गैर-अर्बिट्राज का सिद्धांत

सारांश:
इस कक्षा में हम गैर-अर्बिट्राज सिद्धांत को समझेंगे, जो वित्तीय सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है और बाजार की स्थिरता और संगति को समर्थन देता है। यह सिद्धांत न केवल परिसंपत्ति मूल्यांकन के गणितीय मॉडलों का आधार है, बल्कि यह मूल्य गतिशीलता को समझने और उन्नत वित्तीय रणनीतियाँ तैयार करने में भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। हम इसके मूलभूत पहलुओं, अनुप्रयोगों और आर्थिक सिद्धांत और व्यवहार में इसकी प्रासंगिकता का अध्ययन करेंगे।

शिक्षा के उद्देश्य:
इस कक्षा के अंत में छात्र सक्षम होंगे:

समझें गैर-अर्बिट्राज सिद्धांत की मूलभूत अवधारणा को वित्तीय बाजारों में।
पहचानें कि कैसे बाजार की ताकतें (आपूर्ति, मांग, प्रतिस्पर्धा, उम्मीदें और बाहरी कारक) मूल्य संतुलन को प्रभावित करती हैं।
विश्लेषण करें गैर-अर्बिट्राज सिद्धांत के उल्लंघन का वित्तीय स्थिरता पर प्रभाव।
गणना करें अर्बिट्राज चक्रों से प्राप्त सैद्धांतिक लाभ।

सामग्री की सूची
परिचय
गैर-अर्बिट्राज सिद्धांत के मूल तत्व
अर्बिट्राज के उदाहरण
गैर-अर्बिट्राज सिद्धांत और संभावनाएँ
मामले का अध्ययन: मुद्रा विनिमय में अर्बिट्राज
निष्कर्ष

परिचय

गैर-अर्बिट्राज सिद्धांत वित्तीय बाजारों और उन्हें वर्णित करने वाले गणितीय मॉडलों के मूलभूत स्तंभों में से एक है। यह सिद्धांत यह स्थापित करता है कि, पर्याप्त रूप से कुशल बाजारों में, जोखिम उठाए बिना और प्रारंभिक निवेश किए बिना गारंटीकृत लाभ प्राप्त करने के अवसर मौजूद नहीं होने चाहिए या अल्पकालिक होने चाहिए। दूसरे शब्दों में, मूल्य में कोई भी असमानता जो बिना किसी लागत के तत्काल लाभ प्राप्त करने की अनुमति देती है, बाजार की ताकतों द्वारा जल्दी ठीक की जाएगी। हालांकि, वास्तविक बाजारों में, ये अवसर अस्थायी रूप से घर्षण, लेनदेन लागत या अपूर्ण जानकारी के कारण उत्पन्न हो सकते हैं, लेकिन जब प्रतिभागी उन्हें पहचानते हैं और उन पर कार्य करते हैं, तो वे गायब हो जाते हैं।

गैर-अर्बिट्राज सिद्धांत के मूल तत्व

गैर-अर्बिट्राज सिद्धांत इस विचार पर आधारित है कि कुशल बाजार किसी भी परिसंपत्ति मूल्य में असंतुलन को जल्दी से ठीक कर लेते हैं जो जोखिम रहित लाभ की ओर ले जा सकता है। यह अवधारणा सैद्धांतिक और व्यावहारिक दृष्टिकोण दोनों से महत्वपूर्ण है और आधुनिक वित्तीय बाजारों के कार्य में गहराई से निहित है।

औपचारिक परिभाषा

गणितीय दृष्टिकोण से, गैर-अर्बिट्राज सिद्धांत को निम्नलिखित शर्तों के माध्यम से औपचारिक रूप से व्यक्त किया जा सकता है, जो पूर्ण जानकारी और लेनदेन लागत के बिना एक आदर्शीकृत बाजार मानते हैं:

