Als wir die Ergebnisräume betrachteten, stellten wir fest, dass diese zweierlei Art sein können: diskret oder stetig. Wir haben auch untersucht, was eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ausmacht. Nun ist es an der Zeit, die stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu behandeln.

Was sind stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen?

Wir sagen, dass eine Zufallsvariable X eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzt, wenn es eine Funktion f_X : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+, gibt, die wir Dichte von X nennen, so dass für \forall A \subseteq \mathbb{R} die Gleichung gilt

P(X\in A) = \displaystyle \int_A f_X(x)dx

Insbesondere, wenn wir A=]a,b] nehmen, gilt

P(a\lt X \leq b) = \displaystyle \int_a^b f_X(x)dx

und wenn a=-\infty

F_X(x) = P( X \leq x) = \displaystyle \int_{-\infty}^x f_X(t)dt

Außerdem ergibt sich aus der Eigenschaft (c) der Wahrscheinlichkeitsverteilungen, dass

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)dt = 1

Wendet man den Fundamentalsatz der Analysis auf diesen letzten Ausdruck an, so ergibt sich, dass für eine stetige Verteilung F_X(x) für alle x stetig ist und ihre Ableitung f_X(x) für alle Werte x ist, bei denen f_X(x) stetig ist. Aus der Stetigkeit von F_X(x) und aus Eigenschaft (d) (siehe hier) folgt, dass:

P(x=X)=0

Und daher

P(x\leq X)= P(x\lt X)

Wenn f eine beliebige Funktion ist, die die Bedingungen f\geq 0 und \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1 erfüllt, dann sagt man, dass es sich um eine Dichte handelt.

Die 5 bekanntesten stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Exponentialverteilung

Eine Exponentialverteilungsfunktion mit Parameter \alpha \gt 0 ist eine Verteilungsfunktion F der Form.

F(t) = \left\{\begin{array}{lll} 1 - e^{-t/\alpha} & ; & t\geq 0 \\ \\ 0 & ; & t\lt 0 \end{array}\right.

Folglich ist ihre Dichtefunktion von der Form

\displaystyle f(t) = \left\{\begin{array}{lll} \frac{1}{\alpha}e^{-t/\alpha} & ; & t\geq 0 \\ \\ 0 & ; & t\lt 0 \end{array}\right.

Wenn eine Zufallsvariable exponentialverteilt mit Parameter \alpha ist, schreiben wir X\sim Ex(\alpha).

Im Kontext der Poisson-Verteilung, wenn wir eine radioaktive Probe haben, die Teilchen mit einer mittleren Emissionsrate c aussendet, dann ist der Zeitpunkt T, zu dem das erste Teilchen emittiert wird, exponentialverteilt mit Parameter 1/c. Mit anderen Worten T\sim Ex(1/c), und folglich:

P(T\geq t)= e^{-ct}

Rechteckige Gleichverteilung

Eine rechteckige Gleichverteilung über einem Intervall [a,b] ist diejenige, die durch die Dichtefunktion definiert ist

f(x) = \left\{\begin{array}{lll} \displaystyle\frac{1}{b-a} & ; & x\in[a,b] \\ \\ 0 & ; & s.w.a. \end{array}\right.

Wenn wir eine kleine Kugel auf eine Schiene mit Grenzen an den Endpunkten des Intervalls [a,b] fallen lassen und diese elastisch zurückprallt, wenn sie auf die Ränder trifft, dann ist die Zufallsvariable X, die der Endposition der Kugel aufgrund der Reibung entspricht, rechteckig gleichverteilt und wird geschrieben als X\sim Un(a,b).

Normalverteilung (Gauss’sche Verteilung)

Unter den stetigen Verteilungen ist die Normalverteilung eine der in der Praxis beliebtesten.

Standard-Normalverteilung

Die Standard-Normaldichte wird definiert durch die Funktion

\displaystyle \phi_{0,1}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}

Aufgrund ihrer Definition ist klar, dass \phi\gt 0. Daher kann man leicht überprüfen, dass es sich hierbei um eine Wahrscheinlichkeitsdichte handelt, indem man bestätigt, dass

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{0,1}(x)dx

Diese letzte Gleichung lässt sich zeigen, indem man den Wert von I^2 berechnet, wenn I =\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(x)dx=1. In der Tat gilt:

\begin{array}{rl} I^2 & = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} dx \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}dx \\ \\ & = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} dx \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/2} dy \\ \\ & = \displaystyle \frac{1}{{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} dxdy \\ \\ \end{array}

Es ergibt sich jedoch

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} dxdy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{+\infty} e^{-r^2/2} rdr d\theta = 2\pi

Daher gilt I^2 = 1, sodass I=\int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{0,1}(x)dx = 1.

