प्रायिकता गणना के लिए उपयोगी प्रमेय

सारांश
इस कक्षा में, कुछ प्रायिकता गणना के लिए उपयोगी प्रमेयों का समाधान किया गया है, जिसमें प्रमेयों की प्रमाणिकरण और उपपत्तियां शामिल हैं। इन अभ्यासों में पूरक प्रायिकता, सेटों का सम्मिलन और घटनाओं का संकुचन जैसे विषय शामिल हैं। इन अभ्यासों को पूरा करने से प्रायिकता सिद्धांत का गहन अध्ययन करने के लिए एक मजबूत आधार मिलेगा।

सीखने के उद्देश्य: इस कक्षा को पूरा करने के बाद छात्र सक्षम होंगे:

प्रमाणित करना प्रायिकता की मूलभूत गुणधर्म

आगे हम कुछ अभ्यास (समाधान किए गए) देखेंगे जिनका उद्देश्य प्रायिकता सिद्धांत के लिए कुछ उपयोगी प्रमेयों को प्रमाणित करना है। कोशिश करें कि आप उन्हें स्वयं हल करें और फिर अपने परिणामों की तुलना करें।

$P(A^c) = 1 -P(A)$ को प्रमाणित करें और इससे यह तर्क करने की एक उपपत्ति करें कि $P(\emptyset) = 0$
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प्रायिकता माप की परिभाषा से, यदि $A$ और $B$ कोई भी माप योग्य घटनाएं हैं, तो यह सत्य होगा कि:
[a] $0\leq P(A) \leq 1$
[b] $A\cap B = \emptyset \rightarrow P(A\cup B) = P(A) + P(B)$
$P(\Omega) = 1$
अब, क्योंकि $A\cap A^c = \emptyset$ , भाग [b] से हमें मिलेगा कि:
[d] $A\cap A^c = \emptyset \rightarrow P(A\cup A^c) = P(A) + P(A^c)$
क्योंकि $A\cap A^c = \emptyset$ हमेशा सत्य है और $A\cup A^c = \Omega$ , तो हमें मिलेगा कि
$1=P(\Omega) = P(A\cup A^c) = P(A) + P(A^c)$
और इसलिए
$P(A^c) = 1-P(A)$
जो हम साबित करना चाहते थे।
यह साबित करने के लिए कि $P(\emptyset)=0$ , यह पर्याप्त है कि $A = \Omega$ को उस संबंध में लिया जाए जिसे अभी साबित किया गया है और हमें मिलेगा कि
$P(\emptyset) = P(\Omega^c) =1 - P(\Omega) = 1-1 = 0$

a) प्रमाणित करें कि $A\subseteq B \rightarrow P(B\setminus A) = P(B) - P(A)$ , क्या यह समानता सामान्य रूप से सत्य है?b) प्रमाणित करें कि $A\subseteq B \rightarrow P(B)\leq P(A)$ समाधान दिखाएं a)

(1)	$A\subseteq B$ ; प्रत्यय
	$\equiv A\cap B = A$
(2)	$B\setminus A = B\cap A^c$ ; सेट थ्योरी की परिभाषा
(3)	$B= (B\cap A) \cup (B\cap A^c)$ ; सेटों की विशेषता
(4)	$(B\cap A)\cap (B\cap A^c)=\emptyset$ ; सेटों की विशेषता
(5)	$P(B)= P[(B\cap A) \cup (B\cap A^c)]$ ; (3) से
	$P(B)= P (B\cap A) + P(B\cap A^c)$ ; (4) + प्रायिकता माप की परिभाषा से
	$P(B)= P (B\cap A) + P(B\setminus A)$ ; (2) से
	$P(B\setminus A) =P(B) - P (B\cap A)$
	${P(B\setminus A) =P(B) - P (A) }$ ; (1) से

इसलिए ${\{A\subseteq B\}\vdash P(B\setminus A) = P(B) - P(A)}.$

ध्यान दें कि यह समानता सामान्य रूप से सत्य नहीं है, क्योंकि इसे प्राप्त करने के लिए $A\subseteq B$ होना चाहिए। इन विकासों से यह देखा जा सकता है कि, यदि ऐसा नहीं है, तो हमें मिलेगा कि $P(B\setminus A) = P(B) - P(A\cap B).$