एक प्रारंभिक पोर्टफोलियो जिसका मूल्य $V(0) = 0$ है, भविष्य में निश्चित रूप से सकारात्मक मूल्य उत्पन्न नहीं कर सकता है। इसका मतलब है कि यह बिना जोखिम के लाभ की गारंटी नहीं दे सकता। औपचारिक रूप से:

$\forall V \left[\left(V(0) = 0\right) \rightarrow \left(\nexists t > 0\right) \left(P(V(t) > 0) = 1\right)\right]$

यदि पोर्टफोलियो का प्रारंभिक मूल्य शून्य है और यह भविष्य में सकारात्मक मूल्य उत्पन्न करता है ( $V(1) > 0$ ) बिना जोखिम के, तो यह एक अर्बिट्राज अवसर का संकेत देता है। कुशल बाजारों में, इन अवसरों को जल्दी से बाजार की आपूर्ति और मांग के समायोजन द्वारा ठीक कर दिया जाता है।

व्यवहार में, हालांकि वास्तविक बाजार लेनदेन लागत, अपूर्ण जानकारी और घर्षण प्रस्तुत करते हैं, गैर-अर्बिट्राज सिद्धांत फिर भी सुसंगत कीमतों का विश्लेषण करने और सुसंगत वित्तीय मॉडल तैयार करने के लिए एक प्रमुख संदर्भ बिंदु बना रहता है।

साधारण शब्दों में, यह सिद्धांत यह सुनिश्चित करता है कि ऐसे परिदृश्य मौजूद न हों जिनमें एक निवेशक प्रारंभिक निवेश या जोखिम के बिना गारंटीकृत लाभ प्राप्त कर सके। ऐसी संभावनाओं की अनुपस्थिति वित्तीय मॉडलों की संगति के लिए एक आवश्यक शर्त बन जाती है।

व्यावहारिक औचित्य

व्यवहार में, अर्बिट्राज के अवसर अत्यंत दुर्लभ होते हैं, और जब वे होते हैं, तो वे अल्पकालिक होते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि बाजार मूल्य असमानताओं को ठीक करने के लिए निवेशकों, जिन्हें अर्बिट्राजिस्ट के रूप में जाना जाता है, की कार्रवाई पर निर्भर करते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि किसी परिसंपत्ति की कीमत एक बाजार में दूसरे की तुलना में कम है, तो अर्बिट्राजिस्ट सस्ते बाजार में खरीदारी करेंगे और महंगे बाजार में बेचेंगे। यह गतिविधि सस्ते बाजार में मांग बढ़ाती है और महंगे बाजार में आपूर्ति बढ़ाती है, कीमतों को संतुलन में लाती है और अर्बिट्राज के अवसर को समाप्त करती है।

अर्बिट्राज की अनुपस्थिति यह सुनिश्चित करती है कि कीमतें परिसंपत्तियों के बीच वास्तविक मूल्य संबंधों को दर्शाती हैं, जो बाजार की दक्षता में योगदान करती हैं और डेरिवेटिव या वायदा अनुबंध जैसे वित्तीय उपकरणों का मूल्यांकन करना संभव बनाती हैं।

क्या होगा यदि गैर-अर्बिट्राज सिद्धांत झूठा हो?

प्रारंभिक प्रभाव

यदि गैर-अर्बिट्राज सिद्धांत व्यवस्थित रूप से झूठा हो, तो अधिक संसाधन वाले अभिनेता बड़े पैमाने पर तरलता और लीवरेज किए गए पूंजी को उन परिसंपत्तियों में निर्देशित कर सकते हैं जिनका अर्बिट्राज किया जा रहा है, इन अवसरों का व्यवस्थित रूप से लाभ उठाने के लिए। यह विशेष रूप से निम्न ब्याज दरों या कमजोर वित्तीय नियमन के तहत अत्यधिक क्रेडिट उपयोग को प्रोत्साहित करेगा। परिणामस्वरूप, कुछ बाजारों में बैंकिंग मनी और तरलता का अस्थायी निर्माण बढ़ सकता है।

