Qu’est-ce que le mouvement rectiligne uniformément accéléré ?

Le mouvement rectiligne uniformément accéléré, abrégé en MRUA, est un type de mouvement que nous avons déjà étudié de manière implicite. Vous le verrez lorsque nous examinerons comment il est modélisé à partir des équations de trajet. Mais si nous voulons une description rapide, le MRUA est un type de mouvement où l’accélération est constante, tant en magnitude qu’en direction, et qui se développe sur une ligne droite, c’est-à-dire dans une dimension.

Mouvement rectiligne uniformément accéléré à partir des équations de trajet

La déduction du MRUA est une copie directe du travail que nous avons réalisé pour obtenir les équations de trajet par intégration dans les leçons précédentes. Comme le MRUA est un mouvement avec une accélération constante et unidimensionnelle, il suffit de faire les déductions sur un seul axe de coordonnées ; si nous raisonnons sur l’axe \hat{x}, nous obtenons ce qui suit :

\begin{array}{rcl} a_x(t) & =& a_{0x} \\ \\ v_x(t) & =& \int a_{0x}dt = a_{0x}t + v_{0x} \\ \\ x(t) & =& \displaystyle \int v_{x}(t)dt = \frac{1}{2}a_{0x}t^2 + v_{0x}t + x_0 \end{array}

Ici, a_{0x}, v_{0x} et x_0 sont toutes des constantes, et les deux dernières sont des constantes d’intégration. Avec cela, nous avons un modèle complet du mouvement rectiligne uniformément accéléré dans la direction de l’axe \hat{x}. Le raisonnement pour tout autre axe est entièrement analogue.

Le MRUA et le cas de la chute libre

L’un des cas les plus représentatifs du MRUA est la chute libre. C’est un mouvement rectiligne uniformément accéléré qui se développe verticalement et qui est provoqué par l’accélération de la gravité. Son modèle à travers les équations de trajet est le suivant :

\begin{array}{rcl} a_y(t) & =& -g \\ \\ v_y(t) & =& -gt + v_{0y} \\ \\ y(t) & =& \displaystyle - \frac{1}{2}gt^2 + v_{0y}t+ y_0 \end{array}

Ici, l’accélération de la gravité est g=9,81[m/s^2]. Dans la chute libre, il est typique que cela commence initialement au repos (v_{0y}=0) et à une hauteur initiale y_0=h, de sorte que les équations se réduisent à

\begin{array}{rcl} a_y(t) & =& -g \\ \\ v_y(t) & =& -gt \\ \\ y(t) & =& \displaystyle - \frac{1}{2}gt^2 + h \end{array}

Quel que soit l’ensemble d’équations que vous ayez, il est possible d’extraire des informations en « posant les bonnes questions » aux équations.

Si un corps part du repos à une hauteur h

Combien de temps met-il pour tomber ?

Si nous posons cette question aux équations, elles nous diront que « le corps touche le sol lorsque la hauteur est zéro », c’est-à-dire y(t)=0. Si cela se produit, alors nous devons résoudre le temps dans l’équation \displaystyle \frac{1}{2}gt^2 + h = 0. À partir de cela, deux résultats possibles sont obtenus :

\displaystyle t=\pm\sqrt{\frac{2h}{g}}

Le temps négatif regarde vers le passé, et le positif vers le futur. Comme la chute se produit dans le futur, nous pouvons définir le temps de chute comme

\displaystyle t_{chute}=+\sqrt{\frac{2h}{g}}

À quelle vitesse arrive-t-il au sol ?

Nous pouvons répondre à cette question simplement en remplaçant le temps de chute dans l’équation de la vitesse. Si nous faisons cela, nous obtenons la vitesse de chute :

\displaystyle v_{chute} = v_y(t_{chute})=-g\sqrt{\frac{2h}{g}}=-\sqrt{\frac{2g^2h}{g}} = -\sqrt{2gh}

Exercices relatifs au mouvement rectiligne uniformément accéléré

1. Un mobile passe par l’origine avec une vitesse initiale v_0=10[km/h] et avec une accélération de a_0=\displaystyle \frac{20[km/h]}{5[s]}. Calculez la position et la vitesse du mobile aux instants a) t=5[s], b) t=10[s], c) t=15[s] et d) t=1[min]. [SOLUTION]
2. Une personne laisse tomber une boule d’acier et une pierre d’une hauteur de 20[m] en même temps depuis le repos. Les deux objets ont les mêmes dimensions, mais des poids différents. Combien de temps mettent-ils pour tomber et à quelle vitesse se déplacent-ils au moment de l’impact avec le sol ? Un de ces corps peut-il tomber plus vite que l’autre ou arriver avec une plus grande vitesse ? [SOLUTION]
3. Une pièce est jetée au fond d’un puits. Le bruit indiquant que la pièce est arrivée au fond est entendu après 10 [s]. Quelle est la profondeur du puits ? [SOLUTION]
4. Une personne crache verticalement dans le ciel et en 1,2[s], elle retombe sur son visage. a) À quelle vitesse a-t-elle craché ? b) Quelle hauteur le crachat a-t-il atteint ? [SOLUTION]