関数の極限としての導関数

要約:
本講義では、導関数を関数の変化を分析するための数学的手段として探究する。割線の傾きから出発し、点が接近する極限を取ることで、接線の傾きとして導関数を定義する。さらに、その主要な性質と規則、すなわち和、積、商の規則を学び、関数や変化の現象の分析における導関数の応用を理解する。

学習目標
本講義を終えた後、学生は以下ができるようになる:

理解する: 導関数を、関数における瞬間的な変化を記述する極限として、またある点における曲線の接線の傾きとして捉える。
説明する: 微分可能性が関数の連続性を意味すること。
証明する: 形式的定義から導かれる基本的な微分規則。
利用する: 導関数の代数的性質（和、積、商）を数学的問題に適用する。

目次:
導関数の概念
割線の傾き
 極限への移行: 導関数と接線の傾き
 別の定義
 導関数の性質
微分可能性は連続性を意味する
 導関数の代数

導関数の概念

自然界は一般に変化にさらされやすく、その変化を計算し理解するための最も優れた数学的手段が導関数である。これは「関数 $f(x)$ の値は変数 $x$ を $\Delta x$ のように任意に小さな量だけ増減させたときにどうなるか?」という問いから生じる。導関数の概念は、この問いを分析する中で関数の極限として現れる。

割線の傾き

関数を考える $f(x)$ を2点 $x_0$ および $x_0 + \Delta x$ で評価する。曲線の2点を通るすべての直線は「割線」と呼ばれ、図に示されるように見える。

この特定の割線の傾きは次の通りである。

$\dfrac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

極限への移行: 導関数と接線の傾き

曲線に対する割線を考えると $y=f(x)$ 、これは $x_0$ と $x_0 + \Delta x$ を通る。このとき $\Delta x$ がゼロに近づく極限を取ると、得られるのは曲線上の点 $(x_0, f(x_0))$ を通る接線である。

これに基づき、点 $x_0$ における関数 $f(x)$ の導関数の形式的定義が次のように導かれる。

$\displaystyle \dfrac{df(x_0)}{dx}:= \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

これは同時に、点 $x_0$ を通る接線の傾きを表している。

別の定義

導関数を極限として定義する別の方法は、次の置換によって得られる。

$\begin{array}{rl} x_i &= x_0\\ x_f &= x_i + \Delta x \end{array}$

これにより $\Delta x = x_f - x_i$ となり、導関数の定義は次の形になる。

$\begin{array}{rl} \displaystyle \dfrac{df(x_i)}{dx} &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{ f(x_i + \Delta x) - f(x_i)}{\Delta x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x_f - x_i \to 0} \dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x_f \to x_i } \dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i} \end{array}$

両方の定義は同値であり、必要に応じて使い分けることができる。

導関数の性質

関数が $x_0$ において微分可能であるとは、次の極限が存在することである。

$\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

また、区間 $I$ のすべての $x_0\in I$ に対して極限が適切に定義されている場合、その関数は $I$ 上で微分可能であると言う。微分可能な関数には次のような性質がある。

微分可能性は連続性を意味する

もし関数が $x_0$ で微分可能であれば、それは $x_0$ で連続である。このことは次の議論によって示すことができる。

$f(x)$ が $x_0$ で連続であるためには、次が成り立つ必要がある。

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)$

この式の左辺を調べると次のようになる。

$\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[ f(x) + f(x_0) - f(x_0) \right] \\ \\ &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[f(x_0) + \left( f(x) - f(x_0) \right) \right] \\ \\ &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[f(x_0) + \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right)(x-x_0) \right] \\ \\ &=f(x_0) +\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[ \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right)(x-x_0) \right] \\ \\ \end{array}$

したがって、 $f(x)$ が $x_0$ で連続であるためには、右辺の極限が適切に定義されている必要がある。そしてそのようなことが成り立つのは、次が成り立つ場合に限る。

$\displaystyle \lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} =\dfrac{df(x_0)}{dx}$

言い換えれば、 $f(x)$ が $x_0$ で微分可能である場合である。したがって、 $f(x)$ が $x_0$ で微分可能であれば、それはその点で連続である。

導関数の代数

$f$ および $g$ を区間 $x\in I$ 上で微分可能な関数とし、 $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ とする。このとき次が成り立つ。

$\dfrac{d}{dx} \left( \alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) = \alpha \dfrac{df(x)}{dx} \pm \beta\dfrac{dg(x)}{dx}$
$\dfrac{d}{dx} \left( f(x) g(x) \right) = \dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x)\dfrac{dg(x)}{dx}$
もし $g(x)\neq 0$ ならば、 $\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \dfrac{dg(x)}{dx} }{\left[g(x)\right]^2}$

見てのとおり、導関数の代数は一見したほど直感的ではない。しかし、これらの性質の証明は、極限としての導関数の定義から比較的容易に導くことができる。

証明:

和の導関数の証明 は次の推論に従うことで得られる。

$\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left(\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) & =\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\left[\alpha f(x+\Delta x) \pm \beta g(x+ \Delta x)\right] - \left[\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \left[\alpha f(x+\Delta x) - \alpha f(x)\right] \pm \left[\beta g(x+\Delta x) - \beta g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \alpha \left[ f(x+\Delta x) - f(x)\right] \pm \beta \left[ g(x+\Delta x) - g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \alpha \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \pm \beta \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \alpha \dfrac{df(x)}{dx} \pm \beta \dfrac{dg(x)}{dx} \end{array}$

一方で、積の導関数の証明 はやや複雑であるが、それほど難しいものではない。

$\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right] &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) g(x+\Delta x) - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) g(x+\Delta x) + \color{red}f(x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x+\Delta x) \color{black} - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\left[f(x+\Delta x) - f(x) \right] g(x+\Delta x) + f(x) \left[g(x+\Delta x) - g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x) \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ \\ &= g(x) \dfrac{df(x)}{dx} + f(x)\dfrac{dg(x)}{dx} \end{array}$

ここでは、 $g$ が微分可能関数であるため、それが連続であり、したがって $\lim_{\Delta x\to 0 } g(x+\Delta x) = g(x)$ となる事実を利用し、その後極限の代数を用いて証明を結論づけている。

最後に、商の導関数の証明のために、積の導関数の結果を利用できる。関数 $k(x) = f(x)/g(x)$ を考え、ただし $g(x)\neq 0$ とする。このとき次が成り立つ。

$\dfrac{df(x)}{dx}= \dfrac{d}{dx}(k(x)g(x)) = \dfrac{dk(x)}{dx}g(x) + k(x)\dfrac{dg(x)}{dx}$

ここで $\dfrac{dk(x)}{dx}$ を解くと、次を得る。

$\dfrac{dk(x)}{dx}g(x) = \dfrac{df(x)}{dx} - k(x)\dfrac{dg(x)}{dx} = \dfrac{d}{dx}f(x) - \dfrac{f(x)}{g(x)}\dfrac{dg(x)}{dx}$

したがって次のようになる。

$\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) &= \dfrac{dk(x)}{dx} =\dfrac{1}{g(x)} \dfrac{df(x)}{dx} - \dfrac{f(x)}{\left[g(x)\right]^2}\dfrac{dg(x)}{dx} \\ \\ & = \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \dfrac{dg(x)}{dx}}{[g(x)]^2} \end{array}$

これはまさに示したかったものである。