जब हमने संभाव्यता के नमूना स्थानों के बारे में समीक्षा की, तो हमने देखा कि ये दो प्रकार के हो सकते हैं: कुछ विविक्त और अन्य निरंतर। हमने यह भी समीक्षा की कि एक विविक्त संभाव्यता वितरण क्या होता है। अब यह निरंतर संभाव्यता वितरण की बारी है।

निरंतर संभाव्यता वितरण क्या हैं?

हम कहेंगे कि एक यादृच्छिक चर X का एक निरंतर संभाव्यता वितरण है यदि एक f_X : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+, नामक एक फ़ंक्शन मौजूद है जिसे हम X का घनत्व कहेंगे, इस प्रकार \forall A \subseteq \mathbb{R} के लिए यह समानता मान्य होगी

P(X\in A) = \displaystyle \int_A f_X(x)dx

विशेष रूप से, यदि हम A=]a,b] लेते हैं, तो हमें मिलेगा

P(a\lt X \leq b) = \displaystyle \int_a^b f_X(x)dx

और यदि a=-\infty

F_X(x) = P( X \leq x) = \displaystyle \int_{-\infty}^x f_X(t)dt

और इसके अलावा, संभाव्यता वितरण की संपत्ति (c) (यहां देखें) से हमें मिलेगा

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)dt = 1

इस अंतिम अभिव्यक्ति पर मौलिक प्रमेय लागू करने से हमें मिलेगा कि एक निरंतर वितरण के लिए, F_X(x), सभी x के लिए निरंतर है, और इसका अवकलज सभी x मानों के लिए f_X(x) है जहां f_X(x) निरंतर है। F_X(x) की निरंतरता और संपत्ति (d) (यहां देखें) से हमें मिलेगा:

P(x=X)=0

और इसलिए

P(x\leq X)= P(x\lt X)

यदि f कोई भी फ़ंक्शन है जो f\geq 0 और \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1, तो इसे एक घनत्व कहा जाता है।

पांच सबसे प्रसिद्ध निरंतर संभाव्यता वितरण

एक्सपोनेशियल वितरण

एक एक्सपोनेशियल वितरण फ़ंक्शन जिसमें \alpha \gt 0 का मान है, इस रूप में एक वितरण फ़ंक्शन है:

F(t) = \left\{\begin{array}{lll} 1 - e^{-t/\alpha} & ; & t\geq 0 \\ \\ 0 & ; & t\lt 0 \end{array}\right.

नतीजतन, इसका घनत्व फ़ंक्शन इस प्रकार है

\displaystyle f(t) = \left\{\begin{array}{lll} \frac{1}{\alpha}e^{-t/\alpha} & ; & t\geq 0 \\ \\ 0 & ; & t\lt 0 \end{array}\right.

यदि एक यादृच्छिक चर में एक्सपोनेशियल वितरण है, \alpha के मान के साथ, हम लिखते हैं X\sim Ex(\alpha).

पॉइसन वितरण के संदर्भ में, यदि हमारे पास एक रेडियोधर्मी नमूना है जो औसत उत्सर्जन दर c, के साथ एक कण का उत्सर्जन करता है, तो पहला कण उत्पन्न होने का समय T के साथ एक एक्सपोनेशियल वितरण होगा, जिसका मान 1/c है। दूसरे शब्दों में T\sim Ex(1/c), और परिणामस्वरूप:

P(T\geq t)= e^{-ct}

समान आयताकार वितरण

एक समान आयताकार वितरण एक अंतराल [a,b] पर परिभाषित होता है, इस घनत्व फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित होता है:

f(x) = \left\{\begin{array}{lll} \displaystyle\frac{1}{b-a} & ; & x\in[a,b] \\ \\ 0 & ; & E.O.C. \end{array}\right.

यदि हम एक छोटी गेंद को एक रेल में छोड़ते हैं जिसके सिरों पर सीमा है [a,b], और यह उछलती है, तो X यादृच्छिक चर, जो गेंद की स्थिति का प्रतिनिधित्व करती है, इसका समान आयताकार वितरण होगा और इसे X\sim Un(a,b). लिखा जाएगा।

सामान्य (गॉसियन) वितरण

निरंतर संभाव्यता वितरणों में सामान्य वितरण व्यावहारिक रूप से सबसे लोकप्रिय में से एक है।

मानक सामान्य वितरण

मानक सामान्य घनत्व इस फ़ंक्शन के माध्यम से परिभाषित किया गया है:

\displaystyle \phi_{0,1}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}

इसकी परिभाषा से, यह स्पष्ट है कि \phi\gt 0. इसलिए, यह सत्यापित किया जा सकता है कि यह एक संभाव्यता घनत्व है बस यह सुनिश्चित करके कि

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{0,1}(x)dx

यह अंतिम समानता I^2 के मूल्य की गणना करके प्रदर्शित की जा सकती है, जब I =\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(x)dx=1. वास्तव में, यह है:

\begin{array}{rl} I^2 & = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} dx \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}dx \\ \\ & = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} dx \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/2} dy \\ \\ & = \displaystyle \frac{1}{{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} dxdy \\ \\ \end{array}

लेकिन यह है कि

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} dxdy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{+\infty} e^{-r^2/2} rdr d\theta = 2\pi

इसलिए I^2 = 1, इस प्रकार I=\int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{0,1}(x)dx = 1.

