今回は無限限界だけでなく、一般的に発散する限界についても確認する。発散する限界は、関数が収束しないように見える状況を示し、それは多様な形で生じ得る。

いつ限界が発散すると言うのか？

限界がある実数値に収束しないとき、その限界は発散すると言う。 この一見自明に聞こえることは、さまざまな形で生じ得る。

• 片側極限が異なるか存在しない場合、両側極限は存在しない。
• 関数が正しく定義されていない場合、無限に増大する場合、または計算対象の点に近づく際に無限に振動する場合、その片側極限は存在し得ない。

これは、有限の限界にも、無限遠における限界にも、それぞれの特徴を持って適用され、状況に応じて何らかの発散の形を持つことになる。

限界における発散の種類

定義域に問題のある限界

次のような限界を計算しようとする場合 \lim_{x\to x_0}f(x) または \lim_{x\to +\infty}f(x), 少なくとも f(x) が x_0 付近の値、あるいは [a,+\infty[ の形の区間で定義されていることを期待する。もしそうでなければ、いずれの限界の定義も意味を持たない。関数が定義されていない領域に近づくのであれば、値に「近づく」ことはできない。このような場合、単に限界は存在しないと記す: \lim_{x\to x_0}f(x)=\cancel{\exists} および \lim_{x\to +\infty}f(x)=\cancel{\exists}, とする。片側極限についても同様であり、この種の状況についてこれ以上述べることはない。

左右の異なる片側極限

次のような関数を考えてみよう f(x) = x/|x| そして x\to 0 のときの限界を計算する。最初に気づくのは次の点である。

\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x) = 1

\displaystyle\lim_{x\to 0^-} f(x) = -1

この場合、片側極限は存在するが、それらは異なる。これが起こるとき、両側の限界は収束しないと言い、したがって次のように記す。

\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = \cancel{\exists}

無限に振動する関数の限界

また、特定の値に近づくのではなく、ある範囲内で振動し始める関数の場合もある。その例として f(x)= \sin(1/x) のような関数がある。この関数が x\to 0 のときにどうなるかを見ると、無限に振動することがわかる。

このような場合、限界は単に存在しないと言う。

無限限界

次に関数 f(x) = 1/x. を見てみよう。最初にわかるのは、x\to 0 のとき f(x) の値が限りなく大きくなるが、その様子は限界をどこから計算するかによって異なるということである。直感的には次のように書ける。

\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty

\displaystyle\lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty

この表記は限界が何らかの形で存在することを意味するのではなく、その限界が存在しない仕方を示している。前の事例では限界が存在しないのは具体的な値に収束しないからであったが、この場合は値の大きさがあらゆる実数を超えてしまうために発散するのである。

今確認したことは、次の定義を通じて形式化することができる。

\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \rightarrow M \lt f(x) )

\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \rightarrow M \lt f(x) )

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = +\infty := \left(\lim_{x\to x_0^+}f(x) = +\infty \right) \wedge \left(\lim_{x\to x_0^-}f(x) = +\infty \right)

同様に次のように定義される。

\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) = -\infty := \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \rightarrow f(x) \lt m )

\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) = -\infty := \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \rightarrow f(x) \lt m )

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = -\infty := \left(\lim_{x\to x_0^+}f(x) = -\infty \right) \wedge \left(\lim_{x\to x_0^-}f(x) = -\infty \right)

場合によっては符号を伴わない無限大に収束する限界についても言及される。

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = \infty := \lim_{x\to x_0}|f(x)| = +\infty

無限遠における無限限界

これまで確認した限界と同様に、 無限遠における無限限界を定義することもできる。例えば:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists N \in\mathbb{R} \right) ( N\lt x \rightarrow M \lt f(x) )

これで関数の限界が発散し得るすべての形を確認したことになる。