Ausgehend von der Standard-Normaldichte wird die Standard-Normalverteilung definiert als \Phi_{0,1}(x) = \int_{-\infty}^x\phi_{0,1}(t)dt. Wenn eine Zufallsvariable X standardnormalverteilt ist, schreibt man X\sim N(0,1). Die Verteilung \Phi_{0,1}(x) kann nicht explizit berechnet werden, jedoch existieren Tabellen, die es ermöglichen, schnell Näherungswerte zu erhalten.

Normalverteilung mit Parametern \mu und \sigma

Ausgehend von der Dichte der Standard-Normalverteilung \phi_{0,1} ist es möglich, die Dichte für die Normalverteilung mit den Parametern \mu und \sigma zu konstruieren, wobei \mu\in\mathbb{R} und \sigma\gt 0 jeweils der Mittelwert und die Standardabweichung sind. Die Dichte der Normalverteilung mit diesen Parametern lautet folgendermaßen:

\displaystyle\phi_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma}\phi_{0,1}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)

Somit hat die Normalverteilung mit den Parametern \mu und \sigma, \Phi_{\mu,\sigma}(x), die Form

\displaystyle \Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^x\frac{1}{\sigma}\phi_{0,1}\left(\frac{t-\mu}{\sigma} \right)dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt

Wenn die Zufallsvariable X normalverteilt mit den Parametern \mu, \sigma ist, dann schreibt man X\sim N(\mu, \sigma).

Weibull-Verteilung

Die Weibull-Verteilung mit Parametern \alpha,\beta \gt 0 hat eine Verteilungsfunktion der Form

F(t) = \left\{\begin{array}{llr} \left(1 - e^{-t/\alpha} \right)^\beta &;& t\geq 0 \\ \\ 0 &;& t\lt 0 \end{array}\right.

Wenn eine Zufallsvariable X Weibull-verteilt mit Parametern \alpha, \beta ist, schreibt man X\sim We(\alpha,\beta). Die Weibull-Verteilung ist eine Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, wobei gilt We(\alpha,1) = Ex(\alpha).

Gamma-Verteilung

Die Gamma-Verteilung mit Parametern \beta,\alpha hat eine Dichtefunktion der Form

f(t) = \left\{\begin{array}{llr} \displaystyle \frac{1}{\alpha \Gamma(\beta)}\left(\frac{t}{\alpha} \right)^{\beta-1}e^{-t/\alpha} &;& t\geq 0 \\ \\ 0 &;& t\lt 0 \end{array}\right.

Dabei ist \Gamma(s) = \displaystyle \int_0^{+\infty}u^{s-1}e^{-u}du das, was als „Gamma-Funktion“ bekannt ist.

Eine der bemerkenswertesten Eigenschaften der Gamma-Funktion ist, dass sie die Fakultäten der natürlichen Zahlen auf die reellen (und sogar komplexen) Zahlen verallgemeinert. Es ist nicht schwierig zu überprüfen, dass \Gamma(s+1) = s\Gamma(s), indem man partielle Integration anwendet. Außerdem, da \Gamma(1)=1, ergibt sich

\left(\forall n\in\mathbb{N}\right)\left(\Gamma(n) = (n-1)! \right)

Wenn eine Zufallsvariable X Gamma-verteilt mit Parametern \beta, \alpha ist, schreibt man X\sim Ga(\alpha,\beta). Die Gamma-Verteilung ist eine weitere Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, wobei gilt Ga(\alpha,1) = Ex(\alpha).

In einem Poisson-Prozess mit Rate c (wie einem radioaktiven Zerfall), wenn T die Zufallsvariable ist, die den Zeitpunkt des m-ten Ereignisses darstellt; dann gilt für ein gegebenes t\geq 0 und eine Anzahl N von Ereignissen, die im Zeitintervall [0,t] auftreten, dass t\lt T \leftrightarrow N\lt m und, da N\sim Po(ct), gilt:

1-F_T(t) = P(T\gt t) = \displaystyle \sum_{k=0}^{m-1}Po(k; ct)=e^{-ct}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{(ct)^k}{k!}

Und daher, wenn wir dies ableiten, erhalten wir die Dichtefunktion

\displaystyle f(t) = ce^{-ct}\frac{(ct)^{m-1}}{(m-1)!}

Und somit gilt T\sim Ga(1/c, m).

Übungen

1. Bestimmen Sie die Konstante c, so dass \displaystyle f(x) = \frac{c}{x^2+1} eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist, und berechnen Sie die entsprechende Verteilungsfunktion (Cauchy-Verteilung).
2. Ausgehend von der Dichtefunktion der Verteilung Un(a.b), bestimmen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion.
3. Beweisen Sie, dass die Funktion \Phi_{\mu,\sigma}(x) eine Verteilungsfunktion ist.