球面界面における屈折
要約:
本講義では、球面界面における屈折を分析し、光が球面を通過するときの挙動や像の形成について説明する。像の位置や大きさを計算するための主要な方程式を提示する。さらに、レンズや見かけの深さの推定といった実用的な事例も探究する。
学習目標:
本講義を修了した学生は次のことができるようになる
- 理解する 光が球面界面を通過するときの屈折。
- 導出し 球面界面における物体像関係を利用する。
- 適用する 球面界面におけるスネルの法則。
- 決定する 球面界面によって形成される像の位置。
- 計算する 球面表面での屈折を通じた像の倍率。
- 理解する 物体および像の位置と大きさに関する符号の規約。
- 関連付ける 球面界面と平面界面を極限の場合として。
- 分析する 球面界面を通した拡張像の形成。
目次
序論
球面界面屈折における物体像関係
角度間の関係の抽出
スネルの法則の導入
球面界面の反対側における屈折による拡張像の形成
総括
平面界面を球面界面の極限として
演習
序論
すでに屈折の仕組みを学習してきた; すなわち、光がある媒質から別の媒質へ移動するときに何が起こるかということである。しかし、これまでは媒質を分ける界面が平面である場合を扱ってきた。しかしながら、自然界や実際の応用においては、球面界面での屈折過程を見つけることは難しくない。この例として、人間の目（実際にはほぼすべての動物の目）や、日常生活および産業用途で使用される光学装置の大部分が挙げられる。
次の図は、二つの球面によってレンズが形成される様子を示している。
この種の装置を詳細に研究するためには、光が球面界面を通ってある媒質から別の媒質へ移動するときにどのように振る舞うかを確認する必要がある。
球面界面屈折における物体像関係
我々の研究は次の問いから始まる 光が球面界面を通ってある媒質から別の媒質へ移動するときにどのように振る舞うのか。これを理解するために、半径 R の球体を考える。この球体は屈折率 n_b の材料でできており、屈折率 n_a の媒質に浸されている。
角度間の関係の抽出
この図に関与する角度を分析すると、次のことがわかる:
\begin{array}{rll} {(1)}& \theta_a & =\alpha + \phi \\ \\ {(2)}& \phi & =\beta + \theta_b \end{array}
証明
最初の式は、三角形の内角の和が二直角に等しいという事実から得られる:
\begin{array}{rl} & \alpha + \phi + (\pi - \theta_a) = \pi\\ \\ \equiv & \alpha + \phi - \theta_a = 0 \\ \\ \equiv & \color{blue}{\theta_a = \alpha + \phi} \end{array}
第二の式は同様にして得られる:
\begin{array}{rl} & \beta + \theta_b + (\pi - \phi) = \pi\\ \\ \equiv & \beta + \theta_b - \phi = 0\\ \\ \equiv & \color{blue}{\phi = \beta + \theta_b } \end{array}
スネルの法則の導入
図から次の式も得られる:
\begin{array}{rll} {(3)}&\tan(\alpha) &=\displaystyle \frac{h}{s+\delta}\\ \\ {(4)}&\tan(\beta) &=\displaystyle \frac{h}{s^\prime - \delta}\\ \\ {(5)}&\tan(\phi) &=\displaystyle \frac{h}{R - \delta} \end{array}
そしてスネルの法則から次の式が得られる
\begin{array}{rl} {(6)} & n_a\sin(\theta_a) = n_b \sin(\theta_b)\end{array}
ここで、\theta_a および \theta_b が小さいと仮定すると、\alpha, \beta および \phi も小さくなり、次のようになる:
図から次の近似式も得られる:
\begin{array}{rl} \sin(\theta_a) &\approx \theta_a \\ \\ \sin(\theta_b) &\approx \theta_b \\ \\ \delta &\approx 0 \\ \\ \tan(\alpha) &\approx \alpha \\ \\ \tan(\beta) &\approx \beta \\ \\ \tan(\phi) &\approx \phi \end{array}
したがって、この結果とスネルの法則から次の式が得られる:
\begin{array}{rl} {(7)} & n_a \theta_a \approx n_b \theta_b \\ \\ \equiv & \theta_b \approx \displaystyle \frac{n_a}{n_b} \theta_a \end{array}
さらに、(7)、(1) および (2) より次の式が導かれる
\begin{array}{rl} {(8)} & \phi - \beta \approx \displaystyle \frac{n_a}{n_b}(\alpha + \phi) \\ \\ \equiv & \phi \approx \beta + \displaystyle \frac{n_a}{n_b}(\alpha + \phi) \\ \\ {}\equiv & n_b\phi \approx n_b\beta + n_a \alpha + n_a\phi \\ \\ \equiv & \color{blue}{n_a \alpha + n_b\beta \approx (n_b - n_a) \phi } \end{array}
