常微分方程式への導入

この授業では、これらの方程式を支配する基本的なアイデアとそれらのさまざまな分野での応用を詳しく探究します。私たちを取り巻く世界における絶え間ない変化の性質の分析から始め、関数、導関数などの基本的な概念と、それらが連続的および離散的な変化とどのように関連するかを提示します。偏微分方程式 (EDP) と常微分方程式 (EDO) との区別を導入し、EDO の研究に焦点を当てます。コーヒーのカップの冷却、ニュートンの法則、人口モデルなどの実用的な例で概念を示します。学生は、自然および物理的な現象を支配する微分方程式に親しみ、それらを数学的に表現する方法を発見し、その解を研究するためのいくつかの技術を理解する機会を得ます。この初期の知識は、微分方程式およびその科学や工学への応用におけるより高度な研究の基礎を形成します..

学習目標:
この授業を終えると、学生は次のことができるようになります:

理解する 微分方程式に関連する基本概念、例えば変化の本質、関数、導関数、および偏微分方程式 (EDP) と常微分方程式 (EDO) の違い

目次
微分方程式と事物の本質
絶え間ない変化
 関数、導関数とその変化
 EDO と EDP
常微分方程式の例
コーヒーカップの冷却
 ニュートンの法則
 人口モデル

微分方程式と事物の本質

絶え間ない変化

自然界では、すべてが常に変化しています。 変化しないように見えるもの、たとえば太陽の輝きでさえ、適切な時間尺度で観察すれば変化しています。すべてが変化します。星の輝き、コーヒーカップの温度、物体の位置、人口の大きさなどがその例であり、これらの変化率は一般に、その変化が起こっている間に変化するものの状態と関係しています。

変化を直感的に理解する方法の一つは、時間の経過とともに物事がどのように変化するかを観察することです。時間に関して起こる変化を私たちは進化と呼び、私たちが観察できるすべてのものは絶えず進化しています。しかし、進化は変化の唯一の形ではありません。例えば、海抜に対する私たちの高さは時間の経過とともに変化するかもしれませんが、むしろ私たちの位置（または地理的座標）によって変化する可能性のほうが高いでしょう。

関数、導関数とその変化

より一般的には、 複数の変数を持つ関数 $f(x_1,x_2, \cdots, x_n)$ は、いずれかの変数が変化すると変わることがあり、その変化は連続的または離散的であり得ます。複数変数の関数に対して、連続的な変化は 偏微分: を通じて研究することができます:

$\displaystyle \frac{\partial f(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_1} = \lim_{\Delta x_1 \to 0} \frac{ f(x_1 + \Delta x_1, \cdots, x_n) - f(x_1, \cdots, x_n)}{\Delta x_1}$

関数が一つの変数のものであれば、通常の導関数:を用います。

$\displaystyle \frac{df(x)}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

変化が連続ではなく離散的である場合には、導関数に現れる極限の計算を単に省略します.

EDO と EDP

関数とそのさまざまな導関数を含む方程式は は 微分方程式 と呼ばれます。これらの導関数が偏微分か通常の導関数かによって、それぞれ 偏微分方程式 (EDP) または 常微分方程式 (EDO) と呼ばれます。ここでは、常微分方程式の研究に焦点を当て、それが現れるいくつかの例を見ていきます。

常微分方程式の例

コーヒーカップの冷却

コーヒーカップの冷却速度は 周囲とコーヒーの温度差に比例します。空気の温度、 $T_a$ が一定で、コーヒーの温度が時間の関数 $T_c=T_c(t),$ であるとすると、各瞬間におけるコーヒーの温度を決定することを可能にする微分方程式を導くことができます。初期的に次の式があります:

$\displaystyle \frac{dT_c(t)}{dt} = -\alpha^2(T_c(t) - T_a)$

ここで $\alpha$ は比例定数であり、 $T_a \lt T_c(t)$ で、負の符号はコーヒーの温度が減少していることを示しています。後で、この方程式が次の形の解を持つことが分かります:

$T_c(t) = T_a + Be^{-\alpha^2 t}$

ここで $B$ は決定すべき定数です。

ニュートンの法則

ニュートンの第二法則は本質的に常微分方程式であり、 なぜなら、 $F=ma$ （力は質量と加速度の積）という式において、加速度、 $a=d^2x(t)/dt^2,$ は物体の位置の時間に関する二階導関数だからです。この法則によって、物体の運動を記述する関係式を見つけることができ、それは実際には微分方程式です。単純な例はばねの研究です。片方が固定された壁に取り付けられ、もう片方が質量に結合されたばねが平衡位置にあるとき、その質量をその位置から距離 $x$ だけ移動させると、フックの法則により質量には復元力 $F=-kx$ が作用します。その後、ニュートンの第二法則により次のようになります:

$\displaystyle -kx(t) = m\frac{d^2x(t)}{dt^2}$

後で、その解が次の形であることが分かります:

$\displaystyle x(t) = A\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t + \phi \right)$

ここで $A$ と $\phi$ は、問題の初期条件によって決定される定数です。

人口モデル

1 人あたりの成長率 は出生率と死亡率の差に等しく、つまり:

$\displaystyle \frac{1}{x(t)} \frac{dx(t)}{dt} = N - M$

出生率 $N$ が時間に対して一定で、死亡数が人口に比例するとすると、つまり $M=\alpha^2 x(t),$ であれば、上の方程式は次の形になります:

$\displaystyle \frac{dx(t)}{dt} = x(t) (N - \alpha^2 x(t))$

これは 「ロジスティック方程式」 として知られています。この方程式から、多数の人口 $x_1(t), x_2(t), \cdots, x_n(t)$ が互いに存在を競い合うような一般化を次のように構築することができます:

$\displaystyle \frac{dx_i(t)}{dt} = x_i(t) \left(N_i - \displaystyle \sum_{j=1}^n\alpha^2_{ij} x_j(t) \right)$

ここで $i\in\{1,\cdots, n\}$ です。これは ロトカ=ヴォルテラ方程式 と呼ばれるものです。

結論

この常微分方程式の入門を通じて、数学が自然界で起こる変化をどのように正確かつ優雅に捉えることができるかを探ってきました。コーヒーカップの冷却からばねの運動や人口の成長に至るまで、常微分方程式は複雑なダイナミクスを理解しやすい数学的関係に翻訳することを可能にします。

これらの方程式の構造と意味を理解することは、物理学、生物学、経済学、工学などの多くの分野への扉を開きます。この授業は、解法技術、定性的分析、数値的手法を深めるようなより高度な研究を続けるために必要な概念的基盤を築きます。しかし最も重要なのは、変化の言語 — 微分方程式 — が動的システムの振る舞いを記述し、理解し、予測することを可能にするということについての初歩的な直感を身につけたことです。

次の授業では、より強力なツールを開発し、それらを新しい文脈に適用し続けます。微分方程式は、現実を分析する方法を提供するだけでなく、異なる条件下でどのように進化するかを想像する方法も提供してくれます。