हालांकि, व्यवहार में, अर्बिट्राज के अवसर आमतौर पर अस्थायी होते हैं क्योंकि बाजार प्रतिभागियों और नियामक प्राधिकरणों की संयुक्त कार्रवाई इन असमानताओं को समाप्त करने के लिए कार्य करती है। उत्तरार्द्ध लीवरेज की सीमा निर्धारित करके, डेरिवेटिव बाजारों को विनियमित करके और पारदर्शिता को बढ़ावा देकर दीर्घकालिक विकृतियों को रोकने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। इसके अलावा, केंद्रीय बैंकों का हस्तक्षेप और बाजार के एजेंटों के बीच प्रतिस्पर्धा असंतुलन उत्पन्न होने पर जल्दी से कीमत संतुलन को बहाल करने में योगदान करती है।

अर्बिट्राज के उदाहरण

व्यावहारिक उदाहरण यह समझने के लिए महत्वपूर्ण हैं कि अर्बिट्राज के अवसर कैसे उत्पन्न होते हैं और कुशल बाजारों में उन्हें कैसे हल किया जाता है। नीचे दो उदाहरण प्रस्तुत किए गए हैं।

तत्काल अर्बिट्राज

मान लीजिए कि दो व्यापारी, न्यूयॉर्क में A और लंदन में B, पाउंड स्टर्लिंग (GBP) के लिए अमेरिकी डॉलर (USD) की विभिन्न विनिमय दरें प्रदान करते हैं:

न्यूयॉर्क में व्यापारी A $d_A = 1,62\,\text{USD/GBP}$ की दर पर पाउंड स्टर्लिंग खरीदता है।
लंदन में व्यापारी B $d_B = 1,60\,\text{USD/GBP}$ की दर पर पाउंड स्टर्लिंग बेचता है।

हम इस परिदृश्य को एक पोर्टफोलियो के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं, जो प्रारंभिक समय $t = 0$ पर निम्नलिखित मान रखता है:

$V(0) = 0$

यदि हम मूल्य में असमानताओं का लाभ उठाते हैं, तो अर्बिट्राज चक्र को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:

$1.600\,\text{USD}$ उधार लें और $d_B=1,6\,\text{USD/GBP}$ की दर पर लंदन में व्यापारी B से $1.000 \, \text{GBP}$ खरीदें, क्योंकि:
$1.000\,\text{GBP} \cdot d_B = 1.000 \text{GBP} \cdot 1,6\,\dfrac{\text{USD}}{\text{GBP}}= 1.600\,\text{USD}$
न्यूयॉर्क में व्यापारी A को वही $x = 1,000 \, GBP$ बेचें और $1.620\,\text{USD}$ प्राप्त करें, क्योंकि:
$1.000\,\text{GBP} = 1.000\,\text{GBP} \cdot d_A = 1.000\,\text{GBP} \cdot 1,62\,\dfrac{\text{USD}}{\text{GBP}} = 1.620\,\text{USD}$
यह बिक्री करने के बाद, हमने प्रारंभ में लिए गए $1.600\,\text{USD}$ का भुगतान कर दिया और $20\,\text{USD}$ का लाभ बचा लिया।

इस प्रक्रिया का पालन करते हुए, वह पोर्टफोलियो जिसका प्रारंभिक मान $V(0)=0$ था, अब एक भविष्य का मान $V(1) = 20\,\text{USD}$ रखता है, और यह गैर-अर्बिट्राज सिद्धांत का उल्लंघन करता है।