最後に、(8)、近似式および (3)、(4)、(5) の式から次が得られる:
\begin{array}{rl} {(9)} & \displaystyle n_a \left( \frac{\color{red}{h}}{S + \underbrace{\delta}_{\to 0}} \right) + n_b \left(\frac{\color{red}{h}}{S^\prime - \underbrace{\delta}_{\to 0} } \right) \approx (n_b - n_a) \left(\frac{\color{red}{h}}{R-\underbrace{\delta}_{\to 0}}\right) \\ \\ \equiv & \displaystyle \color{blue}{\frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime } \approx \frac{n_b - n_a}{R} } \end{array}
この最終式を球面界面における屈折の物体像関係と呼ぶ。
球面界面の反対側における屈折による拡張像の形成
次に考察するのは 点光源を拡張物体に置き換えた場合に何が起こるかである。これは次の図に示されている:
これまでの解析から S と S^\prime の関係はすでに得られているので、残るのは物体と像の大きさの関係を求めることである。
図から次の関係が得られる:
\begin{array}{rl} \tan(\theta_a) & =\displaystyle \frac{y}{S} \\ \\ \tan(\theta_b) & =\displaystyle - \frac{y^\prime}{S^\prime} \end{array}
これをスネルの法則と組み合わせる:
n_a\sin(\theta_a) = n_b\sin(\theta_b).
ここで、小角近似が成り立つことを利用する:
\begin{array}{rl} \sin(\theta_a) & \approx \tan(\theta_a) \\ \\ \sin(\theta_b) & \approx \tan(\theta_b) \end{array}
したがって、次のように書くことができる:
\begin{array}{rl} &\displaystyle n_a \frac{y}{S} \approx- n_b \dfrac{y^\prime}{S^\prime} \\ \\ \equiv & \displaystyle \dfrac{y^\prime}{y} \approx - \dfrac{n_a S^\prime}{n_b S} \\ \\ \end{array}
ここで、球面鏡について学んだことを思い出すと、同様の関係が得られる。この時点で、拡大率 m を次のように定義できる:
m=\displaystyle \frac{y^\prime}{y}
したがって:
\displaystyle \color{blue}{m\approx -\frac{n_a S^\prime}{n_b S}}
総括
これまでに、物体から放射された光が球面界面を通過するときの像の形成を推測するために役立つ二つの結果を導き出した。それらは次の式である:
\begin{array}{rl} \displaystyle \dfrac{n_a}{S} + \dfrac{n_b}{S^\prime} & \approx \dfrac{n_b - n_a}{R} \\ \\ m & \displaystyle \approx - \dfrac{n_a S^\prime}{n_b S} \end{array}
これら二つの式を用いることで、像の位置、向きおよび大きさを計算でき、界面の表面が凹面か凸面かに関わらず適用される。しかし、この時点で符号の取り決めについて明確にする必要がある。
符号の取り決め
これら二つの式を用いることで 像の位置、向きおよび大きさを計算でき、界面の表面が凹面か凸面かに関わらず適用される。しかし、この時点で符号の取り決めについて明確にする必要がある。
界面は空間を二つの領域に分けており、一方には物体が存在し、もう一方には像が存在する。この観点から次のように定められる:
- 物体の位置 S: 物体側にある場合は正、像側にある場合は負。
- 像の位置 S^\prime および曲率半径 R: 像側にある場合は正、物体側にある場合は負。
- 物体と像の大きさ y および y^\prime: 光軸の上にある場合は正、光軸の下にある場合は負。
球面界面の極限としての平面界面
球面界面に対して導いたすべての結果は 平面界面をよりよく理解するためにも役立つ。実際、平面界面は曲率半径が非常に大きい球面界面の一部として理解できる。すなわち、球面界面に対する物体像関係の極限を半径が無限大に近づく場合としてとると次のようになる:
\displaystyle \frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime} = \lim_{R\to \infty} \frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime } \approx \lim_{R\to \infty} \frac{n_b - n_a}{R} = 0
これに基づいて拡大率を計算すると、次が得られる:
m=1
つまり、像の大きさと向きは保存され、変化するのは観測される位置である。
演習
- 円柱状のガラス棒の前に粒子が次の図のように置かれている。
- 前問と同じガラス棒を考える。ただし、今度はそれが水中に置かれている。棒の前に高さ 1[cm] の針を同じ距離 30[cm] に置いたとき、像の位置と高さを求めよ。
- 人がプールの底を見てその深さを推定しようとしている。目印として底に描かれた矢印を用いる。このとき、実際の深さと見かけの深さの間にはどのような関係があるか。
