さらには複素数）に一般化できる点である。部分積分を用いることで \Gamma(s+1) = s\Gamma(s) を確認するのは難しくない。さらに、\Gamma(1)=1 であるため、次が成り立つ：

\left(\forall n\in\mathbb{N}\right)\left(\Gamma(n) = (n-1)! \right)

確率変数 X がパラメータ \beta, \alpha のガンマ分布に従うとき、X\sim Ga(\alpha,\beta) と書く。ガンマ分布は指数分布のもう一つの一般化であり、Ga(\alpha,1) = Ex(\alpha) となることに注意されたい。

頻度 c を持つポアソン過程（例えば放射性崩壊）において、T を m 番目の事象が発生する時刻を表す確率変数とすると、t\geq 0 および時間区間 [0,t] における事象数 N に対して t\lt T \leftrightarrow N\lt m が成立する。そして N\sim Po(ct) であることから、次のようになる：

1-F_T(t) = P(T\gt t) = \displaystyle \sum_{k=0}^{m-1}Po(k; ct)=e^{-ct}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{(ct)^k}{k!}

したがって、これを微分すると密度関数は次のようになる：

\displaystyle f(t) = ce^{-ct}\frac{(ct)^{m-1}}{(m-1)!}

したがって T\sim Ga(1/c, m) となる。

演習

1. \displaystyle f(x) = \frac{c}{x^2+1} が確率密度となるような定数 c を求め、対応する分布関数（コーシー分布）を計算せよ。
2. Un(a.b), の密度関数から、その対応する分布関数を求めよ。
3. 関数 \Phi_{\mu,\sigma}(x) が確率分布関数であることを証明せよ。