Maxima et Minima d’une Fonction

Où se situe le « meilleur » point d’une fonction : le maximum que l’on souhaite atteindre ou le minimum que l’on doit éviter ? Cette question, qui apparaît en optimisation, en physique, en économie et en ingénierie, constitue l’une des principales applications du calcul différentiel. Et voici l’essentiel : le théorème de Weierstrass garantit que, si $f$ est continue et que l’on travaille sur un intervalle fermé et borné, alors les extrêmes absolus existent. À partir de là, la démarche devient pratique : apprendre à détecter des extrêmes locaux à l’aide de points critiques ( $f'(x)=0$ ou n’existe pas) et utiliser des outils tels que le théorème de Rolle et le théorème de la valeur moyenne pour transformer une recherche « à l’aveugle » en une méthode claire, vérifiable et efficace.

Objectifs d’apprentissage :

Exécuter une procédure complète pour déterminer les extrêmes absolus sur $[a,b]$ : évaluer $f$ aux points critiques intérieurs et aux extrémités de l’intervalle, puis comparer les valeurs afin de décider du maximum et du minimum absolus.
Comparer la valeur d’une condition nécessaire par rapport à une condition suffisante : reconnaître que « $f'(x_0)=0$ » ne garantit pas un extrême local, et déterminer quelles preuves supplémentaires (comparaison des valeurs, analyse des signes, comportement local) sont pertinentes dans chaque cas.
Déterminer la stratégie la plus efficace selon le type de problème : extrêmes absolus sur des intervalles compacts (Weierstrass + évaluation finie) versus extrêmes locaux en des points intérieurs (points critiques + analyse locale), en justifiant le choix.

INDEX DES CONTENUS :
Maxima et minima, extrêmes absolus et locaux
Critère de la 1re dérivée
Le théorème de Rolle
Le théorème de la valeur moyenne différentielle
Intervalles de croissance et de décroissance

Le théorème de Weierstrass nous assure que, si une fonction réelle est définie et continue sur un sous-ensemble fermé et borné de $\mathbb{R}$ , alors elle atteint nécessairement des valeurs maximale et minimale (extrêmes absolus). La recherche des maxima et des minima d’une fonction correspond à ce que l’on appelle un problème d’optimisation, et le théorème de Weierstrass garantit l’existence de solutions au sens des extrêmes absolus, pourvu que la fonction soit continue et que le domaine soit compact. Une fois l’existence assurée, il ne reste plus qu’à développer des stratégies permettant de trouver effectivement ces solutions.

Maxima et minima, extrêmes absolus et locaux

Avant de commencer à examiner des stratégies pour la recherche des maxima et des minima, définissons clairement ce que nous cherchons à identifier.

DÉFINITION :
Soit $f$ une fonction de domaine $D$ . Nous dirons que $f$ atteint un maximum absolu en un point $x_0\in D$ si :

$\left( \forall x \in D \right)\bigl(f(x) \leq f(x_0)\bigr)$

et qu’elle atteint un minimum absolu en $x_0$ si :

$\left( \forall x \in D \right)\bigl( f(x_0) \leq f(x)\bigr)$

De manière analogue, on définit les extrêmes locaux (relatifs au domaine).

DÉFINITION :
Soit $f$ une fonction de domaine $D$ et soit $x_0\in D$ . Nous dirons que $f$ atteint un maximum local en $x_0$ si :

$(\exists h>0)\left( \forall x\in [x_0-h, x_0+h] \cap D \right)\bigl(f(x) \leq f(x_0)\bigr)$

et qu’elle atteint un minimum local en $x_0$ si :

$(\exists h>0)\left( \forall x\in [x_0-h, x_0+h] \cap D \right)\bigl( f(x_0) \leq f(x)\bigr)$

À partir de cela, nous pouvons énoncer le résultat suivant :

THÉORÈME :

Soit $x_0$ un point intérieur d’un intervalle compact $I$ . Si $f$ atteint un maximum ou un minimum local en $x_0$ et si $f^\prime(x_0)$ existe, alors $f^\prime(x_0)=0$ .

DÉMONSTRATION :
Supposons que $f$ atteigne un maximum local en $x_0$ . Il existe alors $h_0 \gt 0$ tel que, pour tout $h$ vérifiant $|h|\lt h_0$ et avec $x_0+h\in I$ , on ait :

$f(x_0 + h)\leq f(x_0)$

ce qui est équivalent à :

$f(x_0 + h) - f(x_0)\leq 0$

Considérons maintenant deux cas :

Si $h>0$ , alors :
$\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\leq 0$
Si $h\lt 0$ , alors :
$\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\geq 0$

Si $f^\prime(x_0)$ existe, alors la limite du quotient incrémental lorsque $h\to 0$ existe et doit être compatible avec les deux inégalités, ce qui impose que :

$\displaystyle f^\prime(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}= 0$

Ce qui était à démontrer.

Il convient de noter que cette démonstration est également valable pour les minima locaux. Dans ce cas, on commence par : $f(x_0+h)\ge f(x_0)$ pour $|h|$ suffisamment petit.

Critère de la 1re dérivée

Le résultat que nous venons d’examiner peut être résumé par l’implication suivante :

$\left\{\begin{matrix}f \text{ atteint un}\\ \text{extrême local en }x_0 \end{matrix}\right\} \Longrightarrow \left\{\begin{matrix} \displaystyle f^\prime(x_0) = 0 \\ \\ \vee \\ \\ \text{La dérivée n’existe pas en }x_0 \end{matrix}\right\}$

Bien que la réciproque de cette implication ne soit pas vraie en général, elle est néanmoins très utile pour restreindre la recherche des extrêmes locaux. Sur cette base, on définit les points critiques de la première dérivée.