इस स्थिति में, कोई पूछ सकता है: यदि मैं $1.600 \, \text{USD}$ उधार लेकर $20 \, \text{USD}$ का जोखिम रहित लाभ कमा सकता हूं, तो मुझे बहुत बड़ा ऋण लेकर अपने लाभ को बढ़ाने से क्या रोक सकता है? उदाहरण के लिए, यदि मैं $160.000 \, \text{USD}$ उधार लेता हूं, तो मैं $2.000 \, \text{USD}$ कमा सकता हूं। हालांकि, जैसे ही आप इस अवसर की पहचान करते हैं, कई अन्य निवेशक भी ऐसा ही करेंगे, जिससे व्यापारी B पर भारी मांग और व्यापारी A पर अधिक आपूर्ति उत्पन्न होगी। ये गतिशीलताएं दोनों व्यापारियों को अपनी दरों को बाजार के संतुलन को दर्शाने के लिए तेजी से समायोजित करने के लिए मजबूर करेंगी।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि व्यापारी भी अपने लाभ को अधिकतम करना चाहते हैं। यदि वे मांग में महत्वपूर्ण वृद्धि देखते हैं, तो वे अधिक मूल्य पकड़ने के लिए अपनी दरें बढ़ाएंगे; दूसरी ओर, यदि आपूर्ति अत्यधिक बढ़ जाती है, तो उन्हें प्रतिस्पर्धी बने रहने के लिए अपनी दरों को कम करना होगा। यह गतिशील प्रक्रिया सुनिश्चित करती है कि कुशल बाजारों में कीमतें जल्दी समायोजित होती हैं, जिससे अर्बिट्राज के किसी भी अवसर को समाप्त कर दिया जाता है।

समय में अर्बिट्राज

मान लीजिए कि दो व्यापारी, न्यूयॉर्क में A और लंदन में B, पाउंड स्टर्लिंग (GBP) के लिए अमेरिकी डॉलर (USD) की निम्नलिखित दरें प्रदान करते हैं:

न्यूयॉर्क में व्यापारी A एक वर्ष बाद $d_A = 1,58\,\text{USD/GBP}$ की भविष्य दर पर पाउंड स्टर्लिंग खरीदने पर सहमत होता है।
लंदन में व्यापारी B आज $d_B = 1,60\,\text{USD/GBP}$ की दर पर पाउंड स्टर्लिंग बेचता है।

इसके अलावा, मान लीजिए कि:

अमेरिकी डॉलर 4 % वार्षिक दर पर उधार लिए जा सकते हैं।
पाउंड स्टर्लिंग को एक बैंक खाते में जमा किया जा सकता है, जो 6 % वार्षिक ब्याज का भुगतान करता है।

$V(0) = 0$

यदि हम मूल्य असमानताओं और ब्याज दरों का लाभ उठाते हैं, तो अर्बिट्राज चक्र को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:

$10.000\,\text{USD}$ उधार लें। इन डॉलर को व्यापारी B की विनिमय दर $d_B = 1,60\,\text{USD/GBP}$ का उपयोग करते हुए पाउंड स्टर्लिंग में बदलें, जिससे प्राप्त होगा:

$10.000\,\text{USD} \div 1,60\,\dfrac{\text{USD}}{\text{GBP}} = 6.250\,\text{GBP}$

इन $6.250\,\text{GBP}$ को एक बैंक खाते में जमा करें, जो 6 % वार्षिक ब्याज का भुगतान करता है। एक वर्ष के बाद, पाउंड स्टर्लिंग में कुल शेष होगा:

$6.250\,\text{GBP} \cdot (1 + 0,06) = 6.625\,\text{GBP}$

इन $6.625\,\text{GBP}$ को व्यापारी A की भविष्य दर $d_A = 1,58\,\text{USD/GBP}$ का उपयोग करते हुए अमेरिकी डॉलर में बदलें, जिससे प्राप्त होगा:

$6.625\,\text{GBP} \cdot 1,58\,\dfrac{\text{USD}}{\text{GBP}} = 10.467,50\,\text{USD}$

प्रारंभ में लिए गए $10.000\,\text{USD}$ का भुगतान करें, जिसमें 4 % ब्याज जोड़कर कुल भुगतान करना होगा:

