सत्यता मानों के असाइनमेंट के बारे में

पहले हमने तर्कप्रस्तावना की व्याकरण और तर्क प्रणालियों की समीक्षा की। हालांकि, यह हमें यह समझने में मदद करता है कि एक अभिव्यक्ति से दूसरी अभिव्यक्ति तक कैसे पहुँचा जा सकता है, हमने सत्यता मानों के असाइनमेंट के बारे में कुछ नहीं कहा है। चूंकि हमने पहले ही तर्कप्रस्तावना में तर्क तकनीकों के बारे में सब कुछ कह दिया है, हम अब तर्कप्रस्तावना की सिमांटिक का अध्ययन शुरू करेंगे, जहां हम यह देखेंगे कि सत्यता मानों के असाइनमेंट एक अभिव्यक्ति से दूसरी अभिव्यक्ति तक कैसे फैलते हैं।

तर्कप्रस्तावना कनेक्टरों की सिमांटिक

तर्कप्रस्तावना कनेक्टरों की सिमांटिक को सत्य तालिकाओं के माध्यम से पेश किया जाता है, क्योंकि ये अभिव्यक्तियों पर सभी संभावित असाइनमेंट का प्रतिनिधित्व करने का एक आसान और व्यवस्थित तरीका प्रदान करती हैं।

संयुक्त नेगेशन की सत्य तालिका

पहले हम शुरुआत करेंगे सबसे बुनियादी कनेक्टर से, जो संयुक्त नेगेशन है। इसकी सत्य तालिका इस प्रकार है:

“1” और “0” मान क्रमशः “सत्य” और “असत्य” के रूप में माने जाते हैं। सत्य तालिका की प्रत्येक पंक्ति एक संभावित असाइनमेंट का प्रतिनिधित्व करती है जो उस अभिव्यक्ति के अवयवों के लिए की जाती है। इसी तरह, उस अभिव्यक्ति के संभावित परिणामों का प्रत्येक कॉलम में प्रतिनिधित्व किया गया है। इस प्रकार, इस तालिका की व्याख्या बताती है कि \alpha\downarrow\beta केवल तब सत्य होता है जब \alpha और \beta दोनों एक साथ असत्य हों, और अन्यथा असत्य होता है। यही कारण है कि कनेक्टर \downarrow को “संयुक्त नेगेशन” कहा जाता है।

व्युत्पन्न कनेक्टरों की सत्य तालिकाएं

संयुक्त नेगेशन की सिमांटिक से अन्य कनेक्टरों की सिमांटिक प्राप्त की जा सकती है। उनकी परिभाषाएं इस प्रकार हैं:

इन परिभाषाओं के आधार पर, अन्य कनेक्टरों की सत्य तालिकाएं गणना की जा सकती हैं:

नेगेशन

यहां से यह तथ्य निकलता है कि नेगेशन कनेक्टर में उस अभिव्यक्ति के सत्यता मान को उलटने का गुण होता है, जिस पर इसका प्रयोग किया जाता है।

समावेशी विमुखीकरण

यही कारण है कि दो अभिव्यक्तियों के बीच समावेशी विमुखीकरण (या केवल “विमुखीकरण”) तभी सत्य होता है जब कम से कम एक अभिव्यक्ति सत्य हो, और जब दोनों अभिव्यक्तियां एक साथ असत्य हों, तो यह असत्य होता है।

संयोजन

इस परिणाम के रूप में, दो अभिव्यक्तियों के बीच संयोजन तभी सत्य होता है जब दोनों अभिव्यक्तियां एक साथ सत्य हों, और अन्यथा असत्य होता है। इस कारण यह कनेक्टर का उचित नाम “संयुक्त पुष्टि” भी हो सकता है।

दर्शन

इस प्रकार दर्शन की सत्य तालिका यह निष्कर्ष देती है कि केवल एक सत्य अभिव्यक्ति ही दूसरी सत्य अभिव्यक्ति को दर्शन कर सकती है, लेकिन एक असत्य अभिव्यक्ति कुछ भी दर्शन कर सकती है।

डबल दर्शन

डबल दर्शन केवल तब सत्य होता है जब इसे बनाने वाली दोनों अभिव्यक्तियों के सत्यता मान समान हों, और अन्यथा यह असत्य होता है।

अनन्य विमुखीकरण

अनन्य विमुखीकरण तब सत्य होता है जब दोनों अभिव्यक्तियों में से केवल एक सत्य हो, और अन्यथा यह असत्य होता है।