समाधान दिखाएं b)

a) में दिए गए तर्क से हमें मिलेगा कि:

\{A\subseteq B\}\vdash P(B\setminus A) = P(B) - P(A)

\equiv \{A\subseteq B\}\vdash P(A) + P(B\setminus A) = P(B)

अंत में, क्योंकि $P$ एक प्रायिकता माप है, यह सत्य है कि $\forall X (P(X)\geq 0),$ इसलिए, परिणामतः:

${\{A\subseteq B\}\vdash P(A) \leq P(B)}.$

a) प्रमाणित करें कि $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cup B).$ प्रमाण के साथ एक आरेख शामिल करें।b) पहले के परिणाम का उपयोग करके प्रमाणित करें कि $P(A\cup B) \leq P(A) + P(B)$ समाधान दिखाएं भाग a)

$(1)$	$A\cup B = (A\triangle B) \cup (A\cap B)$ ; सेटों की विशेषता
$(2)$	$A\triangle B := (A\setminus B) \cup (B\setminus A)$ ; सममिति अंतर की परिभाषा
$(3)$	$(A\triangle B)\cap ( A \cap B) = \emptyset$ ; सेटों की विशेषता
$(4)$	$(A\setminus B)\cap (B\setminus A) = \emptyset$ ; सेटों की विशेषता
$(5)$	$P(A\cup B) = P[(A\triangle B) \cup (A\cap B)]$ ; (1) से
	$P(A\cup B) = P(A\triangle B) + P(A\cap B)]$ ; (3) से
	$P(A\cup B) = P(A\setminus B) + P(B\setminus A) + P(A\cap B)]$ ; (2,4) से
$(6)$	$P(B\setminus A) = P(B) - P(A\cap B)$ ; अभ्यास 2 का परिणाम लागू करना
$(7)$	$P(A\setminus B) = P(A) - P(A\cap B)$ ; (6) जैसा ही
$(8)$	$P(A\cup B) = P(A) - P(A\cap B) + P(B) - P(A\cap B) + P(A\cap B)]$ ; (5,6,7) से
	${P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)}.$

समाधान दिखाएं भाग b)

\vdash P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)

; भाग a) का परिणाम

\equiv\; \vdash P(A\cup B) + P(A\cap B) = P(A) + P(B)

\equiv\; \vdash {P(A\cup B) \leq P(A) + P(B)}

यदि $\{E_n\}$ घटनाओं का एक अनंत परिवार है तब $E_1\supseteq E_2 \supseteq E_2 \supseteq \cdots \supseteq E_n \supseteq E_{n+1}\supseteq \cdots.$ यह प्रमाणित करें कि

$\displaystyle P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to \infty}P(E_n)$ समाधान दिखाएं

$(1)$	$E_n \supseteq E_{n+1}$ ; परिकल्पना
$(2)$	$E_n^c \subseteq E_{n+1}^c$ ; (1) से पूरकता द्वारा
$(3)$	$\displaystyle(E_n^c \subseteq E_{n+1}^c) \rightarrow P\left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n^c \right)= \lim_{n\to\infty}P(E_n^c)$ ; निरंतरता का गुण
$(4)$	$\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty E_n^c = \left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right)^c$ ; डी मॉर्गन के नियम
$(5)$	$P\left(E_n^c\right) = 1 - P(E_n)$ ; अभ्यास 1 में प्रमाणित
$(6)$	$\displaystyle P\left(\left[ \bigcap_{n=1}^\infty E_n\right]^c \right) = \lim_{n\to\infty}[1-P(E_n)] = 1 - \lim_{n\to\infty}P(E_n)$ ; (2,4,5) को (3) पर लागू करना
	$\displaystyle 1 - P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = 1 - \lim_{n\to\infty}P(E_n)$
	$P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n)$

$\displaystyle\therefore\{E_n \supseteq E_{n+1}\}\vdash P\left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n).$

इन अभ्यासों को हल करने से आप प्रायिकता सिद्धांत का अध्ययन जारी रखने के लिए एक प्रारंभिक आधार पूरा करेंगे।

[a]	$0\leq P(A) \leq 1$
[b]	$A\cap B = \emptyset \rightarrow P(A\cup B) = P(A) + P(B)$
	$P(\Omega) = 1$

प्रायिकता गणना के लिए उपयोगी प्रमेय

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