DÉFINITION :
On dit que $x_0$ est un point critique de la première dérivée si $f^\prime(x_0)=0$ ou si $f^\prime(x_0)$ n’existe pas.

Les points critiques de la première dérivée sont pertinents, car tout point où la fonction atteint un extrême (local ou absolu) doit appartenir à l’ensemble des points critiques :

$\left\{\begin{matrix}\text{points qui}\\ \text{extrémisent absolument}\end{matrix}\right\} \subseteq \left\{\begin{matrix}\text{points qui}\\ \text{extrémisent localement}\end{matrix}\right\} \subseteq \left\{\begin{matrix}\text{points critiques de la}\\ \text{première dérivée}\end{matrix}\right\}$

C’est ce que l’on appelle le critère de la première dérivée, entendu comme une condition nécessaire à l’existence d’extrêmes locaux en des points intérieurs.

Le théorème de Rolle

Nous avons déjà vu que la détermination des points critiques de la première dérivée est essentielle dans la recherche des extrêmes locaux. Pour cette raison, il est naturel d’examiner sous quelles conditions on peut garantir l’existence de tels points critiques. Une avancée en ce sens est apportée par le théorème de Rolle.

THÉORÈME :
Soit $f$ une fonction définie et continue sur $[a,b]$ , et dérivable sur $]a,b[$ . Si $f(a)=f(b)$ , alors il existe un $c\in]a,b[$ tel que $f^\prime(c)=0$ .

DÉMONSTRATION :
Nous analyserons deux possibilités :

Si, pour tout $x\in]a,b[$ , on a $f(x)=f(a)=f(b)$ , alors $f$ est constante et, par conséquent, $f^\prime(x)=0$ pour tout $x\in]a,b[$ . En particulier, il existe un $c\in]a,b[$ tel que $f^\prime(c)=0$ .
S’il existe $x\in]a,b[$ tel que $f(x)\neq f(a)=f(b)$ , alors $f$ n’est pas constante. Comme $f$ est continue sur $[a,b]$ , elle atteint, d’après le théorème de Weierstrass, un maximum absolu et un minimum absolu sur $[a,b]$ .
En outre, comme $f(a)=f(b)$ et que $f$ n’est pas constante, au moins l’un de ces extrêmes doit se produire à l’intérieur de $]a,b[$ .
Ainsi, si $c\in]a,b[$ est un point intérieur où $f$ atteint un extrême local, comme $f$ est dérivable sur $]a,b[$ , en particulier $f^\prime(c)$ existe, et, d’après le théorème précédent, on conclut que $f^\prime(c)=0$ .

Le théorème de la valeur moyenne différentielle

Un autre résultat qui est une conséquence directe de ceux que nous venons d’examiner, et qui fournit des informations utiles pour l’étude des fonctions, est le théorème de la valeur moyenne en calcul différentiel.

THÉORÈME :
Soit $f$ une fonction définie et continue sur $[a,b]$ , et dérivable sur $]a,b[$ . Il existe alors un $c\in]a,b[$ tel que :

$f^\prime(c) =\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

DÉMONSTRATION :
Soit $F$ la fonction définie par :

$F(x) = f(x) - \displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a)$

Cette fonction est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$ parce que $f$ l’est également. De plus, $F(a)=F(b)$ , ce qui permet d’utiliser le théorème de Rolle pour conclure qu’il existe un point $c\in]a,b[$ tel que $F^\prime(c)=0$ .

En dérivant maintenant $F$ , on obtient :

$F^\prime(x) = f^\prime(x) - \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

En évaluant en $c$ et en utilisant $F^\prime(c)=0$ :

$0=F^\prime(c) = f^\prime(c) - \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

On obtient alors :

$f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

ce qui était à démontrer.

Intervalles de croissance et de décroissance

THÉORÈME :

Si $f$ est une fonction telle que $(\forall x\in ]a,b[)\left(0\lt f^\prime(x)\right)$ , alors $f$ est strictement croissante sur $]a,b[$ .
Si $f$ est une fonction telle que $(\forall x\in ]a,b[)\left(f^\prime(x)\lt 0\right)$ , alors $f$ est strictement décroissante sur $]a,b[$ .

DÉMONSTRATION :
Soient $x_1,x_2\in ]a,b[$ tels que $x_1 \lt x_2$ . Comme $f$ est dérivable sur $]a,b[$ , nous pouvons appliquer le théorème de la valeur moyenne à $f$ sur l’intervalle $[x_1,x_2]\subset ]a,b[$ . Par conséquent, il existe un point $c\in]x_1,x_2[$ tel que :

$f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

À partir de cela :

Si $f^\prime(c) \gt 0$ , alors $f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1) \gt 0$ .
Par conséquent, $f$ est croissante.
Si $f^\prime(c) \lt 0$ , alors $f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1) \lt 0$ .
Par conséquent, $f$ est décroissante.

Étudier les maxima et les minima ne consiste pas seulement à « faire des dérivées », mais à apprendre à transformer une recherche diffuse en une procédure fondée sur des garanties et des critères clairs. Weierstrass indique quand on peut avoir confiance dans l’existence d’un optimum sur un intervalle compact, tandis que le critère de la première dérivée, le théorème de Rolle et le théorème de la valeur moyenne fournissent la carte permettant d’identifier des candidats et de justifier les conclusions : où une fonction peut présenter des extrêmes, quand cette condition est seulement nécessaire, et comment le signe de $f'$ révèle la croissance et la décroissance. En maîtrisant cette chaîne d’idées, on passe de l’observation intuitive de graphiques à la résolution de problèmes d’optimisation à l’aide d’arguments vérifiables, ce qui constitue précisément la différence entre « je pense que le meilleur point est ici » et « je sais pourquoi il doit se trouver ici ».