तर्कप्रस्तावना में असाइनमेंट

ऊपर दिए गए विवरण के अनुसार, हमारे पास एक साधारण धारणा है कि असाइनमेंट क्या होता है; हालांकि, भविष्य में हम जिन विकासों को देखेंगे, उनके लिए हमें कुछ अधिक सटीक की आवश्यकता होगी। यदि S=\{A_1, A_2, \cdots, A_n\} एक समूह है और \mathcal{F}(S) वह समूह है जिसमें से सभी अभिव्यक्तियाँ बनाई जा सकती हैं S के तत्वों से, तो हम निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त करते हैं:

परिभाषा: S पर एक असाइनमेंट एक फ़ंक्शन है \mathcal{A}: S \longrightarrow \{0,1\}

दूसरे शब्दों में, S पर एक असाइनमेंट S के प्रत्येक अभिव्यक्ति को एक सत्यता मान प्रदान करता है। S का एक असाइनमेंट \mathcal{A} स्वाभाविक रूप से \mathcal{F}(S) के सभी तत्वों पर विस्तारित होता है। यदि F\in \mathcal{F}(S) एक अभिव्यक्ति है, तो S पर \mathcal{A} का एक असाइनमेंट F की सत्य तालिका की एक पंक्ति के अनुरूप होता है और कहा जाता है कि \mathcal{A}(F) उस पंक्ति में F का सत्यता मान है।

S पर \mathcal{A} का एक असाइनमेंट उन अभिव्यक्तियों पर भी विस्तारित किया जा सकता है जो \mathcal{F}(S) में नहीं हैं। यदि F_0 एक अभिव्यक्ति है जो \mathcal{F}(S) में नहीं है और S_0 F_0 के सब-फॉर्मूलों का समूह है, तो यदि \mathcal{A} का S\cup S_0 के लिए सभी एक्सटेंशन F_0 के लिए समान मान रखते हैं, तो \mathcal{A}(F_0) को उस मान के रूप में परिभाषित किया गया है।

उदाहरण: यदि A और B अभिव्यक्तियां हैं और \mathcal{A} \{A,B\} पर एक असाइनमेंट है, जिसे \mathcal{A}(A)=1 और \mathcal{A}(B)=0 द्वारा परिभाषित किया गया है, तो हमें यह मिलेगा:

\mathcal{A}(A\wedge B)=0 और \mathcal{A}(A\vee B)=1

और भले ही एक चर C पर असाइनमेंट स्थापित नहीं किया गया हो, यह कहा जा सकता है:

\mathcal{A}(A\wedge (C\vee \neg C))=1 और \mathcal{A}(B\vee (C\wedge \neg C))=0

यह पिछले दो अभिव्यक्तियों के साथ इसलिए होता है क्योंकि, C की असाइनमेंट के बावजूद, हमेशा यह होगा कि

\mathcal{A}(C\vee\neg C)=1 और \mathcal{A}(C\wedge\neg C)=0

यह ऐसी चीज़ है जिसे हम उनकी सत्य तालिकाओं की गणना करके जल्दी से देख सकते हैं।

■ उदाहरण समाप्त

तर्कप्रस्तावना में मॉडल

एक असाइनमेंट पर विचार करें \mathcal{A} एक सेट के ऊपर S। यदि F\in S इस तरह का है कि \mathcal{A}(F)=1, तो कहा जाता है कि असाइनमेंट \mathcal{A} मॉडल F, या यह कि अभिव्यक्ति F असाइनमेंट द्वारा समर्थित है \mathcal{A} और इसे \mathcal{A}\models F के रूप में लिखा जाता है।

\mathcal{A}\models F.

और इसके आधार पर, निम्नलिखित परिभाषाएं स्थापित की जाती हैं:

परिभाषा: एक अभिव्यक्ति को वैध कहा जाता है जब यह किसी भी असाइनमेंट के तहत समर्थित होती है। यदि F वैध है, तो इसे लिखा जाता है \models F । वैध अभिव्यक्तियों को भी तर्क परिभाषा कहा जाता है।

उदाहरण: अभिव्यक्ति (C\vee \neg C), जिसे हमने पहले देखा है, एक तर्क परिभाषा है।

■ उदाहरण समाप्त

परिभाषा: एक अभिव्यक्ति को संतोषजनक कहा जाता है जब इसे किसी असाइनमेंट द्वारा समर्थित किया जाता है। जो संतोषजनक अभिव्यक्तियाँ तर्क परिभाषाएं नहीं हैं, उन्हें अनुकूलता कहा जाता है।

परिभाषा: एक अभिव्यक्ति को असंतोषजनक कहा जाता है जब इसे किसी भी असाइनमेंट द्वारा समर्थित नहीं किया जाता है। असंतोषजनक अभिव्यक्तियों को विरोधाभास कहा जाता है। यदि F एक विरोधाभास है, तो इसे लिखा जाता है \not\models F .