$10.000\,\text{USD} \cdot (1 + 0,04) = 10.400\,\text{USD}$

अंतर राशि लाभ के रूप में बचती है:

$10.467,50\,\text{USD} - 10.400\,\text{USD} = 67,50\,\text{USD}$

इस मामले में, वह पोर्टफोलियो जिसका प्रारंभिक मान $V(0) = 0$ था, अब एक भविष्य का मान $V(1) = 67,50\,\text{USD}$ रखता है, इस शर्त पर कि भविष्य की दर $d_A = 1,58\,\text{USD/GBP}$ के साथ 1 की संभावना हो। हालांकि, यथार्थवादी परिदृश्य में, यह भविष्य दर संभावनाओं के साथ विभिन्न मानों की श्रेणी से संबंधित होती है। इसलिए, $V(1) > 0$ होने की संभावना उस संभावना के अनुरूप है, जिसमें भविष्य की विनिमय दर एक अनुकूल श्रेणी के भीतर हो।

भविष्य दरों $d_A$ की वह श्रेणी जो लाभ उत्पन्न करती है, निम्नलिखित के रूप में गणना की जा सकती है:

$d_A > \frac{10.400}{6.625} \approx 1,57\,\text{USD/GBP}$

इसलिए, पोर्टफोलियो को लाभ ( $V(1) > 0$ ) उत्पन्न करने के लिए, भविष्य की विनिमय दर $1,57\,\text{USD/GBP}$ से अधिक होनी चाहिए।

गैर-अर्बिट्राज सिद्धांत और संभावनाएँ

छोटी समय-सीमाओं में, गैर-अर्बिट्राज सिद्धांत अपनी वैधता को कीमतों के तेज़ समायोजन के माध्यम से प्रकट करता है, जबकि लंबी समय-सीमाओं में, इसकी प्रासंगिकता संभावनाओं को शामिल करने पर निर्भर करती है, जो भविष्य के मूल्यों के बारे में अपेक्षाओं को मॉडल करती हैं।

एक रोचक अवलोकन यह है कि, लंबी समय-सीमाओं में, बाजार का साधारण मॉडल संभावनाओं के वितरण को शामिल करने के लिए विस्तारित किया जा सकता है, जो भविष्य की दरों से जुड़ा होता है। यह अर्बिट्राज की सफलता की संभावना को इस प्रकार व्यक्त करने की अनुमति देता है कि भविष्य की विनिमय दर एक अनुकूल श्रेणी के भीतर हो, जो निम्नलिखित रूप में प्रदर्शित होता है:

$\displaystyle P(V(1) > 0) = \int_{d_{\text{mín}}}^{\infty} P(d_A) \, \text{d}d_A$

इस विस्तारित ढांचे में, पोर्टफोलियो के अपेक्षित मूल्य की गणना भी जोखिम और रिटर्न के बीच संतुलन का मूल्यांकन करने के लिए की जा सकती है:

$\displaystyle E(V(1)) = \int_{-\infty}^{\infty} V(1) \cdot P(V(1)) \, \text{d}V(1)$

इस प्रकार, गैर-अर्बिट्राज सिद्धांत न केवल सुरक्षित लाभ के अवसरों को समाप्त करने का वर्णन करता है, बल्कि उन परिस्थितियों में जोखिम और संभावनाओं की गतिशीलता को भी शामिल करता है जहां अर्बिट्राज भविष्य के अनिश्चित परिणामों पर निर्भर करता है।

अर्बिट्राज का मामला अध्ययन: मुद्रा विनिमय

19 जुलाई, 2002 को, न्यूयॉर्क में व्यापारी A और लंदन में व्यापारी B ने यूरो (EUR), पाउंड स्टर्लिंग (GBP) और अमेरिकी डॉलर (USD) के आदान-प्रदान के लिए निम्नलिखित दरें पेश कीं:

व्यापारी A	खरीद	बिक्री
$1,000\,\text{EUR}$	$1,0202\,\text{USD}$	$1,0284\,\text{USD}$
$1,000\,\text{GBP}$	$1,5718\,\text{USD}$	$1,5844\,\text{USD}$

व्यापारी B	खरीद	बिक्री
$1,000\,\text{EUR}$	$0,6324\,\text{GBP}$	$0,6401\,\text{GBP}$
$1,000\,\text{USD}$	$0,6299\,\text{GBP}$	$0,6375\,\text{GBP}$

प्रदान की गई विनिमय दरों का उपयोग करके जोखिम रहित लाभ के अवसर की पहचान करें। अर्बिट्राज चक्र का वर्णन करें और शुद्ध लाभ की गणना करें।

समाधान

इस मामले में समाधान खोजने के लिए, सबसे पहले हम दोनों व्यापारियों द्वारा प्रदान की गई खरीद और बिक्री की विभिन्न दरों की पहचान करेंगे और उन्हें व्यवस्थित रूप से व्यवस्थित करेंगे। इसके लिए, हम समीक्षा करेंगे कि तालिका से विभिन्न लेन-देन कैसे उत्पन्न होते हैं।

पहले समझें कि इन रूपांतरण तालिकाओं की व्याख्या कैसे की जाती है

व्यापारी A के मामले में:

यदि आपके पास $€\,1$ है, तो वह इसे $\$\,1,0202$ के बदले खरीदेगा।
यदि आप $€\,1$ चाहते हैं, तो वह इसे $\$\,1.0284$ में बेचेगा।

इन प्रक्रियाओं को निम्नलिखित अभिव्यक्तियों के माध्यम से मॉडल किया जा सकता है:

$\begin{array}{rl} \text{यूरो खरीदना डॉलर के बदले:} & {x_A}^{\$} = {\left[{\tau_{A}}\right]_{€}}^{\$}x^{€}\\ \\ \text{यूरो बेचना डॉलर के बदले:} & {x_A}^{€} = {\left[{\tau_{A}}\right]_{\$}}^{€}x^{\$} \end{array}$

जहां $x^{\$}$ और $x^{€}$ उपयोगकर्ता द्वारा दी गई राशि हैं, ${x_A}^{\$}$ और ${x_A}^{€}$ वे हैं जो व्यापारी A बदले में देता है (डॉलर और यूरो में), और अंत में ${\left[{\tau_{A}}\right]_{€}}^{\$}= \$\,1,0202/€$ और ${\left[{\tau_{A}}\right]_{\$}}^{€}=€/\$\,1,0284$ रूपांतरण दरें हैं।

इसी तरह, हम दोनों व्यापारियों द्वारा दी जाने वाली सभी दरों और प्रक्रियाओं को व्यवस्थित रूप से सारांशित कर सकते हैं।

रूपांतरण दरें	खरीद	बिक्री
व्यापारी A (EUR/USD)	${\left[{\tau_{A}}\right]_{€}}^{\$} = \dfrac{\$\,1,0202}{€\,1}$	${\left[{\tau_{A}}\right]_{\$}}^{€} = \dfrac{€\,1}{\$\,1,0284}$
व्यापारी A (GBP/USD)	${\left[{\tau_{A}}\right]_{£}}^{\$} = \dfrac{\$\,1,5718}{£\,1}$	${\left[{\tau_{A}}\right]_{\$}}^{£} = \dfrac{£\,1}{\$\,1,5844}$
व्यापारी B (EUR/GBP)	${\left[{\tau_{B}}\right]_{€}}^{£} = \dfrac{£\,0,6324}{€\,1}$	${\left[{\tau_{B}}\right]_{£}}^{€} = \dfrac{€\,1}{£\,0,6401}$
व्यापारी B (USD/GBP)	${\left[{\tau_{B}}\right]_{\$}}^{£} = \dfrac{£\,0,6299}{\$\,1}$	${\left[{\tau_{B}}\right]_{£}}^{\$} = \dfrac{\$\,1}{£\,0,6375}$