मानक सामान्य घनत्व से मानक सामान्य वितरण \Phi_{0,1}(x) = \int_{-\infty}^x\phi_{0,1}(t)dt. यदि एक यादृच्छिक चर X में मानक सामान्य वितरण है, तो हम लिखते हैं X\sim N(0,1). \Phi_{0,1}(x) वितरण को स्पष्ट रूप से नहीं गणना किया जा सकता है, लेकिन ऐसे टेबल्स हैं जो त्वरित रूप से अनुमानित मान प्रदान करते हैं।

मापदंड \mu और \sigma के साथ सामान्य वितरण

मानक सामान्य वितरण घनत्व से \phi_{0,1} संभव है कि मापदंड \mu और \sigma, जहां \mu\in\mathbb{R} और \sigma\gt 0 हैं, सामान्य वितरण घनत्व \mu और \sigma के साथ बनाना संभव है। यह इस प्रकार है:

\displaystyle\phi_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma}\phi_{0,1}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)

इस प्रकार सामान्य वितरण \mu और \sigma, के साथ \Phi_{\mu,\sigma}(x) इस प्रकार है:

\displaystyle \Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^x\frac{1}{\sigma}\phi_{0,1}\left(\frac{t-\mu}{\sigma} \right)dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt

यदि एक यादृच्छिक चर X में सामान्य वितरण मापदंड \mu, \sigma, के साथ है, तो हम लिखते हैं X\sim N(\mu, \sigma).

वेइबुल वितरण

वेइबुल वितरण मापदंड \alpha,\beta \gt 0 के साथ इस प्रकार की एक वितरण फ़ंक्शन है:

F(t) = \left\{\begin{array}{llr} \left(1 - e^{-t/\alpha} \right)^\beta &;& t\geq 0 \\ \\ 0 &;& t\lt 0 \end{array}\right.

यदि एक यादृच्छिक चर X में मापदंड \alpha, \beta के साथ वेइबुल वितरण है, तो हम लिखते हैं X\sim We(\alpha,\beta). वेइबुल वितरण एक्सपोनेशियल वितरण का सामान्यीकरण है, ध्यान दें कि We(\alpha,1) = Ex(\alpha).

गामा वितरण

गामा वितरण मापदंड \beta,\alpha के साथ इस प्रकार की घनत्व फ़ंक्शन है:

f(t) = \left\{\begin{array}{llr} \displaystyle \frac{1}{\alpha \Gamma(\beta)}\left(\frac{t}{\alpha} \right)^{\beta-1}e^{-t/\alpha} &;& t\geq 0 \\ \\ 0 &;& t\lt 0 \end{array}\right.

जहां \Gamma(s) = \displaystyle \int_0^{+\infty}u^{s-1}e^{-u}du वह है जिसे “गामा फ़ंक्शन” कहा जाता है।

गामा फ़ंक्शन की सबसे उल्लेखनीय विशेषताओं में से एक यह है कि यह प्राकृतिक संख्याओं के फैक्टरियल्स को वास्तविक संख्याओं (यहां तक कि जटिल संख्याओं) पर सामान्यीकृत करने की अनुमति देता है। यह जाँचना कठिन नहीं है कि \Gamma(s+1) = s\Gamma(s) भागों के एकीकरण से। इसके अलावा, जैसा कि \Gamma(1)=1 है:

\left(\forall n\in\mathbb{N}\right)\left(\Gamma(n) = (n-1)! \right)

यदि एक यादृच्छिक चर X में मापदंड \beta, \alpha के साथ गामा वितरण है, तो हम लिखते हैं X\sim Ga(\alpha,\beta). गामा वितरण एक्सपोनेशियल वितरण का एक अन्य सामान्यीकरण है, ध्यान दें कि Ga(\alpha,1) = Ex(\alpha).

पॉइसन प्रक्रिया में आवृत्ति c के साथ (जैसे रेडियोधर्मी क्षय), यदि T वह यादृच्छिक चर है जो म-वें घटना के होने के समय का प्रतिनिधित्व करता है; तब, t\geq 0 और N घटनाओं की संख्या के लिए जो समय अंतराल [0,t] में होती हैं, यह होगा कि t\lt T \leftrightarrow N\lt m और, जैसा कि N\sim Po(ct), यह है:

1-F_T(t) = P(T\gt t) = \displaystyle \sum_{k=0}^{m-1}Po(k; ct)=e^{-ct}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{(ct)^k}{k!}

और इसलिए, यदि हम इसे व्युत्पन्न करते हैं, तो हमें मिलेगा कि घनत्व फ़ंक्शन है

\displaystyle f(t) = ce^{-ct}\frac{(ct)^{m-1}}{(m-1)!}

और इसलिए, T\sim Ga(1/c, m).

अभ्यास

1. धनत्व फ़ंक्शन के लिए निरंतरता c का मान निकालें \displaystyle f(x) = \frac{c}{x^2+1} और इसके वितरण फ़ंक्शन की गणना करें (कौशी वितरण)
2. समान वितरण Un(a.b), की घनत्व फ़ंक्शन से इसका वितरण फ़ंक्शन निकालें।
3. साबित करें कि फ़ंक्शन \Phi_{\mu,\sigma}(x) एक संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन है।