उदाहरण: अभिव्यक्ति (C\wedge \neg C), जिसे हमने पहले देखा है, एक विरोधाभास है।

■ उदाहरण समाप्त

तर्क परिभाषाओं और विरोधाभासों के उदाहरण

मान लें कि हम देखना चाहते हैं कि कोई अभिव्यक्ति वैध है या नहीं। यह समस्या सिद्धांत के तहत एक निर्णय समस्या है। एक निर्णय समस्या कोई भी समस्या होती है जिसका परिणाम “हाँ” या “नहीं” होता है। यदि हमें कोई अभिव्यक्ति F दी जाती है और हम पूछते हैं कि यह वैध है या नहीं, तो हम एक निर्णय समस्या का सामना कर रहे हैं जिसे हम वैधता समस्या कहते हैं। इसी तरह, यदि हम पूछते हैं कि यह संतोषजनक है या नहीं, तो हम एक संतोषजनकता समस्या का सामना कर रहे हैं। तर्कप्रस्तावना में, सत्य तालिकाएं इन निर्णय समस्याओं को हल करने के लिए एक प्रणालीगत दृष्टिकोण प्रदान करती हैं: यदि F के सभी संभावित सत्यता मान “1” हैं, तो F वैध है; यदि उनमें से कुछ “1” हैं, तो यह संतोषजनक है; और अंततः, यदि वे सभी “0” हैं, तो यह असंतोषजनक है।

उदाहरण: विचार करें अभिव्यक्ति ((A\wedge (A \rightarrow B)) \rightarrow B)। यह निर्धारित करने के लिए कि यह अभिव्यक्ति वैध, संतोषजनक या विरोधाभासी है, हम इसकी सत्य तालिका का निर्माण करते हैं।

इससे हम देखते हैं कि ((A\wedge(A\rightarrow B))\rightarrow B) सभी संभावित असाइनमेंट्स के लिए सत्यता मान “1” है, जिससे यह अभिव्यक्ति तर्क परिभाषा साबित होती है।

■ उदाहरण समाप्त

उदाहरण: अब विचार करें अभिव्यक्ति (((A\rightarrow B)\rightarrow A)\wedge \neg A)। इसकी सत्य तालिका का निर्माण हमें निम्नलिखित परिणाम देता है:

इस प्रकार यह परिणाम एक विरोधाभास बनता है।

■ उदाहरण समाप्त

तर्कप्रस्तावना की सिमांटिक के साथ एक दक्षता समस्या

सिद्धांत रूप में, हम सत्य तालिका की गणना करके यह निर्धारित कर सकते हैं कि कोई अभिव्यक्ति वैध, अनुकूल या असंतोषजनक है, जो कि करना आसान है; दुर्भाग्य से, इस निष्पादन की आसानी दक्षता के लिए मूल्य चुकाती है। यदि हमारे पास एक अभिव्यक्ति F है जो n अभिव्यक्तियों से बनी है, तो हमें एक सत्य तालिका की गणना करनी होगी जिसमें 2^n पंक्तियां हों; इस प्रकार, यदि F 23 अभिव्यक्तियों से बनी है, तो इसकी सत्य तालिका में 8,388,608 पंक्तियों की गणना करनी होगी। इस तरह से आगे बढ़ते हुए, भले ही गणना यांत्रिक और सरल हो, यह अभिव्यक्तियों की जटिलता बढ़ने के साथ शीघ्र ही अव्यावहारिक हो जाती है। इस कारण, हमारा एक भविष्य का लक्ष्य वैधता या संतोषजनकता के मुद्दों को हल करने के तरीकों की खोज करना होगा, सत्य तालिकाओं की गणना किए बिना। ऐसे तरीकों की खोज किसी भी तर्क का केंद्रीय मुद्दा है।