संभावित अर्बिट्राज की खोज में चक्रों का विश्लेषण

अर्बिट्राज का एक बुनियादी चक्र एक बाजार में खरीदने, दूसरे में बेचने, अंतर से लाभ प्राप्त करने और इस प्रक्रिया को दोहराने में होता है। विकसित की गई सूत्रों के साथ, प्रत्येक खरीद-बिक्री का लेन-देन रूपांतरण दरों द्वारा परिभाषित परिवर्तनों के उत्तरवर्ती अनुप्रयोग के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि प्रभावी तुलना और चक्र के परिणाम का मूल्यांकन करने के लिए प्रारंभिक मुद्रा पर वापस लौटा जाए।

नुकसान उत्पन्न करने वाले चक्र का उदाहरण

हम एक राशि $x^{\$}$ डॉलर का उपयोग कर सकते हैं, जिसे व्यापारी B खरीदता है, हमें ${x_B}^{£} = {\left[{\tau_{B}}\right]_{\$}}^{£}x^{\$}$ पाउंड स्टर्लिंग की राशि देता है। फिर, यदि हम व्यापारी A के पास जाते हैं, तो वह इसे खरीदकर हमें ${x_A}^{\$} = {\left[{\tau_{A}}\right]_{£}}^{\$}{x_B}^{£} = {\left[{\tau_{A}}\right]_{£}}^{\$}{\left[{\tau_{B}}\right]_{\$}}^{£}x^{\$}$ डॉलर की राशि देगा। इस प्रकार, इस प्रक्रिया में अंतिम और प्रारंभिक डॉलर राशि के बीच का अंतर निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाएगा:

$\begin{array}{rl} {\Delta_{AB}}(x^{\$}) &= {\left[{\tau_{A}}\right]_{£}}^{\$}{\left[{\tau_{B}}\right]_{\$}}^{£}x^{\$} - x^{\$} \\ \\ &= \left( {\left[{\tau_{A}}\right]_{£}}^{\$}{\left[{\tau_{B}}\right]_{\$}}^{£} - 1 \right)x^{\$} \approx -0,00992 x^{\$} \end{array}$

यह नुकसान को दर्शाता है। इस विश्लेषण से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि केवल तभी लाभकारी अंतर प्राप्त होगा जब शामिल दरों का गुणनफल 1 से बड़ा हो। इसके अलावा, हम देख सकते हैं कि किसी भी मुद्रा खरीद-बिक्री प्रक्रिया जो प्रारंभिक मुद्रा पर लौटती है, चक्रीय होगी, जो सभी संभावित खरीद-बिक्री चक्रों की पहचान को सरल बनाएगी और संभावित अर्बिट्राज की खोज की अनुमति देगी।

लाभकारी चक्र का उदाहरण

ध्यान दें कि ${[\tau_B]_{\$}}^{£} {[\tau_A]_{€}}^{\$} {[\tau_B]_{£}}^{€} = \dfrac{1}{0,6401} \cdot 1,0202 \cdot 0,6299 \approx 1,00394$ , इसके साथ हम पाउंड स्टर्लिंग में लाभ की पहचान कर सकते हैं, जो निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया गया है:

${\Delta_{BAB}}(x^{£}) = \left({[\tau_B]_{\$}}^{£} {[\tau_A]_{€}}^{\$} {[\tau_B]_{£}}^{€}-1 \right)x^{£} \approx 0,003943 x^{£}$

जिसे निम्नलिखित प्रक्रिया में अनुवादित किया जा सकता है: व्यापारी B के पास एक राशि $x^{£}$ पाउंड स्टर्लिंग लेकर जाएं, ताकि वह हमें यूरो बेच सके; प्राप्त यूरो के साथ व्यापारी A के पास जाएं, ताकि वह हमें डॉलर बेच सके; अंत में, प्राप्त डॉलर के साथ व्यापारी B के पास जाएं, ताकि वह हमें पाउंड स्टर्लिंग बेच सके। यदि हम इस प्रक्रिया को शुरू करने के लिए $£\,10.000$ उधार लेते हैं, तो प्रक्रिया समाप्त होने पर और ऋण चुकाने के बाद, हमारे पास लगभग यह शुद्ध लाभ होगा:

${\Delta_{BAB}}(£\,10.000) \approx 0,003943 \cdot £\,10.000 = £\,39,43$

निष्कर्ष

गैर-अर्बिट्राज सिद्धांत वित्तीय बाजारों की स्थिरता और दक्षता के लिए एक मौलिक अवधारणा के रूप में प्रस्तुत होता है। अर्बिट्राज के अवसरों को समाप्त करके, यह सुनिश्चित करता है कि परिसंपत्तियों की कीमतें उनके वास्तविक मूल्य को सटीक रूप से दर्शाती हैं, उन असंतुलनों से बचती हैं जो सट्टा व्यवहार या बाजार में विकृतियां उत्पन्न कर सकती हैं।

सिद्धांत की प्रासंगिकता सैद्धांतिक क्षेत्र से परे है, क्योंकि इसकी वित्तीय उपकरणों के मूल्यांकन, पोर्टफोलियो प्रबंधन और निवेश रणनीतियों के डिजाइन में प्रत्यक्ष अनुप्रयोग हैं। विशेष रूप से:

डेरिवेटिव्स की कीमतों के मॉडल, जैसे वित्तीय विकल्प, गैर-अर्बिट्राज के धारणा के तहत बनाए गए हैं, जो सुसंगत सैद्धांतिक कीमतों को निर्धारित करने की अनुमति देते हैं।
हालांकि सीमित अवधि और परिमाण में, अर्बिट्राज की प्रथा बाजारों में प्राकृतिक सुधार तंत्र के रूप में कार्य करती है, यह सुनिश्चित करते हुए कि मूल्य असमानताएं अस्थायी हैं।
सिद्धांत वित्तीय बाजारों में पारदर्शिता और विश्वास को बढ़ावा देता है, रणनीतिक निर्णय लेने के लिए एक ठोस आधार प्रदान करता है।

अन्वेषित किए गए व्यावहारिक उदाहरणों में, यह दर्शाया गया है कि विनिमय दरों या ब्याज दरों में छोटी असमानताओं का लाभ कैसे उठाया जा सकता है। हालांकि, इन लाभों को वास्तविकता में लेन-देन शुल्क या बाजार प्रतिबंधों जैसे संबद्ध लागतों के कारण सीमित किया जा सकता है।

अंत में, गैर-अर्बिट्राज सिद्धांत न केवल वित्तीय बाजारों के कामकाज की समझ को बढ़ावा देता है, बल्कि यह मजबूत और सुसंगत गणितीय मॉडलों के विकास के लिए एक अपरिहार्य उपकरण भी है। गणितीय वित्त में इसकी महत्वता इस तथ्य में निहित है कि यह एक वैचारिक ढांचा प्रदान करता है, जो उच्च सटीकता के साथ बाजार की गतिशीलता का विश्लेषण, डिजाइन और पूर्वानुमान लगाने की अनुमति देता है।

गैर-अर्बिट्राज सिद्धांत का अध्ययन और अनुप्रयोग न केवल वित्तीय क्षेत्र के पेशेवरों को लाभ पहुंचाता है, बल्कि यह अकादमिक और शोधकर्ताओं को एक गतिशील और वैश्विक बाजार के माहौल में नई सिद्धांतों और रणनीतियों को विकसित करने के लिए एक उपजाऊ आधार भी प्रदान करता है।